Secundaria Autovectores, autovalores y operadores para el espín

[Alofre]

Buenos días, estaba leyendo un libro de Mecánica Cuántica y me he encontrado con un ejercicio que sinceramente no soy capaz de resolver.

Calcule los eigenvectores y eigenvalores de ${\sigma}_{n}$ siendo ${\sigma}_{n}$ =
$\begin{pmatrix}<br /> cos(\theta) & sin(\theta) \\<br /> sin(\theta) & -cos(\theta)<br /> \end{pmatrix}$

Asuma que |${\lambda}_{1 }$> = $\vec{v} = (cos(\alpha), sin(\alpha)$) en forma de vector columna al ser un ket, donde alpha es un parámetro desconocido.

Debo señalar que en el libro no enseñan diagonalización, o sea que supongo que habrá otra forma de hacerlo pero yo me he quedado atascado en todas. Resumiendo intenté hallar los autovalores y los autovectores a partir de la ec. $\sigma$|${\lambda}_{1 }$> = $\lambda$ |${\lambda}_{1 }$> pero me quedé atascado.Muchas gracias!!

[Dj_jara]

Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

Debo señalar que en el libro no enseñan diagonalización, o sea que supongo que habrá otra forma de hacerlo pero yo me he quedado atascado en todas.

Si es un libro de cuántica no tiene porque tener algo básico de matemáticas, si no sería imposible escribir un texto de cualquier cosa avanzada.

?Has obtenido los autovalores? Para los autovectores necesitaras alguna propiedad trigonométrica que se suelen olvidar, tipo ángulo doble, ángulo mitad,... Pero obtener los 2 autovalores debería ser fácil si tienes en cuenta que $det(\sigma_n - \lambda I) = 0$

[Weip]

Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

¡Hola!

Como dice Dj_jara, en los libros de mecánica cuántica no suele explicarse nada de álgebra lineal, cálculo o ecuaciones diferenciales porque son cosas que se dan por sabidas. Si quieres puedes mirarte la diagonalización en este documento. Es bastante aplicado, ni siquiera habla de espacios vectoriales, pero tiene ejemplos resueltos y te servirá para poder avanzar un poco más en el libro que estás siguiendo.

[Alofre]

Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

Disculpas porno explicarme bien, con un libro de Mecánica Cuántica me refería a un libro más o menos divulgativo, que por ejemplo, explica cosas bastante elementales como el producto escalar.
En primer lugar muchas gracias por el documento, me lo leeré (o al menos lo intentaré :-))
En segundo lugar yo llegué al siguiente sistema:
cos($\theta$-$\alpha$)=${\lambda}_{1}$*cos($\alpha$)
sin($\theta$-$\alpha$)=${\lambda}_{1}$*sin($\alpha$)

Alguien podría darme una idea de como continuar? Muchas gracias!!

[Dj_jara]

Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

Disculpas porno explicarme bien, con un libro de Mecánica Cuántica me refería a un libro más o menos divulgativo, que por ejemplo, explica cosas bastante elementales como el producto escalar.
En primer lugar muchas gracias por el documento, me lo leeré (o al menos lo intentaré :-))
En segundo lugar yo llegué al siguiente sistema:
cos($\theta$-$\alpha$)=${\lambda}_{1}$*cos($\alpha$)
sin($\theta$-$\alpha$)=${\lambda}_{1}$*sin($\alpha$)

Alguien podría darme una idea de como continuar? Muchas gracias!!

Si divides la primera ecuación con la segunda tendrás algo que sólo depende de alfa y theta, si elevas las dos ecuaciones al cuadrado y las sumas tendrás algo que sólo depende the lambda.

[Alofre]

Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

Ya veo, muchas gracias!!

[Alriga]

Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

Calcule los eigenvectores y eigenvalores de ${\sigma}_{n}$ siendo

$\sigma_n= \begin{pmatrix}<br /> \cos \theta & \sin \theta \\<br /> \sin \theta & -\cos \theta<br /> \end{pmatrix}$

Uso "x" en vez de "$\theta$" para no escribir tanto LateX. Si la matriz es

$\sigma_n=\begin{pmatrix}\cos x & \sin x \\<br /> \sin x & -\cos x<br /> \end{pmatrix}$

El polinomio característico $det(\sigma_n - k I) = 0$ queda:

$\begin{vmatrix}\cos x- k & \sin x \\<br /> \sin x & -\cos x-k<br /> \end{vmatrix}=0$

$(\cos x-k)(-\cos x-k)-\sin^2 x = 0$

$k^2-(\sin^2 x+\cos^2 x)=0$

$k^2=1$

Por lo tanto los valores propios (eingenvalues) son

$k=-1$

$k= 1$

La matriz diagonalizada está formada por los valores propios en la diagonal, por lo tanto será:

$D=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\<br /> 0 & 1<br /> \end{pmatrix}$

Cada vector propio (eingenvector) asociado al valor propio se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo $(A-k I)\vec v=\vec 0$

Para k=-1 planteando el sistema y resolviéndolo, obtengo como vector propio.

