2o ciclo Duda larga con problema de valores esperados y estado tras la medida

[vpleader]

¡Hola físicos!

Traigo hoy unas dudas con un problema típico de Mecánica Cuántica. El enunciado del problema es el siguiente:

Considere un sistema físico en un state space tridimensional. Se elige una base ortonormal de este espacio; en esta base el Hamiltoniano se representa mediante la siguiente matriz:

$H=\begin{pmatrix}<br /> 2 & 1 & 0 \\<br /> 1 & 2 & 0 \\<br /> 0&0&3<br /> \end{pmatrix}$

a)Cuáles son los posibles valores cuando se mide la energía del sistema?
b) Una partícula se encuentra en el estado |$\Psi$>, y se representa en esta base como $\frac{1}{ \sqrt{3} } \begin{pmatrix}<br /> i \\<br /> -i \\<br /> i<br /> \end{pmatrix}$ Encontrar <H>,<H²>.

Parte 2: Supongamos que la energía del sistema se ha medido obteniendo E=1. Posteriormente, realizamos una medida de una variable A descrita en la misma base por

$A=\begin{pmatrix}<br /> 5 & 0 &0 \\<br /> 0 & 2 & i \\<br /> 0 &-i&2<br /> \end{pmatrix}$

c) Encontrar los posibles valores de la variable A
d) ¿Cuáles son las probabilidades de obtener cada uno de los resultados obtenidos en el apartado anterior?

Los apartados a, b y c los he resuelto sin mayor complicación. Mi problema llega en el apartado d, y consiste en que no sé calcular el estado del sistema tras la medida. He consultado en 5 libros, y en ninguno me entero de cómo se hace en la práctica.

Según uno de ellos, si la medida de una magnitud A sobre un sistema físico en un estado |$\Psi$> da ${a}_{n}$, entonces tras la medida el estado viene dado por la proyección normalizada de |$\Psi$> sobre el "eigenspace" $\varepsilon$ asociado a ${a}_{n}$:

$\frac{1}{\sqrt{<\Psi|{P}_{n }|\Psi> } }{P}_{n }|\Psi>$

siendo ${P}_{n }$ el proyector sobre $\epsilon$.

Al menos yo con este tipo de definiciones no soy capaz de enterarme...
Mis dudas son:
1) ¿Sabéis cómo hay que proceder para resolverlo a partir del estado inicial?

2) ¿Cómo se obtiene el proyector de un subespacio (en general)? He visto la definición a partir de los vectores $|{\psi}_{i } >$que generan el subespacio como:

${P}_{m }=\sum_{i = 1}^m |{\psi}_{i } >,<{\psi}_{i } |$

pero siempre me queda 1 al calcularlo, así que no debo estar haciéndolo bien. Por ejemplo si los vectores que general el subespacio fuesen (a,b) y (c,d), ¿cómo obtengo el proyector y qué quedaría?

3) El libro de problemas del que lo he sacado parece hacerlo por otro método: para él, el estado tras la medida es el autovector de H correspondiente a E=1. ¿Por qué esto es así? ¿Puede hacerse siempre? Pero... ¿haciéndolo así no estamos ignorando el estado inicial del sistema?

[polonio]

Re: Duda larga con problema de valores esperados y estado tras la medida

La mecánica cuántica postula que siempre que haces una medida, el estado colapsa (también se llama reducción de la función de onda): es decir, el estado inmediatamente después de la medida es el autovector correspondiente al del autovalor obtenido al medir (ni más, ni menos).

[vpleader]

Re: Duda larga con problema de valores esperados y estado tras la medida

Mmm... pero entonces... ¿el estado final es independiente del ket inicial?

[polonio]

Re: Duda larga con problema de valores esperados y estado tras la medida

Pues, sí. Entre medida y medida el estado evoluciona de forma suave, pero cuando mides, éste se proyecta bruscamente (se reduce o colapsa) sobre el autoestado asociado al autovalor de la medida... sea cual sea el estado inicial.

[vpleader]

Re: Duda larga con problema de valores esperados y estado tras la medida

Y si tuviese un autoestado degenerado, ¿tendría que hacer el proyector?

¿Ese proyector sería la suma de los ketbra de los autovectores del autovalor?

[polonio]

Re: Duda larga con problema de valores esperados y estado tras la medida

Si es degenerado (un autovalor asociado a varios autoestados diferentes), entonces debemos hacer la medida de otra magnitud diferente cuyo operador sea compatible con el de la primera medida y (al ser compatible tiene la misma base de autoestados: base común) el estado es el autoestado común a los autovalores obtenidos en las medidas de ambas magnitudes.

