2o ciclo Problema de evolución temporal (Cuántica)

[surrealfrog]

Por favor si me podrían ayudar con el siguiente problema:

Una partícula moviéndose en una sola dimensión tiene la siguiente función de onda:
Y(x,t) = A exp [i(ax - bt)]

(a) Si se mide el momento de la partícula, ¿Que valor es encontrado (en términos de a y b)?
(b) Si la energía es medida, ¿Qué valor es encontrado?

Les rogaría mucho que al menos me den una idea de como resolver el problema, gracias!

[pod]

Re: Problema de evolución temporal (Cuántica)

Hay varias opciones. La primera, por simple inspección: podemos comparar la función de onda de una partícula libre con momento definido y simplemente comparar.

Otra opción, puedes hacer la transformada de Fourier de la función de onda para pasarla a espacio de momentos. Te saldrá una delta de Dirac.

Una tercera opción, aplica la definición de los operadores que te dicen (momento y energía), si dichos operadores están bien definidos, entonces debería salirte la misma función con un coeficiente de proporcionalidad, que será precisamente el valor medido.

Yo te recomiendo la tercera opción.

[surrealfrog]

Re: Problema de evolución temporal (Cuántica)

Muchas gracias por la respuesta,
Te comento algunas cosas que estuve analizando.
Evidentemente me parece más conveniente la 3ra opción, ya que si los operadores corresponden a magnitudes físicas bien definidas, entonces los autovalores serán los resultados de una medición. En este sentido, utilizo la definición de los operadores momentum: p = h/i * d/dx y para la enería el operador hamiltoniano H = p^2 / 2m + V(x)
En el caso del momento obtengo que el autovalor es p = ha; y en el caso de la energía primero se halla el potencial V(x) y luego al aplicar el operador hamiltoniano se obtiene E = hb (en todos los casos h es la llamada h barra).
Considero que estos serían los valores a medir y la respuesta al problema
Pienso que se podría utilizar la transformada de Fourier para pasar al espacio de momentum y obtener una función b(a), de donde la multiplicación de esta función por su complejo conjugado represente la probabilidad de hallar un momento p= ha; pero como en este caso no nos piden la probabilidad de encontrar un determinado valor esto no sería necesario.
Por favor te rogaría que me digas si mi razonamiento es correcto o los errores que encuentras, muchas gracias de antemano!!

[pod]

Re: Problema de evolución temporal (Cuántica)

Muchas gracias por la respuesta,
Te comento algunas cosas que estuve analizando.
Evidentemente me parece más conveniente la 3ra opción, ya que si los operadores corresponden a magnitudes físicas bien definidas, entonces los autovalores serán los resultados de una medición. En este sentido, utilizo la definición de los operadores momentum: p = h/i * d/dx y para la enería el operador hamiltoniano H = p^2 / 2m + V(x)
En el caso del momento obtengo que el autovalor es p = ha; y en el caso de la energía primero se halla el potencial V(x) y luego al aplicar el operador hamiltoniano se obtiene E = hb (en todos los casos h es la llamada h barra).
Considero que estos serían los valores a medir y la respuesta al problema
Pienso que se podría utilizar la transformada de Fourier para pasar al espacio de momentum y obtener una función b(a), de donde la multiplicación de esta función por su complejo conjugado represente la probabilidad de hallar un momento p= ha; pero como en este caso no nos piden la probabilidad de encontrar un determinado valor esto no sería necesario.
Por favor te rogaría que me digas si mi razonamiento es correcto o los errores que encuentras, muchas gracias de antemano!!

El momento parece correcto.

Para la energía, el razonamiento es correcto pero no es el adecuado para el problema (de hecho, no sé muy bien cómo sacas que la energía es E=hb siguiendo el razonamiento que comentas). Si haces la transformada de Fourier para pasar a espacio de momentos te saldrá una delta de Dirac, porque tienes una onda plana con momento definido, pero completamente deslocalizada (luego, no hay un solo valor para x, tendrías que buscar el valor esperado de V(x), que es un poco difícil sin saber la forma del potencial). Pero esto no es lo que el problema te está pidiendo. Luego, la probabilidad de encontrar la partícula en el momento $p = \hbar a$ es 1, y en cualquier otro es 0.

El operador Hamiltoniano es un poco peculiar porque tiene dos representaciones diferentes. Una es la que has dicho tú, energía cinética más potencial. El otro es $H = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$. Prueba con este y te saldrá el resultado de forma sencilla. Que ambas representaciones deben ser iguales es básicamente el significado físico de la ecuación de Schödinger dependiente del tiempo.

[surrealfrog]

Re: Problema de evolución temporal (Cuántica)

Lo que hice fue primero hallar el potencial V(x) utilizando precisamente la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y luego aplicar el operador hamiltoniano en la forma de energía cinética más potencial. Pero tienes razón, utilizando la expresión con la derivada temporal sale lo mismo (E = hb)y de una manera más sencilla. Gracias por la ayuda!!!