2o ciclo Autoestados y autoenergias

[BACANALATOR]

Hola a todos,

Estoy estudiando física cuántica por mi cuenta y tengo un cacao mental en cuanto a conceptos bestial. A ver si alguien me puede echar una mano.
Por ejemplo, si te dan un hamiltoniano como este: Ho^= [(1/2I) · (Lx^2 + Ly^2)] + 1/I·(Lz^2), el dos de los momentos angulares es al cuadrado.
Bien aquí para obtener los autoestados y autoenergias, primero de todo, los autoestados seran los autovalores no?, pero autoenergias son los autovalores de la energia representados por el operador energia que es el hamiltoniano.

No me queda nada claro, entonces desarrollando un poco el hamiltoniano me queda que Ho^= (1/2I)·L^2 - (1/2I)·Lz^2 = 1/2I· ( L^2 - Lz^2), cuyos autovalores energéticos tengo entendido que son para L^2 = l(l+1)·h^2 y para Lz^2 = m^2·h^2, los dos múltiplos de la constante racionalizada de planck.
Entonces aqui El,m = (h^2 / 2I)· (l(l+1) - m^2), es esto correcto?

Luego por ejemplo si quisiera saber las autoenergias de los tres primeros niveles de Ho, de la formula hallada anterior que seria los autovalores de la energia(autoenergias) sería sustituir l y m por 1,2,3?? se halla asi?, no lo tengo nada claro y tampoco que ahora que tengo las autoenergias, ahhh, los autoestados son los autovectores energéticos correspondientes a estos autovalores energéticos , no es así?

No tengo nada claro los conceptos, la verdad,
1 saludo

[pod]

Re: Autoestados y autoenergias

los autoestados seran los autovalores no?

No. Un estado propio (o auto-estado) es aquél que, aplicado al operador, vuelve a dar algo proporcional a él mismo. Esa constante de proporcionalidad es el valor propio (o auto-valor). Un auto-estado no es un auto-valor, son cosas diferentes, aunque relacionadas.

En este caso, como el operador es el hamiltoniano, los valores propios también reciben el nombre de "auto-energías".

cuyos autovalores energéticos tengo entendido que son para L^2 = l(l+1)·h^2 y para Lz^2 = m^2·h^2

Estos no son auto-valores energéticos. Son auto-valores a secas, correspondientes a los operadores $L^2$ y $L_z$.

Sólo son auto-valores energéticos los del hamitloniano completo, no los de sus partes.

Entonces aqui El,m = (h^2 / 2I)· (l(l+1) - m^2), es esto correcto?

Si tu desarrollo del hamiltoniano es correcto (esa parte no la comprobé), esto parece estar bien.

los autoestados son los autovectores energéticos correspondientes a estos autovalores energéticos , no es así?

Sí. Los estados propios de ese hamiltoniano son simplemente $\left|lm\right>$. Ahora sólo tienes que ver las combinaciones que te dan los resultados más pequeños para obtener los tres primeros estados.

[BACANALATOR]

Re: Autoestados y autoenergias

Hola Pod,

gracias por tu respuesta.

Entonces si los autoestados o autovectores son proporcionales al autovalor, un autoestado para un autovalor a es -3a, 7/4(a), raiz(3)·a, etc no?. Esto ya me queda bastante claro.

Luego por otra parte, para hallar los autovalores energéticos del hamiltoniano, lo que debería hacer es sustituir completamente los autovalores en el hamiltoniano entero (l y m) no es así?

Entonces: estos serían los autovalores energéticos del hamiltoniano completo: El,m = (h^2 / 2I)· (l(l+1) - m^2) no es así?

Muchas gracias Pod

[pod]

Re: Autoestados y autoenergias

Hola Pod,

gracias por tu respuesta.

Entonces si los autoestados o autovectores son proporcionales al autovalor,

No es eso exactamente. Si aplicamos el operador a su auto-estado, nos da algo proporcional a ese mismo estado.

Por ejemplo, estado $\left|n\right>$, operador $\hat O$, será auto-estado si

$$\hat O \left|n\right> = o(n) \left|n\right> ,$$

donde $o(n)$ es un simple numero (en general, complejo... aunque si el operador es un observable físico siempre será real).

Luego por otra parte, para hallar los autovalores energéticos del hamiltoniano, lo que debería hacer es sustituir completamente los autovalores en el hamiltoniano entero (l y m) no es así?

Entonces: estos serían los autovalores energéticos del hamiltoniano completo: El,m = (h^2 / 2I)· (l(l+1) - m^2) no es así?

Muchas gracias Pod

En general, tienes que buscar estados que sean propios del hamiltoniano. Como en el hamiltoniano tienes los operadores de momento angular, es lógico probar con la base de momento angular, $\left| l m \right>$ Si aplicas el hamiltoniano que te da a ese estado verás que te da

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
lo que hay subrayado es sólo un número, así que efectivamente [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es estado propio con valor propio $E_{lm}$.

