2o ciclo Conmutador momento angula

[rruisan]

Buenas noches tengo la siguiente demostracion que no he podido terminar cualquier sugerencia se los agradeceria.

$[L_i,L_j]=i\hbar \varepsilon_{ijk}L_k$


donde $L_i=\varepsilon_{lmi} X_l P_m$ y $L_j=\varepsilon_{l'm'i}X_{l'}P_{m'}$


entonces: $L_i=i\hbar \sum_{ilm}X_l\partial_m$ y $L_j=i\hbar\sum_{jl'm'}X_i\partial_{m'}$

Lo cual utilizo $[A,B]=AB-BA$

entonces:

$[L_i,L_j]\phi=-\hbar^2 \sum_{ilm}\sum_{jl'm'}[X_l\partial_m,X_{l'}\partial_{m'}]\phi+\hbar^2 \sum_{jl'm'}\sum_{ilm}[X_i\partial_{m'},X_l\partial_m]\phi$

[pod]

Re: Conmutador momento angula

No es necesario que vayas a la representación del momento como derivada. La única propiedad que necesitas saber es

$$[ X_i ,\ P_j ] = i \hbar \delta_{ij} \ .$$

También puedes usar la propiedad

$$[A B,\ C] = A [B,\ C] + [A,\ C] B .$$

La misma propiedad funciona para el segundo argumento, como es fácil demostrar debido a la antisimetría.

Tendrás anticommutadores del estilo

$$\begin{aligned}<br /> \big[ X_l P_m,\ X_i P_j \big] & = X_l [P_m,\ X_i P_j] + [X_l,\ X_i P_j] P_m \\<br /> & = X_l \Big( X_i [P_m,\ P_j] + [P_m,\ X_i] P_j] \Big) \\<br /> & \quad + \Big( X_i [X_l,\ P_j] + [X_l,\ X_i] P_j \Big) P_m \ ,<br /> \end{aligned}$$

y sólo queda substituir estos commutadores (todos conocidos), y hacer un poco de gimnasia de índices con las épsilon.