1r ciclo Número Cuántico del Momento Angular

[QuantumWalrus]

Hola,

Tengo un problema en el que me dicen que el número cuánto del momento angular total de un núcleo es J=1 y me piden que calcule ciertas de sus propiedades según mecánica clásica.

Para ello, he decidido que necesito calcular primero el valor propio asociado a ese número cuántico (el valor medido), que sería algo como $\sqrt{j(j+1)}\hbar$, pero entiendo que con total se refiere a que está considerando la contribución del momento angular orbital y el momento angular de spin para el núcleo (visto luego como sólido rígido). Me confunde un poco cómo identificar el valor propio asociado de manera total. Alguien podría darme alguna idea de cómo interpretar ese valor de J?

Gracias.

[pod]

Re: Número Cuántico del Momento Angular

A no ser que estés haciendo física nuclear (modelo de capas de los nucleones, etc.), yo diría el núcleo no tendrá momento angular orbital (lo consideramos en reposo en el origen y todo eso).

Yo, por lo que pones del enunciado, lo que imagino que quieren que hagas es calcular a qué velocidad angular devería girar el núcleo, clasicamente, para tener ese momento agular.

[QuantumWalrus]

Re: Número Cuántico del Momento Angular

Hola,

Me convence lo que dices, no debería asumir que el núcleo esté orbitando algún punto. Tomaré entonces el movimiento intrínseco del núcleo (spin) como único contribuyente y diré que su valor es $\sqrt{1(1+1)}\hbar=\sqrt{2}\hbar$ y lo igualaré a $mvr$. Te parece correcto?

- - - Actualizado - - -

En todo caso, suponiendo que tuviera un objeto con ambos momentos angulares, l y s, me queda la duda: ¿Cuál sería el valor propio para el momento angular total?

[pod]

Re: Número Cuántico del Momento Angular

Hola,

Me convence lo que dices, no debería asumir que el núcleo esté orbitando algún punto. Tomaré entonces el movimiento intrínseco del núcleo (spin) como único contribuyente y diré que su valor es $\sqrt{1(1+1)}\hbar=\sqrt{2}\hbar$ y lo igualaré a $mvr$. Te parece correcto?

Más que eso, tendrías que tomar una esfera maziza girando sobre si misma, $|J|= I \omega$. Después, si quieres puedes mirar a qué velocidad se movería el "ecuador" del núcleo. Probablemente te saldrá un valor enorme, ultra-relativista. Es uno ejemplo clásico que se hace para justificar que el spin, aunque se comporte como un momento angular, no tiene análogo clásico. Si se hace para partículas aún más pequeñas (tipo un electrón), salen velocidades superiores a la de la luz.

En todo caso, suponiendo que tuviera un objeto con ambos momentos angulares, l y s, me queda la duda: ¿Cuál sería el valor propio para el momento angular total?

Supongo que el momento angular total, aunque imagino que el espíritu del problema es que hagas el cálculo con un spin para darte cuenta que no se puede interpretar como una partícula clásica girando.

[QuantumWalrus]

Re: Número Cuántico del Momento Angular

Más que eso, tendrías que tomar una esfera maziza girando sobre si misma, $|J|= I \omega$. Después, si quieres puedes mirar a qué velocidad se movería el "ecuador" del núcleo. Probablemente te saldrá un valor enorme, ultra-relativista. Es uno ejemplo clásico que se hace para justificar que el spin, aunque se comporte como un momento angular, no tiene análogo clásico. Si se hace para partículas aún más pequeñas (tipo un electrón), salen velocidades superiores a la de la luz.

Sí, en efecto eso es lo que resulta.

Supongo que el momento angular total, aunque imagino que el espíritu del problema es que hagas el cálculo con un spin para darte cuenta que no se puede interpretar como una partícula clásica girando.

