1r ciclo Un problema que parece sencillo I.

[GNzcuber]

Hola a todos,

No soy un alumno con nivel de segundo ciclo, pero me presento como oyente a la asignatura de Cuántica para poder entenderla y en cualquier caso, en el momento que tenga tiempo poder coger un libro de cuántica con fórmulas y entenderlo.

Al principio, cuando nos estaban introduciendo a la cuántica no había problema, el día que nos mostraron las operaciones del espacio de Hilbert me encantó, era sencillamente álgebra lineal. Sin embargo ya hace más de un mes que estoy muy perdido, me presenté a un examen parcial del cual no tengo nota por no estar matriculado.

El tema es que supe hacer muy poca cosa en el examen, y me gustaría que me pudiérais ayudar a resolverlo y entender su significado.

1. Una partíula de spin 1/2 se encuentra en el estado: $\dst \left|\psi_0 \right> = \left(\begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix}\right)$. Tenemos un aparato que mide cierto observable A que desconocemos.

(a) En medir con A el estado $\dst\left|\psi_0\right>$ encontramos el resultado $\dst a_1=+1$ con probabilidad $\dst p_{+1}=1/2$ y $\dst a_2=-1$ con probabilidad $\dst p_{-1}=1/2$.

Dad UN observable que sea compatible con estos resultados.

Mi solución:

Como medimos con el estado $\dst \left|\psi_0\right>$, significa que aplicamos $\dst \left<\psi_0\right| = \left(\begin{matrix}1&0\end{matrix}\right)$ a el estado $\dst \left|+1\right>=\left(\begin{matrix}\alpha \\ \beta\end{matrix}\right)$, y obtenemos una probabilidad de 1/2, por lo tanto:

$$\dst p_{+1}=\left|\left<\psi_0 | +1 \right> \right|^2=\left| \left(\begin{matrix}1 &0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\alpha \\ \beta \end{matrix}\right)\right|^2= \frac{1}{2}$$

$$\dst \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

No sé bien por qué, que no sea sólo por simplificación que normalizamos los estados. Por ello buscaré un beta tal que el módulo del vector estado anterior sea unitario:

$$\dst \left<+1|+1\right>=\left(\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \beta \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \beta \end{matrix}\right)=\frac{1}{2}+\beta^2=1\Leftrightarrow \beta=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Y por lo tanto $\dst \left|+1\right>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right)$.

Tampoco sé por qué, pero debo escoger que $\dst \left|-1\right>$ sea ortonormal a $\dst \left|+1\right>$, es decir:

$$\dst \left.\begin{aligned}\left<+1|-1\right>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}1 & 1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\alpha\\ \beta\end{matrix}\right)=0\\ \left<-1|-1\right>=\left(\begin{matrix}\alpha & \beta \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\alpha \\ \beta \end{matrix}\right)=1\end{aligned}\right\} \Rightarrow \left|-1\right>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}1 \\ -1\end{matrix}\right)$$

No sólo no entiendo por qué tiene que ser ortonormal, sinó que con las condiciones que tengo también me hubiera servido $\dst \left|-1\right>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}-1 \\ 1\end{matrix}\right)$

Para construir el observable A tengo:

$$\dst A=+1\cdot \left|+1\right>\left<+1\right|+(-1)\cdot \left|-1\right>\left<-1\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}1\\ 1\end{matrix}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}1 & 1\end{matrix}\right)-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}1 \\ -1\end{matrix}\right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}1 & -1\end{matrix}\right)$$

$$\dst A=\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}\right)-\frac{1}{2}\left(\begin{matrix}1 & -1 \\ -1 & 1\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)$$

Con esto había quedado algo contento, a pesar de mis dudas. Pero ...

(b) Queremos determinar unívocamente de cuál observable se trata. Para eso mediremos A de nuevo pero ahora sobre el estado $\dst \left|\psi_1\right>=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}1 \\ 1\end{matrix}\right)$, y encontramos el resultado $\dst a_1=+1$ con probabilidad $\dst p_{+1}=\cos^2(\phi_0)/2$ ¿Cuáles son los valores propios y vectores propios del observable A?

No entiendo por qué no está determinado, excepto por lo que había dicho antes, que el vector $\dst \left|-1\right>$ podría ser el vector que he escogido u otro que cumplía las mismas condiciones.

$$\dst \left|\left<\psi_1|+1\right>\right|^2=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{matrix}1 & 1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\alpha \\ \beta \end{matrix}\right)\right|^2=\frac{\cos^2(\phi_0)}{2}$$

$$\dst \alpha + \beta = \cos(\phi_0)$$

Con esto no sabría cómo construir el observable A.