$\vec v_1=\begin{pmatrix} -\tan \dfrac x 2 \\<br /> 1<br /> \end{pmatrix}$

Y para k=1 obtengo como vector propio:

$\vec v_2=\begin{pmatrix} \cot \dfrac x 2 \\<br /> 1<br /> \end{pmatrix}$

NOTA: lo he comprobado y todo es correcto.

Sobre este tema puede interesarte el hilo Operador asociado a determinados valores y vectores propios

Saludos.

[Alofre]

Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

Esto ... tres cosas
- "A" en tu ejemplo que es?
- D se tendría que diagonalizar así o también podría ser:
$\begin{pmatrix}<br /> 1 & 0 \\<br /> 0 & -1<br /> \end{pmatrix}$
- En el libro el resultado es

Autovector 1 = (cos x/2, sin(x/2))
Autovector 2 = (-sin(x/2), cos(x/2))

Muchas gracias y disculpad tantas preguntas

[Lorentz]

Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

Buenas

-A es la matriz que quieres diagonalizar

- Se podría diagonalizar perfectamente de ese modo, a cada autovalor hay un autovector asociado y el orden que les pongas sólo te cambiará el orden de la base de autovectores que estés usando.

- Si te das cuenta, multiplicando por coseno en uno y multiplicando por seno en el otro te quedan los mismos resultados. Hay infinitos autovectores pero se escoge una base de ellos, de modo que tanto los que puso Alriga como los que ponen en el libro son equivalentes.

[Alriga]

Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

... - "A" en tu ejemplo que es? ...

En la expresión $\boxed{A=P D P^{-1}}$ en nuestro caso particular la matriz A es la matriz que aquí hemos llamado $\sigma_n$ y que queremos diagonalizar. La solución que he obtenido en #7 es:

1)

$D=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\<br /> 0 & 1<br /> \end{pmatrix}$

$P=\begin{pmatrix} -\tan \dfrac x 2 & \cot \dfrac x 2 \\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix}$

Como correctamente te explica Lorentz, si intercambias los autovalores, hay que intercambiar los autovectores, por ello es igual de correcto:

2)

$D=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\<br /> 0 & -1<br /> \end{pmatrix}$

$P=\begin{pmatrix} \cot \dfrac x 2 & -\tan \dfrac x 2 \\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix}$

Como te explica Lorentz, cada vector propio lo puedes multiplicar por una constante y seguirá siendo un vector propio:

... Si te das cuenta, multiplicando por coseno en uno y multiplicando por seno en el otro te quedan los mismos resultados. Hay infinitos autovectores pero se escoge una base de ellos, de modo que tanto los que puso Alriga como los que ponen en el libro son equivalentes ...

Por lo tanto la opción (2) es equivalente a

$D=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\<br /> 0 & -1<br /> \end{pmatrix}$

$P=\begin{pmatrix} \cos \frac x 2 & -\sin \frac x 2 \\<br /> \sin \frac x 2 & \cos \frac x 2<br /> \end{pmatrix}$

Ahora si te apetece, como ejercicio para practicar, calcula la matriz inversa de P, (en este caso es muy fácil porque la matriz es 2x2 y el determinante es 1)

$P^{-1}=\begin{pmatrix} \cos \frac x 2 & -\sin \frac x 2 \\<br /> \sin \frac x 2 & \cos \frac x 2<br /> \end{pmatrix}^{-1}$

Con la matriz inversa que obtengas, haz los productos $P D P^{-1}$. Si no yerras en los cálculos, deberás obtener como resultado de esos productos la matriz original $\sigma_n$

Saludos.

[Lorentz]

Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

En efecto, lo que te ha escrito Alriga es a lo que me refería (pero de una forma mucho más clarificadora que la mía )

Si tienes alguna duda más no dudes en preguntar

[Alofre]

Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

Vale, muchas gracias por todo, creo que lo he entendido