Divulgación Cuerpo Negro

[svkrlos]

Hola, podrían ayudarme con este problema:
Un cuerpo negro de temperatura T tiene un agujero en él de diámetro d. Estime el número de fotones por segundo que salen por el agujero con longitudes de onda entre $\lambda_1$ y $\lambda_2$.
Yo estoy partiendo de la teoría de Planck y su fòrmula :
$e_{total} = nhf$,
siendo:
$h = constante de Planck$
$f = frecuencia$
$n = numero de fotones$
Ahora para hallar la energía total, de la Ley de Planck:
$e_{total} = \displaystyle\frac{c}{4} \displaystyle\int_{a}^{b} \displaystyle\frac{2 \pi h c^2}{\lambda^5 ( e^{\displaystyle\frac{hc}{\lambda k_b T}} -1)} \, d\lambda$
que haciendo cambio de variable como $x=\displaystyle\frac{hc}{\lambda k_b T}$
$e_{total} = \displaystyle\frac{2\pi k_b^4 T^4}{c^2h^3} \displaystyle\int_{x(\lambda_1)}^{x(\lambda_2)} \displaystyle\frac{x^3}{e^x -1} \, dx$

mi principal duda es sobre el diametro "d", pues es un dato que no he utilizado. Quisiera saber si hay otro método de resolución de este problema; bueno, si es que lo he planteado correctamente.Ademas esa integral no es muy bonita tampoco ...

Estoy haciendo bien los pasos para la resolución del problema. Espero puedan darme algún consejo. Hay algún metodo mas simple... Gracias d antemano por su tiempo

[pod]

Re: Cuerpo Negro

Como la energía del fotón depende de la frecuencia, primero tienes que calcular cuantos fotones se emiten de cada frecuencia, y después integrar. Tu estás integrando primero. Haciendolo así, cuando hagas $E = n h\nu$, ¿qué frecuencia vas a poner, si hay varias?

La forma de la Ley de Planck que más te conviene es la siguiente:

$$I(\lambda, T) = \frac{2 h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{ \eee{hc/\lambda k T} -1} .$$

Puesta así te da la radiancia espectral, que es la potencia emitida por unidad de longitud de onda por unidad superficie, por unidad ángulo sólido. Como no te interesa la distinción por ángulo sólido, puedes integrar a la esfera, lo que te da un factor adicional $4\pi$ que multiplica a todo. Para saber el número de fotones emitidos, por unidad de superfície, de una frecuencia, tienes que dividir por la energía del fotón en cuestión, $e = h \nu = h c / \lambda$. Con lo cual,

$$n(\lambda, T) = \frac{8\pi h c^2}{h c \lambda^4} \frac{1}{ \eee{hc/\lambda k T} -1} .$$

Esta es la integral a hacer (pon los límites que corresponden). Recuerda que todo esto o es por unidad de tiempo y de superficie, para saber el número de fotones total que salen por unidad de tiempo tienes que multiplicar por la superfíciecantidades

$$N = 8\pi c S \int\frac{\dd\lambda}{\lambda^4} \frac{1}{ \eee{hc/\lambda k T} -1} = 8\pi c S \left(\frac{kT}{hc}\right)^{\!3} \int \frac{x^2\dd x}{\eee{x} - 1} .$$

Para saber la superficie de salida de la radiación, probablemente te vendrá bien el dato que no has usado.

Muchas veces puedes saber si llevas bien un problema guiándote por las unidades. Salvo error u omisión, el resultado final tiene unidades de inversa de tiempo, que es lo que corresponde.

Lamento que no te gusten esas integrales, con el cuerpo negro siempre salen de ese tipo, no hay nada que puedas hacer.

No te olvides de comprobar todos los cálculos, que los he hecho muy rápido y seguro que hay varios gazapos.