1r ciclo A vueltas con la normalización. Una consulta.

[elfio]

El enunciado es el siguiente:

"Obtenga la función de onda que describe a una partícula sometida a un potencial monodimensional, de tipo pozo cuadrado infinito, si sabemos que
a) $\Psi (x,t=0)$ es real.
b) Para t=0 las probabilidades de que su energía, en unidades de $(\hbar \pi)^2 /(2mL^2)$, sea 1 ó 9 son, respectivamente, 1/4 Y 3/4.
c) La densidad de probabilidad de encontrar la partícula en el centro del pozo para t=0 es mayor que 2/L."

Mi duda es sobre la normalización. Con los datos de los 2 primeros apartados sabemos que la función de onda es algo así:

$\Psi (x,t=0)=1/2[\psi _1 (x) \pm \sqrt{3} \psi _3 (x)]$

¿Puedo asumir que la función de onda está normalizada por el hecho de que la suma de los cuadrados de los coeficientes de los autoestados es 1?

Para normalizar una función de onda se que tengo que hacer

$1=\left\vert{} \Psi (x) \right\vert{} ^2 = \int ^L _0 \Psi^*(x) \Psi(x) dx$

Pero (asumiendo que el pozo infinito de potencial va desde 0 hasta L) como

$\psi _n(x)=Asen(n \pi x/L)$

Se me empieza a hacer todo un lío...

Tampoco tengo muy claro si puedo asumir que a la hora de normalizar puedo hacer 0 los términos cruzados por ortonormalidad, o eso sólo se puede hacer cuando ya la función de onda está puesta como combinación lineal de autoestados del hamiltoniano...

Es que la normalización de funciones de onda me trae de cabeza...

Una ayudita porfa

P.D.: También se que el $\pm$ que he puesto en la función de onda no es tal, sino que el signo hay que averiguarlo con el dato c).

[pod]

Re: A vueltas con la normalización. Una consulta.

¿Puedo asumir que la función de onda está normalizada por el hecho de que la suma de los cuadrados de los coeficientes de los autoestados es 1?

Si la base que has usado es ortonormal, sí. El hecho de que sea ortonormal te facilita las cosas, porque ya sabes el resultado de las integrales de entrada. Básicamente, tendrías que hacer

$$\int \dd x \frac12 \Big( \psi_1^* \pm \sqrt \psi_3^* \Big)\frac12 \Big( \psi_1 \pm \sqrt \psi_3 \Big) = 1.$$

Desarrollando el producto de los paréntesis, te quedarán cuatro términos. Primero habrá los términos cruzados, 1* con 3 y 3* con 1. Estas integrales dan cero, por ortogonalidad. Hay un teorema que asegura que todas las funciones propias de un observable son ortogonales si su valor propio es diferente. En este caso, el valor propio es la energía, y es diferente, así que seguro que son ortogonales, no hay lugar a dudas; esto puedes hacerlo siempre que tengas una base que sabes que viene del espectro de vectores propios de un operador.

Por lo tanto, sólo te quedarán los términos diagonales,

$$\frac14 \int \dd x |\psi_1|^2 + \frac34 \int\dd x |\psi_3|^2 = 1 .$$

Como la base viene siempre pre-normalizada, estas integrales dan 1. Y, como ves, no has necesitado la realización concreta de la función de onda, e incluso no has necesitado hacer ninguna integral (hasta el punto que toda esta notación se puede generalizar a vectores, o "kets", de estado, un concepto más abstracto que la función de onda).

[elfio]

Re: A vueltas con la normalización. Una consulta.

Muchas gracias pod.

Ya sólo me queda una duda más: ¿cómo puedo comprobar que estoy trabajando con autofunciones del hamiltoniano?

[pod]

Re: A vueltas con la normalización. Una consulta.

Muchas gracias pod.

Ya sólo me queda una duda más: ¿cómo puedo comprobar que estoy trabajando con autofunciones del hamiltoniano?

Resolviendo la ecuación de Schödinger independiente del tiempo.

[elfio]

Re: A vueltas con la normalización. Una consulta.

Muchas gracias!!

[elfio]

Re: A vueltas con la normalización. Una consulta.

Resulta que en este caso no tenemos la función de onda como combinación lineal de autofunciones del hamiltoniano.

Haciendo los cálculos llego a esto:

$\hbar ^2 /4m (\pi/L) ^2 [\psi _1(x) + 9\sqrt{3} \psi _3 (x)]$

Y por culpa de ese 9 no se cumple la condición.

¿Hay alguna forma de ponerla como autofunción del hamiltoniano para trabajar con ella así?
¿Aunque la haya para este enunciado es más conveniente no hacerlo?

Edito:

La función a la que le he aplicado el hamiltoniano es esta:


$\Psi (x,0)=1/2[\psi _1 (x) + \sqrt{3} \psi _3 (x)]$

Y estas las autofunciones:

$\psi _1 (x)=A sen (\pi x /L)$ Y $\psi _3 (x)= B sen (3 \pi x /L)$

[pod]

Re: A vueltas con la normalización. Una consulta.

Resulta que en este caso no tenemos la función de onda como combinación lineal de autofunciones del hamiltoniano.

Haciendo los cálculos llego a esto:

$\hbar ^2 /4m (\pi/L) ^2 [\psi _1(x) + 9\sqrt{3} \psi _3 (x)]$

Y por culpa de ese 9 no se cumple la condición.

¿Hay alguna forma de ponerla como autofunción del hamiltoniano para trabajar con ella así?
¿Aunque la haya para este enunciado es más conveniente no hacerlo?

Edito:

La función a la que le he aplicado el hamiltoniano es esta:


$\Psi (x,0)=1/2[\psi _1 (x) + \sqrt{3} \psi _3 (x)]$

Y estas las autofunciones:

$\psi _1 (x)=A sen (\pi x /L)$ Y $\psi _3 (x)= B sen (3 \pi x /L)$

Obvio. La combinación lineal de vectores propios no es un vector propio. Pero eso no te perjudica en nada.

Lo que tienes que hacer es el valor esperado.