[pod]

Re: Duda larga con problema de valores esperados y estado tras la medida

Mmm... pero entonces... ¿el estado final es independiente del ket inicial?

Mayormente sí, pero no del todo. Si el estado inicial no contiene un estado propio correspondiente a un valor propio, ese nunca podrá salir como valor de la medición y por lo tanto nunca será el resultado del colapso.

Y, por supuesto, el ket inicial determina la probabilidad de cada resultado posible.

Y si tuviese un autoestado degenerado, ¿tendría que hacer el proyector?

¿Ese proyector sería la suma de los ketbra de los autovectores del autovalor?

Correcto.

A la práctica, lo que haces es quitar todos los estados de la base que no tengan el valor propio correcto, y después arreglar la normalización.

Si es degenerado (un autovalor asociado a varios autoestados diferentes), entonces debemos hacer la medida de otra magnitud diferente cuyo operador sea compatible con el de la primera medida y (al ser compatible tiene la misma base de autoestados: base común) el estado es el autoestado común a los autovalores obtenidos en las medidas de ambas magnitudes.

No estás obligado a hacer una medición extra. Si tu estás en el laboratorio, puedes elegir que medidas haces. Si realizas sólo una, y el estado resultante es degenerado, seguirás teniendo una combinación de estados de la base en vez de un estado "base".

Necesitas varios observables para romper la degeneración si estás caracterizando la base. Necesitas etiquetas diferente para cada estado de la base, y por eso hacen falta operadores adicionales por cada degeneración. Pero este no es el caso, no estamos caracterizando una base, sino viendo el resultado de una medición, y eso se hace con el proyector como decía vpleader.

[vpleader]

Re: Duda larga con problema de valores esperados y estado tras la medida

Correcto.

A la práctica, lo que haces es quitar todos los estados de la base que no tengan el valor propio correcto, y después arreglar la normalización.

Por ver si lo he entendido: supongamos que nos han salido dos autovalores: a, con autovector |â>, y c degenerado, con autovectores |ĉ1> y |ĉ2>.

¿El estado final sería el ket suma |ĉ1>+|ĉ2>, haciéndole la correspondiente normalización?

[polonio]

Re: Duda larga con problema de valores esperados y estado tras la medida

No estás obligado a hacer una medición extra. Si tu estás en el laboratorio, puedes elegir que medidas haces. Si realizas sólo una, y el estado resultante es degenerado, seguirás teniendo una combinación de estados de la base en vez de un estado "base".

Necesitas varios observables para romper la degeneración si estás caracterizando la base. Necesitas etiquetas diferente para cada estado de la base, y por eso hacen falta operadores adicionales por cada degeneración. Pero este no es el caso, no estamos caracterizando una base, sino viendo el resultado de una medición, y eso se hace con el proyector como decía vpleader.

Sí, claro. No sé por qué pensé que querías caracterizar la base. Efectivamente, es esto que dice pod. Olvidé la pregunta inicial: empecé a contestar el punto (3) y, luego, continué el hilo por otro lado (buscando la base).

[pod]

Re: Duda larga con problema de valores esperados y estado tras la medida

Por ver si lo he entendido: supongamos que nos han salido dos autovalores: a, con autovector |â>, y c degenerado, con autovectores |ĉ1> y |ĉ2>.

¿El estado final sería el ket suma |ĉ1>+|ĉ2>, haciéndole la correspondiente normalización?

Más o menos, tienes que respetar la "proporción" anterior entre esos estados. Imagínate por ejemplo que el estado inicial es

$$\big| \psi \big> = \frac12 \big| a \big> + \frac12 \big| c_1 \big> + \frac1{\sqrt 2} \big|c_1 \big> .$$

Entonces, si obtienes c, el estado será

$$\big| \psi' \big> = \frac{2}{\sqrt3} \left( \frac12 \big| c_1 \big> + \frac1{\sqrt 2} \big|c_1 \big> \right) .$$

Donde el prefactor es la constante de normalización que hace falta. Por tanto,

$$\big| \psi' \big> = \frac1{\sqrt3} \big| c_1 \big> + \sqrt{\frac23} \big|c_1 \big> .$$

Fíjate que efectivamente esto es lo mismo que tendrías si usaras el proyector con los diferentes ket-bra. En definitiva, el proyector es la unidad del subespacio con el valor propio deseado (más normalización).

Además, puedes saber la probabilidad de que te salga el valor c en la medición simplemente haciendo el bracket

$$P_{c} = \Big| \big< \psi' | \psi \big> \Big|^2 .$$