1r ciclo Orbitales

[eduardo2384]

Saludos amigos, tengo algunas interrogantes. ¿Cuál es el significado físico de los orbitales atómicos?
Se puden graficar los orbitales para cada uno de los electrones de un átomo conociendo sus números cuanticos ¿cierto?, Si es así ¿debo pensar q esa gráfica es la region por donde se movería el susodicho electrón?
¿es posible superponer todas esas gráficas y es correcto decir q ésa superposición sería la versión más aproximada de mi átomo en cuestión? ¿que significa ésta proyección $<\vec{r}|n,l,m>=\psi_{n,l}^m(\vec{r})$? ¿esta mal escribir $|\psi>$ como si fuera vector de estado?

Espero q puedan responderme y aclarar mis dudas, gracias a todos.

[Entro]

Re: Orbitales

Los orbitales son las funciones de onda correspondientes a conocer tres autovalores de los observables asociados a un electrón en un átomo (si es polielectrónico, bajo la aproximación de electrones independientes), esencialmente el Hamiltoniano, el momento angular al cuadrado y la tercera componente del momento angular.

Por lo tanto un orbital es:

$\psi_{n,l,m}(r,\theta,\phi)$


Lo que se representa es la densidad de probabilidad dada por el cuadrado de la función de onda:

$\rho_{\psi}=|\psi_{n,l,m}|^2$

Recordando que estas funciones tienen una parte angular y una parte radial, se puede estudiar por separado las contribuciones radiales y angulares:

$\rho_{radial}=|R_{n,l}|^2$


Esta es la distribución radial para átomos hidrogenoides.




$\rho_{angular}=|Y_{lm}|^2$


Esta es la distribución de probabilidad angular (no tiene información sobre la distancia.



Esto nos permite entender la probabilidad de encontrar a un electrón en función de la distancia al núcleo, empleando la distribución radial. (En realidad hay que multiplicar por un factor $r^2$ para evitar una singularidad en el núcleo) y la probabilidad de encontrar un electrón en función de la dirección angular que tenga (independiente de la distancia al núcleo). La representación de esta última densidad de probabilidad es justamente la que se presenta en los libros con estas formas esféricas para orbitales tipo s (n=1,l=0), o lobulares para orbitales p (n=2,l=1,m=+1,0,-1. En realidad lo que se presentan son combinaciones reales de los armónicos esféricos correspondientes), etc.

Para tener el control sobre la probabilidad total de encontrar a un electrón en un núcleo por lo tanto hay que estudiar simultáneamente la densidad de probabilidad radial y angular. Una representación aproximada que da información combinada de ambas se puede ver en la siguiente figura:



Los orbitales no son las regiones por donde "se mueve el electrón", son las regiones donde existe probabilidad de encontrar al electrón en una medida de su posición. En cuántica estándar, no hay noción de movimiento siguiendo una trayectoria, así que hay que dejar de pensar en esos términos.

La expresión: $\langle \vec{r}|n,l,m\rangle=\psi_{n,l,m}(\vec{r})$ nos da la función de onda en la representación de posiciones asociada al estado con números cuánticos dados por n,l,m. En cuántica se trabaja con estados abstractos, caracterizados por los autovalores del conjunto completo de observables que conmutan del sistema de interés. En este caso del Hamiltoniano (n), el momento angular al cuadrado (l) y la tercera compontente del momento angular (m). Si lo que quiero es saber que función de las coordenadas espaciales (que conmutan entre ellas y por lo tanto tiene sentido escribir una función de las mismas) lo que tengo que hacer es proyectar el estado $|n,l,m\rangle$ sobre un autoestado de la posción $|\vec{r}\rangle =|r,\theta,\phi\rangle$ y eso me dará una función de la posición.

No está mal escribir $|\psi_{n,l,m}\rangle$ siempre que tengas en cuenta que eso no está en representación de posiciones.

[pod]

Re: Orbitales

En realidad, no sólo es correcto escribir el "ket" $\big| \psi_{n,l,m,s_z} \big>$, sino que de hecho es la forma más completa de describir (abstractamente) un estado electrónico. El ket contiene toda la información posible, mientras que $\psi = \big< \vec r | \psi \big>$ sólo contiene información sobre la posición. Recuerda, eduardo, que también hay el número cuantico de spin, $s_z = \pm 1/2$, que factoriza del estado, $\big| \psi_{n,l,m,s_z} \big> = \big| \psi_{n,l,m} \big> \otimes \big| \chi_{1/2,\ s_z} \big>$; sin él, sólo habría un electrón en cada orbital (n, l, m).

(En realidad hay que multiplicar por un factor $r^2$ para evitar una singularidad en el núcleo) y la probabilidad de encontrar un electrón en función de la dirección angular que tenga (independiente de la distancia al núcleo).