Esta es la forma completa de razonar el problema.

[BACANALATOR]

Re: Autoestados y autoenergias

Hola Pod,

Gracias por tu comentario.
Por tu primer comentario, una vez hallas un autoestado nos da otro autoestado?? Esto es correcto, no sería aplicar el autovalor al operador para hallar autoestados?? No lo entiendo muy bien esto.

En el segundo comentario, he llegado a tu misma ecuacion, hallando separadamente los autovalores de L^al cuadrado y Lz^ al cuadrado que luego aplicando estos autovalores al operador me sale tu misma ecuación que serían las autoenergías , no es así??

Sin embaro tu haces, aplicas al operador H^el estado propio habitual de operadores de momento angular [lm> y hallas así autoestados [lm> multiplicados por los autovalores energeticos El,m.
Entonces aquí tengo dos dudas, como operas H^·[lm> para que te de igual a El,m· [lm> y segundo, cómo se hallarían los autoestados en 3 niveles energéticos?? del mismo modo que las autoenergías?? sustituyendo l y m por 0,1 y 2???

Saludos y gracias por tu tiempo

[pod]

Re: Autoestados y autoenergias

Hola Pod,

Gracias por tu comentario.
Por tu primer comentario, una vez hallas un autoestado nos da otro autoestado?? Esto es correcto, no sería aplicar el autovalor al operador para hallar autoestados?? No lo entiendo muy bien esto.

Si aplicas el operador a un auto-estado, te da el mismo auto-estado. Por eso se llama auto-estado; si fuera otro se llamaría hetero-estado.

Sin embaro tu haces, aplicas al operador H^el estado propio habitual de operadores de momento angular [lm> y hallas así autoestados [lm> multiplicados por los autovalores energeticos El,m.
Entonces aquí tengo dos dudas, como operas H^·[lm> para que te de igual a El,m· [lm>

Como en el hamiltoniano sólo salen los operadores tipicos del momento angular, los auto-estados del momento angular son también propios del hamiltoniano.

y segundo, cómo se hallarían los autoestados en 3 niveles energéticos?? del mismo modo que las autoenergías?? sustituyendo l y m por 0,1 y 2???

Saludos y gracias por tu tiempo

En teoría tendrías que probar todos los valores posibles de l y m para ver qué energias te dan más pequeñas. A la práctica, pensando un poco y probando sólo los primeros valores lo sacarás fácilmente.

Recuerda que m siempre está entre $-\ell$ y $\ell$. Si pones $m = \pm \ell$ lo que hay dentro del paréntesis siempre será igual a $\ell$, y ese es la energía propia menor para un determinado momento angular total.

Obviamente, el estado sin momento angular es el de energía más baja (igual a cero).

El estado |20> da 2. El estado |21> da 1. Los estados |20>, |21> y |22> dan 6, 5 y 2 respectivamente. Cualquier estado |3m> dará algo igual o mayor a 3.

Por lo tanto, los niveles de menor energía serán

1) |00> (E = 0)

2) |11> (E = h²/2I)

3) Está degenerado, |10> y |22> tienen ambos E = 2 h²/2I.

[BACANALATOR]

Re: Autoestados y autoenergias

Hola Pod,

Muchas gracias por tus comentarios porque creo que definitivamente ya si que me he enterado , voy a ir por partes a ver si lo he comprendido correctamente.

Teniendo en cuenta lo primero que me dijiste que al aplicar el operador a un autoestado (ket, autofuncion) da otro autoestado proporcional al anterior y esa proporcionalidad es un valor propio, por eso al final me dices que El,m es valor propio porque ha dado de nuevo por definicion el autoestado /lm> pero proporcional a El,m que es el valor propio. Esto lo entiendo bien, la relación con el operador.

2)Luego para hallar los autoestados de 3 primeros niveles, entiendo que hay ke ir probando valores de l y m para hallar los menores pero siempre claro está con m = l,-l, que tanto l y -l van a afectar igual porque esta elevado al cuadrado y resta. A partir de l = 3 , para cualkier m y l posterior ya h^2 / 2I siempre va a ser múltiplo de 3 o mayor y entiendo el razonamiento que expones y el tercer nivel esta degenerado porque hay dos autoestados con misma energia.
Lo entiendo todo ya si lo que estoy diciendo es correcto claro está.

Lo único sería hayllar los tres primeres niveles de las autoenergias, no entiendo como hallarlos, sustituyendo de nuevo los valores de l y m? pensaba que los 3 niveles se hallan tal como has explicado que se hallan los tres niveles de los autoestados.

Saludos y gracias Pod

[pod]

Re: Autoestados y autoenergias

Tienes que hacer toda la tabla de valores (ya la tienes echa antes) y tomar los tres valores más pequeños.