Secundaria Operadores posición y momento

[Weip]

Hola a todos, veréis, he estado leyendo algunos textos de cuántica (sencillitos) y he visto que el operador posición es $\hat{x}\psi (x)=x \psi (x)$ y el operador posición $\hat{p}\psi (x)=-i \hbar\frac{\mathrm{d}\psi (x)}{\mathrm{d}x}$ (creo que esto es solo para el caso unidimensional), pero no entiendo porqué. Es decir, ¿son definiciones tomadas en cuántica o tienen demostración? Es que he estado buscando pero no encuentro demostración, y me gustaría que me la enseñaseis (si es que tienen), si no es demasiado complicado para mi nivel. Y si no ya me apaño, algún día lo entenderé.

Gracias por adelantado.

[abuelillo]

Re: Operadores posición y momento

Como nadie ha podido responder, te respondo, aun que no puedo darte mucha informacion, el tema es muy complicado y mis conocimientos sobre el son minimos.
Exceptuando el spin, que no tiene equivalente clasico, el resto de operadores se pueden calcular a partir de las formulas de la mecanica clasica utilizando tecnicas matematicas de cuantificacion o cuantizacion.
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuantizaci%C3%B3n

[Weip]

Re: Operadores posición y momento

Gracias por la respuesta. Justamente lo que estaba leyendo era sobre una cuantización. El problema es que a partir de la cuantización solo no puedo determinar que valen estos dos operadores, ya que se sustituyen directamente en las fórmulas.

[Elkin]

Re: Operadores posición y momento

Voy a hablarte del operador de momentum que es el que se ve algo raro.

Pero antes:

- Los operadores posición y momentum de una partícula se consideran los fundamentales, y a partir de estos se deducen cualquier otro observable.

- Los operadores se ven distintos dependiendo en la representación en que estén, el operador momentum que tienes ahí está en la representación de coordenadas.

- Se puede encontrar la representación de coordenadas de estos operadores a partir del operador de translaciones infinitesimales, el cual se deduce a partir de digamos pura "lógica", cosas como la suma de dos translaciones conmutan, algo así como el vector desplazamiento de la física general.

- Al aplicarle dicho operador translación a un estado se encuentra que el operador momentum es el que muestras allí.

[Weip]

Re: Operadores posición y momento

Gracias Elkin, he estado buscando información del operador traslación y he podido encontrar una demostración del operador momento. ¿La demostración del operador posición sería análoga a la del momento?

[Elkin]

Re: Operadores posición y momento

Así es, en el sentido de que aplicas un "bra" a un estado, donde dicho estado a su vez es el operador posición aplicado a otro estado.

Entonces como el operador posición es hermítico lo puedes aplicar sobre el "bra" para obtener su valor propio que sería x.

Es aplicar el álgebra lineal, en particular la ecuación de valores propios. Los estados que menciono serían vectores columna, los "bra" vectores fila, y el operador posición sería una matriz, que al aplicarla al estado me extrae un valor propio que sería el operador posición en la representación de coordenadas.

saludos