Pero no hay alguna regla de cuantización? Debería ser algo en factores de $\hbar$; por ejemplo, Bohr habla de que sean múltiplos enteros de hache barra. Entiendo que según la mecánica cuántica tendrán que ser los autovalores de algún operador, y también que las orientaciones de estos momentos angulares, estando cada una en un espacio de hilbert particular, podrían ser sumados de alguna forma (por ejemplo en la componente z). No viene al caso, entiendo, sólo es curiosidad adicional :P

[pod]

Re: Número Cuántico del Momento Angular

Pero no hay alguna regla de cuantización? Debería ser algo en factores de $\hbar$; por ejemplo, Bohr habla de que sean múltiplos enteros de hache barra. Entiendo que según la mecánica cuántica tendrán que ser los autovalores de algún operador, y también que las orientaciones de estos momentos angulares, estando cada una en un espacio de hilbert particular, podrían ser sumados de alguna forma (por ejemplo en la componente z). No viene al caso, entiendo, sólo es curiosidad adicional :P

Si, hay una regla algebráica para componer momentos angulares. Recuerda que, dada las reglas de conmutación, solo puedes dar el módulo (operador $L^2$) y una componente a la vez (normalmente $L_z$). La componente se suma directamente. Para el caso del módulo, hay una regla algo más complicada: su compones dos momentos angulares, por ejemplo $J = L + S$, entonces el valor propio de $J^2$ puede tener varios valores posibles, que van desde $l+s$ hasta $\big| l - s \big|$ (con saltos de uno en uno).

Eso quiere decir que si un fermión de spin 1/2 tiene un momento angular orbital 2, entonces la composición puede tener spin 5/2 o 3/2. Otro ejemplo, si un bosón de spin 2 (un gravitón por ejemplo) tiene un momento orbital 5, entonces el momento angular total puede ser 7, 6, 5, 4 o 3.

Puedes entender que haya diversos resultados posibles de forma cualitativa si lo comparas con la suma de vectores 3-D usual. El módulo del vector suma puede ser, como mucho, la suma de los módulos de ambos vectores. Y, como poco, la resta de módulos. Esto es lo que llaman desigualdad triangular, si no recuerdo mal. Pues en cuántica se traduce a los números cuánticos de esa forma.

Y, por supuesto, una vez tienes el número cuántico, el valor propio se obtiene como siempre, $j (j+1) \hbar^2$.

[carroza]

Re: Número Cuántico del Momento Angular

Más que eso, tendrías que tomar una esfera maziza girando sobre si misma, $|J|= I \omega$. Después, si quieres puedes mirar a qué velocidad se movería el "ecuador" del núcleo. Probablemente te saldrá un valor enorme, ultra-relativista. Es uno ejemplo clásico que se hace para justificar que el spin, aunque se comporte como un momento angular, no tiene análogo clásico. Si se hace para partículas aún más pequeñas (tipo un electrón), salen velocidades superiores a la de la luz.



Supongo que el momento angular total, aunque imagino que el espíritu del problema es que hagas el cálculo con un spin para darte cuenta que no se puede interpretar como una partícula clásica girando.

Hola.

Si lo haces, la velocidad de giro no sale tan grande. No es ultrarrelativista. En un modelo de capas, el momento angular de un núcleo se explica a partir del momento angular de protones y neutrones en torno al centro, y estos protones y neutrones son razonablemente no relativistas (energía cinética de unos 50 MeV).

De hecho, se han medido momentos angulares de núcleos tan altos como J=60, y se interpretan razonablemente como objetos clásicos girando.

Saludos

[pod]

Re: Número Cuántico del Momento Angular

Hola.

Si lo haces, la velocidad de giro no sale tan grande. No es ultrarrelativista. En un modelo de capas, el momento angular de un núcleo se explica a partir del momento angular de protones y neutrones en torno al centro, y estos protones y neutrones son razonablemente no relativistas (energía cinética de unos 50 MeV).

De hecho, se han medido momentos angulares de núcleos tan altos como J=60, y se interpretan razonablemente como objetos clásicos girando.

Saludos

Si, supongo que tiene más sentido hacerlo con electrones, tomando su "radio clásico".

Sólo por curiosidad, ¿Qué valor tomas como representativo del radio del núcleo?

[carroza]

Re: Número Cuántico del Momento Angular

Si, supongo que tiene más sentido hacerlo con electrones, tomando su "radio clásico".

Sólo por curiosidad, ¿Qué valor tomas como representativo del radio del núcleo?

$1.2 A^{1/3}$ fm