Secundaria Longitud de onda de un electrón

[Pepealej]

Muy buenas, tengo un ejercicio que dice así: se acelera un electrón por una diferencia de potencial $\Delta V$, ¿cuál es su longitud de onda de De Broglie?

El problema lo he aborado de 2 formas, y obtengo soluciones distintas en ambas. En primer lugar doy la primera respuesta (la correcta, según el libro de respuestas).

1ª respuesta:

La energía cinética del electrón: $E_c = q \Delta V = \frac{1}{2} m v^2$, de donde: $v=\sqrt{\frac{2 q \Delta V}{m } }$

De aquí, según la hipótesis de De Broglie: $\lambda = \frac{h}{mv}=\frac{h}{ \sqrt{2 q \Delta V m} }$

2ª respuesta:

Según la hipótesis de De Broglie: $\lambda = \frac{h}{mv}=\frac{h}{m \lambda f}$, de donde: $\lambda ^2 = \frac{h}{m f }$

La energía cinética del electrón: $E_c = q \Delta V = h f$, de donde: $f = \frac{q \Delta V}{ h}$

Sustituyendo en la ecuación anterior queda que: $\lambda=\frac{h}{ \sqrt{ q \Delta V m} }$

Según el libro de respuestas la respuesta 2ª no es buena, ¿por qué?

Yo creo que el fallo está cuando dije que la energía cinética es igual a hf, pero no se porqué.


Gracias por vuestra ayuda

[xXminombreXx]

Re: Longitud de onda de un electrón

hf representa la energía mínimo de un fotón, no de cualquier partícula.

[draykaler]

Re: Longitud de onda de un electrón

La respuesta buena es la primera. Lo escribo de la forma que lo he escrito yo en la mayoría de ejercicios de este tipo:

E=qV=1/2 m v^2 --> v=(2qV/m)^0.5

Y de aquí usando De Broglie nos queda:

lamda=h/p=h/mv=h/m(2qV/m)^0.5=h/(2qVm)^0.5

Espero que se entienda, aunque es justo lo mismo que has puesto en la primera respuesta
Tienes que tener en cuenta que la forma de calcular la energía de un electron y un fotón no es la misma, pues uno tiene masa y el otro no. La energía cinética del electrón depende de su velocidad y de su masa E=1/2 mv^2; mientras que el fotón no tiene masa y su energía se calcula con E=hf

[pod]

Re: Longitud de onda de un electrón

Como te han dicho los compañeros, $E = h f$ sólo vale para partículas sin masa (como el fotón). La relación completa entre energía y momento en relatividad es

$$E^2 = c^2 p^2 + m^2 c^4 .$$

Si aplicamos que $\lambda = h/p$, entonces llegamos a

$$E^2 = \left(\frac{ch}{\lambda}\right)^2 + (mc^2)^2 .$$

Con esta, debería salirte bien.

[arivasm]

Re: Longitud de onda de un electrón

Aprovecho para hacerle una pregunta a pod, sobre lo que acaba de escribir: ¿para cualquier partícula es $f=c/\lambda$? Soy consciente de que debería saber la respuesta pero de repente me ha saltado una neurona que se me ha puesto pesada con esta duda.

[pod]

Re: Longitud de onda de un electrón

Aprovecho para hacerle una pregunta a pod, sobre lo que acaba de escribir: ¿para cualquier partícula es $f=c/\lambda$? Soy consciente de que debería saber la respuesta pero de repente me ha saltado una neurona que se me ha puesto pesada con esta duda.

Al contrario de lo que parecía indicar antes, obviamente no. La relación de dispersión depende de la velocidad.

Por una parte, De-Broglie nos dice $\lambda = p/h$. Por la otra, la relación de Plank-Einstein nos dice $E = h \nu$, de donde sacamos $\nu = h/E$. Multiplicando ambas

$$\nu\lambda = \frac{E}{p} = \frac{c^2}{v} .$$

Por lo tanto,

$$E^2 = \left( \frac{v \nu}{c} \right)^{\!\!2} + m^2 c^4 .$$

Ahora diría que sí está bien.

[arivasm]

Re: Longitud de onda de un electrón

Gracias, pod. Eso encaja mejor en lo que yo recordaba, es decir, que las leyes de Planck y De Broglie sí son aplicables a todas las partículas. Desde ese punto de vista, lo que fallaba en la pregunta que hacía Pepealej sería identificar la energía cinética de los electrones con su energía relativista, con lo que el error estaría en igualar $h\nu$ con $q\Delta V$.