De hecho, ese factor va ahí porque nosotros decidimos hacer la separación de variables dejando un factor $r^2$ a parte porque nos es útil, no es que lo pongamos a mano para evitar una singularidad.

[Entro]

Re: Orbitales

No se pone a mano, se pone por cierta libertad a la hora de elegir la medida de integración espacial. La separación de variables no es que la hagamos dejando un factor $r^2$, es que podemos elegir ese factor de la medida integral en su parte radial que contiene ese bicho:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Si tomas ese factor de ahí pero dejas la medida radial simplemente como dr, todo va de cine.

Pero efectivamente, no se pone a mano.

[Nissan]

Re: Orbitales

En realidad, no sólo es correcto escribir el "ket" $\big| \psi_{n,l,m,s_z} \big>$, sino que de hecho es la forma más completa de describir (abstractamente) un estado electrónico. El ket contiene toda la información posible, mientras que $\psi = \big< \vec r | \psi \big>$ sólo contiene información sobre la posición. Recuerda, eduardo, que también hay el número cuantico de spin, $s_z = \pm 1/2$, que factoriza del estado, $\big| \psi_{n,l,m,s_z} \big> = \big| \psi_{n,l,m} \big> \otimes \big| \chi_{1/2,\ s_z} \big>$; sin él, sólo habría un electrón en cada orbital (n, l, m).



De hecho, ese factor va ahí porque nosotros decidimos hacer la separación de variables dejando un factor $r^2$ a parte porque nos es útil, no es que lo pongamos a mano para evitar una singularidad.

Esto no es correcto. El estado $\big| \psi_{n,l,m,s_z} \big>$ no tiene ni mas ni menos informacion que $\psi = \big< \vec r | \psi \big>$, y desde luego este ultimo no solo contiene informacion de la posicion (de hecho se puede etiquetar con los mismos numeros cuanticos). El estado $\big| \psi_{n,l,m,s_z} \big>$ es un elemento "abstracto" del espacio de Hilbert del sistema; abstracto en el sentido de que no esta expresado en ninguna base del espacio de Hilbert. Si la base de posiciones es completa, entonces $\psi = \big< \vec r | \psi \big>$ (en realidad con la integral sobre los elementos de la base) es exactamente lo mismo que $\big| \psi_{n,l,m,s_z} \big>$ (solo que expresado en una base concreta) y a partir de $\psi = \big< \vec r | \psi \big>$ podemos obtener $\big| \psi_{n,l,m,s_z} \big>$ en cualquier otra base. De hecho esto es valido para cualquier espacio vectorial, no se pierde ifnormacion por expresarlo en una base del propio espacio vectorial.

[pod]

Re: Orbitales

Esto no es correcto. El estado $\big| \psi_{n,l,m,s_z} \big>$ no tiene ni mas ni menos informacion que $\psi = \big< \vec r | \psi \big>$, y desde luego este ultimo no solo contiene informacion de la posicion (de hecho se puede etiquetar con los mismos numeros cuanticos). El estado $\big| \psi_{n,l,m,s_z} \big>$ es un elemento "abstracto" del espacio de Hilbert del sistema; abstracto en el sentido de que no esta expresado en ninguna base del espacio de Hilbert. Si la base de posiciones es completa, entonces $\psi = \big< \vec r | \psi \big>$ (en realidad con la integral sobre los elementos de la base) es exactamente lo mismo que $\big| \psi_{n,l,m,s_z} \big>$ (solo que expresado en una base concreta) y a partir de $\psi = \big< \vec r | \psi \big>$ podemos obtener $\big| \psi_{n,l,m,s_z} \big>$ en cualquier otra base. De hecho esto es valido para cualquier espacio vectorial, no se pierde ifnormacion por expresarlo en una base del propio espacio vectorial.

Lo que dices sería correcto si $\big|\vec r\big>$ fuera una base del espacio de Hilbert. Pero no lo es; sin ir más lejos, no tiene información sobre el spin.

[Nissan]

Re: Orbitales

Lo que dices sería correcto si $\big|\vec r\big>$ fuera una base del espacio de Hilbert. Pero no lo es; sin ir más lejos, no tiene información sobre el spin.

Mi discusion se basa en el caso en el que la base sea completa. Por eso me curo en salud y digo:

Si la base de posiciones es completa

Con lo que si la particula tiene spin la base no es completa y por tanto mi discusion no se aplica. Aunque tampoco dista mucho de ser completa. Si tomamos el caso de una particula no relativista con spin 1/2, vamos, el electron, el espacio de Hilbert se puede descomponer en el producto tensorial:

$\mathcal{H}_S=\mathcal{H}\otimes C^ 2$

Con lo que solo es necesario aniadir una base finita de $C^2$. Por cierto, las bases ni tienen informacion de spin ni dejan de tenerla. Simplemente o son bases adecuadas para describir el espacio de Hilbert completo o no lo son.