2o ciclo Entropía cuántica

[Jose D. Escobedo]

Hola

Tengo una pequeña duda en este ejercicio: Tenemos el estado $|\psi>=c_1|\psi_1>+c_2 |\psi_2>$ con la matriz de densidad $\begin{pmatrix}c_1^2 & c_1 c_2^*\\ c_2 c_1^*&c_2^2\end{pmatrix}$, sabiendo que: $c_1^2+c_2^2=1$.
Al calcular los "eigen-values," estos resultan $\lambda_1=0$ y $\lambda_2=c_1^2+c_2^2=1$ y que al aplicar la definición de entropía $S_1=-0ln|0|-1\ln|1|=0$, lo cual es correcto, porque la densidad de la matriz que describe un estado puro su entropía es cero.
Pero cuando se efactúa una medida en este estado puro y esta colapsa a ($|\psi>=a_1|\psi_1>$) el cual es otro estado puro con entropía $S_2=-a_1^2\ln|a_1^2|$, pero esta entropía es cero si $a_1=1$. Por otro lado tengo que decir que si hay un cambio de entropía porque se pierde la información del estado $|\psi_2>$ y el calculo anterior me dice que: $\Delta S=S_2-S_1=0$. Entonces ¿cúal es el valor del incremento de la entropía? o se resuelve tomando ¿$1>c_1=a_1>0$? y si esta esta última afirmación es correcta ¿pórque lo es?

Saludos
Jose

[pod]

Re: Entropía cuántica

Por normalización, debe de cumplirse forzosamente $|a_1| = 1$.

Te sale cero porque has pasado de estado puro a estado puro. En cada momento sabes en qué estado estás, no tienes un estado mezcla. Si tuvieras una mezcla, y la medición se "cargara" algunos de esos estados de la mezcla, entonces sí verías cambio en la entropía.

Lo que te pasa aquí no es eso. Te desaparece un vector de la base en la descomposición del estado puro... pero, ¿y qué? Eso es un artificio de la base. Si hubieras cogido otra base, entonces los coeficientes cambiarían pero no desaparecería ningún estado en la descomposición.

La entropía te dice la información que tienes sobre cuál de los estados de la mezcla es el "real" (por decirlo de forma patillera). Si en cada caso tienes un estado propio, entonces sabes con certeza en qué estado puro estás.

[Jose D. Escobedo]

Re: Entropía cuántica

Para afinar bien el concepto, ahora digamos que tengo el mismo estado $|\psi>=c_1|\psi_1> +c_2|\psi_2>$, pero ahora mezclado puesto que esta determinado por la matriz de densidad $\begin{pmatrix}c_1^2&0\\0&c_2^2\end{pmatrix}$, entonces la entropía es $S_1=-c_1^2 \ln|c_1^2|-c_2^2\ln|c_2^2|> 0$. Si se efectuara una medida en este estado, digamos que colapsa a $|\psi>=a_1|\psi_1>$ cuya entropía es $S_2=-a_1^2 \ln|a_1^2|$ la cual es cero si $a_1^2=1$, por lo que podría inferir que que $\Delta S=S_2-S_1<0$ y podría decir que la entropía disminuyó, cosa que es erronea. Entonces mi argumento sería que esto no puede ser cierto porque cuando el estado puro colapsa a un estado mezclado este seguirá siendo el mismo estado mezclado, independiente de las medidas que efectue, es decir que si quiero revertirlo al un estado puro, tengo que exteraer energía de algun medio exterior al sistema en el cual se este experimentando.
Si lo anterior no fuera cierto, cualquier guía o referencia será muy apreciada.

Saludos
Jose

[pod]

Re: Entropía cuántica

Para afinar bien el concepto, ahora digamos que tengo el mismo estado $|\psi>=c_1|\psi_1> +c_2|\psi_2>$, pero ahora mezclado puesto que esta determinado por la matriz de densidad $\begin{pmatrix}c_1^2&0\\0&c_2^2\end{pmatrix}$, entonces la entropía es $S_1=-c_1^2 \ln|c_1^2|-c_2^2\ln|c_2^2|> 0$. Si se efectuara una medida en este estado, digamos que colapsa a $|\psi>=a_1|\psi_1>$ cuya entropía es $S_2=-a_1^2 \ln|a_1^2|$ la cual es cero si $a_1^2=1$, por lo que podría inferir que que $\Delta S=S_2-S_1<0$ y podría decir que la entropía disminuyó, cosa que es erronea. Entonces mi argumento sería que esto no puede ser cierto porque cuando el estado puro colapsa a un estado mezclado este seguirá siendo el mismo estado mezclado, independiente de las medidas que efectue, es decir que si quiero revertirlo al un estado puro, tengo que exteraer energía de algun medio exterior al sistema en el cual se este experimentando.
Si lo anterior no fuera cierto, cualquier guía o referencia será muy apreciada.

Saludos
Jose

En el caso de estados mixtos, la medición no se hace así. Como no sabemos en qué estado puro está el sistema, tampoco podemos decir cual es el estado al que colapsa. El resultado siempre será otro estado mixto (otra matriz densidad).

Mira la forma de hacerlo en la wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix#Measurement

[Jose D. Escobedo]

Re: Entropía cuántica

Gracias, pod

Creo entender de un modo mas adecuado lo que eran mis dudas. De cualquier forma creo que a veces en la wikipedia te dejan mas dudas. Por ejemplo en el parentesis que dice ("In contrast, a pure state is describe by a single state vector"), pero acaso no existen "pure states" formados por superposición de "single state vectors."


Saludos
Jose

[pod]

Re: Entropía cuántica

Gracias, pod

Creo entender de un modo mas adecuado lo que eran mis dudas. De cualquier forma creo que a veces en la wikipedia te dejan mas dudas. Por ejemplo en el parentesis que dice ("In contrast, a pure state is describe by a single state vector"), pero acaso no existen "pure states" formados por superposición de "single state vectors."


Saludos
Jose

Todos los vectores se pueden escribir como combinación lineal de otros vectores. No obstante, una vez hecha la combinación, sigue siendo un único vector.

A veces es más fácil imaginar la matriz densidad con la misma imagen que usamos en física estadística con las colectividades. Nos imaginamos una cantidad infinita de copias del mismo sistema. Si todas esas copias están en el mismo estado (un único estado), entonces tenemos un estado puro. Si hay diferentes copias del sistema en diferentes estados (con una distribución de probabilidades concreta para cada uno de esos estados; esto es equivalente a decir que tenemos un único sistema y no sabemos en qué estado está), entonces tenemos un estado mezcla. Fíjate que cada copia del sistema está en un estado, y solo en uno (aunque sea la suma de varios vectores de una base, sigue siendo un sólo estado).