Secundaria Doble adjunto

[Mister Kroket]

Hola, aquí sigo intentando aprender algo y como no tengo a más profesores que a vosotros os quería preguntar otra cosa,

Tengo que demostrar desde la definición de operador adjunto esto, al parecer es una tontería, porque he visto un montón de libros en googlebooks y en todos ponía es fácil ver que.... , para mí no tanto !, vamos allá,

$( {A} ^\dag ) ^\dag = {A}$

Yo intenté esto;

Parto de estas relaciones

$\dst < A \psi | \phi > = < \phi | A \psi > ^*$

y
$\dst < \psi | A^\dag \phi > = < A \psi | \psi >$



Le hago otra vez el complejo conjugado a una de las de antes en los dos miembros $\dst < \phi | A \psi > ^{**} = (< A \psi | \phi > )^*$

Este paso de ahora no se si es correcto $\dst \Rightarrow < \phi | A \psi > = < \psi | A^\dag \phi > ^*$

Que también se puede poner de esta forma

$\dst < \phi | A| \psi > = < \psi |( A^\dag )^\dag \phi > ^* \Rightarrow < \phi | A| \psi > = < \phi |( A^\dag )^\dag \psi >$

y se supone que ya estaría

Gracias.

[pod]

Re: Doble adjunto

Lo correcto es

$$\left< \psi | A \phi \right> = \left< A^\dag \psi | \phi \right>^*$$

Si aplicas lo mismo otra vez, tendrás $\left< \psi | (A^\dag)^\dag \phi \right>$. Y esto tiene que ser igual a lo original, así que $A = (A^\dag)^\dag$.

[Mister Kroket]

Re: Doble adjunto

O sea que esto es así?

$\left< \psi | A \phi \right> = \left< A^\dag \psi | \phi \right>^* =\left< \psi | A \phi \right> = \left< A^\dag \psi | \phi \right>^*$ podría explicarme de donde viene la expresión que pusiste es que cuando la vi me quedé al no saber de donde viene, y que tendría que aplicar otra vez ,hacerle el conjugado de nuevo?,

gracias por tu ayuda

[pod]

Re: Doble adjunto

¿Qué expresión? ¿La ecuación (1)? Es la definición de adjunto.

[Mister Kroket]

Re: Doble adjunto

Yo tengo dos definiciones de adjunto esta que la puse antes

$\dst < \psi | A^\dag \phi > = < A \psi | \psi >$ (2)

y esta que se parece un poco a la que pusiste tú,
$<br /> \left< \psi | A \phi \right> = \left< A^\dag \psi | \phi \right>$ (3)

pero sin el conjugado en la parte izquierda , sin embargo la (3) se supone que no la puedo usar porque también tuve que demostrarla y para hacerlo utilicé $A = (A^\dag)^\dag$

y mi duda es porque la ecuación (1) que pusiste lleva ese asterisco en la parte izquierda ¿ de donde sale ?

[pod]

Re: Doble adjunto

Yo tengo dos definiciones de adjunto esta que la puse antes

$\dst < \psi | A^\dag \phi > = < A \psi | \psi >$ (2)

y esta que se parece un poco a la que pusiste tú,
$<br /> \left< \psi | A \phi \right> = \left< A^\dag \psi | \phi \right>$ (3)

pero sin el conjugado en la parte izquierda , sin embargo la (3) se supone que no la puedo usar porque también tuve que demostrarla y para hacerlo utilicé $A = (A^\dag)^\dag$

y mi duda es porque la ecuación (1) que pusiste lleva ese asterisco en la parte izquierda ¿ de donde sale ?

El asterisco es la operación de conjugación compleja (cambiar i a -i), y tienes razón que en la definición tal y como la estamos poniendo no se debe poner.

Se debe poner cuando se utiliza la notacion operacional,

$$\big< \psi \big| A \big|\phi \big> = \big< \phi \big| A^\dag \big|\psi \big>^* .$$

Las definiciones 2, 3 y 4 son equivalentes entre si.

[Mister Kroket]

Re: Doble adjunto

Por lo visto el doble conjugado devuelve el original, no es así?, así que eso era lo que me faltaba.

es decir $< u | v> ^{**}= < u| v>$


gracias