Calcular <x> (cuantica)

[Gothgauss]

Hola, si me dan un pozo de potencial infinito de anchura a, cuyas funciones propias son:

f[x]=((2/a)^1/2)*Sen[(n*Pi*x)/a]
En=((n*Pi*h)^2)/(2*m*a^2)

Donde el estado del sistema es de laforma

Y[x,t]=alfa*f1[x]*Exp[E1]+beta*f2[x]*Exp[E2]
con |alfa|^2 + |beta|^2=1

¿Como calcularia el valor de <x>?

¿Seria <x>=Integral[Y*xY,{x,0,a}]?

No creo que este muy desencaminado, pero tampoco muy acertado... ¿curioso verdad?


Gracias por vuestra ayuda y feliz semana santa

[pod]

Re: Calcular &lt;x&gt; (cunatica)

Tienes que hacer la integral, sí:

$$\left<X\right> = \int_0^a \!\! \dd x \, x Y^*(x) Y(x) \ .$$

[Gothgauss]

Re: Calcular &lt;x&gt; (cunatica)

¿pero el valor de alfa y beta como lo calculo para poder despejarlo?

[pod]

Re: Calcular &lt;x&gt; (cunatica)

No puedes, son parámetros del enunciado. Tienes que dar el resultado en función de ellos.

[Gothgauss]

Re: Calcular &lt;x&gt; (cunatica)

¿y si son operadores hermeticos?

Es que lo que me piden calcular es que

m*d<x>/dt=<Px>

Haciendolo integrando y luego haciendo por otro lado <Px> no da

[Entro]

Re: Calcular &lt;x&gt; (cunatica)

Si los operadores son herméticos entonces no hay problema, no les entra agua y así duran más los alimentos.

Por otro lado lo que te están preguntando es que compruebes el teorema de Eherenfest. Sólo hay que dejarse llevar, calcular, calcular, calcular...

[Gothgauss]

Re: Calcular &lt;x&gt; (cunatica)

Dejandome llevar y llevar tan solo he conseguido que se cumpla cuando el sen(t)=0;

luego esa no puede ser la solucion, y hago algo mal.

Hago lo siguiente:
<x>=Integral entre 0 y a de la funcion de onda por su conjugado y por x

<px>=integral entre 0 y a de la funcion de onda por su derivada respecto de x y por -(i*h)

Haciendo eso, derivando <x>respecto del tiempo y multiplicandolo por la masa no me da

[pod]

Re: Calcular &lt;x&gt; (cuantica)

Ah, así que tienes que comprobar que la ley de Newton se cumple a nivel de operadores. No pusiste todos los factores de tu función, supongo que será algo así como:

$$\psi(x,t) = \alpha f_1(x) \exp\left(-\frac{i E_1 t}{\hbar}\right) + \beta f_2(x) \exp\left(-\frac{i E_2 t}{\hbar}\right)\ .$$

Con ayuda del Mathematica (ya estoy viejo para hacer estas cosas a mano ) tenemos:

$$\left< X \right> = \int_0^a \!\!\dd x \ \psi^* x \psi = \frac a 2 - \frac{32 \alpha\beta}{9\pi^2} \cos\left( \frac{3\hbar \pi^2 t}{2 a^2 m}\right) \ ,$$

$$\left< P_x \right> = \int_0^a \!\!\dd x \ \psi^* i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial x} = \frac{16 \alpha\beta\hbar}{3a} \sin\left( \frac{3\hbar \pi^2 t}{2 a^2 m}\right) \ .$$

Sólo te queda derivar.