(c) ¿Reconocéis el observable si la fase $\dst \phi_0=\frac{\pi}{2}$?

Respuesta: No.

Recapitulación de preguntas conceptuales:
1) ¿Qué significa tener un observabe? Fuera de lo que diga la Wikipedia, no logro relacionar el concepto con la matriz.
2) ¿Por qué debemos normalizar los estados?
3) ¿Por qué en el ejercicio anterior tuve que decir que $\dst \left|+1\right>$ y $\dst \left|-1\right>$ eran ortogonales?
4) ¿Por qué podría elegir indistintamente a $\dst \left|-1\right>$ como $\dst \left(\begin{matrix}1 \\ -1\end{matrix}\right)$ ó $\dst \left(\begin{matrix}-1\\ 1\end{matrix}\right)$ en el apartado (a)?
5) ¿Cuándo se puede decir que un observable está bien determinado?

Os agradezco cualquier ayuda.

P.D.: El segundo ejercicio lo pondré en otro post para no hacer más pesado éste.

[pod]

Re: Un problema que parece sencillo I.

Vamos a intentar a hacerlo desde el principio.

Nuestro estado inicial es $\big| \psi_0 \big> = {1\choose 0}$. Nuestro observable A vendrá representado por una matriz 2 x 2 hermítica. Por lo que nos dicen, sabemos que sus dos valores propios son $\pm 1$. Por el momento no sabemos sus vectores propios, así que los dejamos como incógnita,

$$<br /> \big| A = +1 \big> \equiv \big|+\big> = { a \choose b } , \qquad<br /> \big| A = -1 \big> \equiv \big|-\big> = { c \choose d } .<br />$$

Eso sí, sabemos que ambos vectores deben ser ortogonales, hay un teorema que así lo exige (vectores propios de valores propios diferentes son ortogonales, es algo de álgebra de primero)

$$\big< + \big| - \big> = (a^*\ \ b^*) { c \choose d } = a^* c + b^* d = 0 .$$

La información que nos dan en el primer apartado es que:

$$\left| \big< + \big| \psi_0 \big> \right|^2 = \left| (a^*\ \ b^*) {1\choose 0} \right| = |a^*|^2 = \frac12 ,$$

es decir, a es un número complejo con módulo $1/\sqrt{2}$. De c podemos decir exactamente lo mismo. Como ambos vectores deben estar normalizados a 1, también b y d tienen el mismo módulo. Así que podemos escribir

$$<br /> \big|+\big> = \frac1{\sqrt{2}} { x_1 \choose x_2 } , \qquad<br /> \big|-\big> = \frac1{\sqrt{2}} { y_1 \choose y_2 } ,<br />$$

donde $x_i$ y $y_i$ son todos números complejos de módulo 1, que cumplen

$$x_1^* y_1 + x_2^* y_2 = 0.$$

Para hacer el apartado a, sólo hay que buscar una solución. Hay muchas posibilidades.

Ahora tenemos la información del segundo apartado,

$$\left| \big<+\big| \psi_1\big> \right|^2 = \frac12 \cos^2\psi_0 = \frac14 ( 1 + \cos2\phi_0 ).$$

(Nota: ¿seguro que no era $2\cos^2\phi_0$? Así quedaría más simplificado, aunque podría cotas al valor de $\phi_0$). Esto también significa que

$$\left| \big<-\big| \psi_1\big> \right|^2 = 1 - \frac12 \cos^2\psi_0 = \frac14 ( 3 - \cos2\phi_0 ).$$

A partir de aquí debería ser más fácil seguir.

[carroza]

Re: Un problema que parece sencillo I.

Hola.

Una forma más sencilla de proceder:

El observable es una matriz hermítica, con autovalores +1 y -1; por tanto su traza (suma de autovalores) es cero y su determinante (producto de autovalores) es -1;

La unica solución posible es
$A = \left(\begin{matrix}\cos(\theta) & \sin(\theta) \exp(i \phi) \\ \sin(\theta) \exp(-i \phi) & -\cos(\theta) \end{matrix}\right)$

Por otro lado, el valor esperado con el estado (1,0) es cero, por lo que $\cos(\theta) =0$. Te queda
$A = \left(\begin{matrix} 0 & \exp(i \phi) \\ \exp(-i \phi) & 0 \end{matrix}\right)$