1r ciclo El foton al recorrer distancias.

[aalbeiro89]

Hola a todos...
Bien... hace un rato mientras leía un post se me ocurrió una pregunta y no quede contento con mis respuestas, tal ves sea solo cosas de conceptos.
Como dice el titulo es sobre lo que sucede cuando el foton recorre largas distancias.
Es bien sabido la luz al recorrer largas distancias su energía disminuye lo cual hace que su frecuencia sea mas baja e igualmente su longitud de onda sea mayor, lo cual se manifiesta como el corrimiento al rojo.
Mi pregunta es... que pasa con la energia que el foton pierde con el tiempo?
Es absorbida por el universo?...
o mas que eso... el foton es el cuantun de luz... la energía que pierde el foton son cuantus?
o a que se refieren cuando dicen que el foton pierde energía?

esq en mi mente esta la idea de que un foton no se puede partir en partículas mas pequeñas... por eso mi pregunta.

gracias...
espero me puedan ayudar con esa duda.

[abuelillo]

Re: El foton al recorrer distancias.

La energia de un foton es igual a su frecuencia multiplicada por la constante de Plank. Asi que la frecuencia viene a ser lo mismo que energia, si la frecuencia disminuye la energia del foton a bajado, pero sin emitirla hacia ningun lado, porque la energia no se ha conservado, simplemente ha desaparecido.
Este tema es muy controvertido pero a escalas globales parece que la ley de conservacion de energia no se cumple, por lo menos segun las teorias actuales.

[pod]

Re: El foton al recorrer distancias.

Hola a todos...
Bien... hace un rato mientras leía un post se me ocurrió una pregunta y no quede contento con mis respuestas, tal ves sea solo cosas de conceptos.
Como dice el titulo es sobre lo que sucede cuando el foton recorre largas distancias.
Es bien sabido la luz al recorrer largas distancias su energía disminuye lo cual hace que su frecuencia sea mas baja e igualmente su longitud de onda sea mayor, lo cual se manifiesta como el corrimiento al rojo.
Mi pregunta es... que pasa con la energia que el foton pierde con el tiempo?
Es absorbida por el universo?...
o mas que eso... el foton es el cuantun de luz... la energía que pierde el foton son cuantus?
o a que se refieren cuando dicen que el foton pierde energía?

esq en mi mente esta la idea de que un foton no se puede partir en partículas mas pequeñas... por eso mi pregunta.

gracias...
espero me puedan ayudar con esa duda.

Para estudiar estos temas uno debe recurrir a la relatividad general. El tema de la energía en relatividad general es complicado, ya que no hay una buena definición de ese concepto (nota: lo que llamamos "buena" en este contexto es un detalle matemático, en relatividad podemos tener la misma ley de continuidad del tensor energía-impulso que da a lugar a la conservación de la energía; pero la derivada temporal queda substituida por una derivada covariante, por lo que ya no es exactamente una ley de conservación... para solucionar este tema hay que recurrir a unos objetos que no son tensores, sino pseudo-tensores, por lo que no tienen unas propiedades matemáticas tan deseables como los tensores. Por otra parte, si habitualmente la energía es una magnitud importante es precisamente porque se conserva; en el momento en que deja de ser así ya no es tan relevante, por eso en el contexto de la relatividad general no se suele hablar mucho de la energía global del sistema, y sólo del tensor de energía-impuso, que es local y bien definido).

Podemos intentar afrontar una situación diferente a la que propones, pero que está relacionada. Es una situación a caballo entre la física de Newton y la relativista, por lo que podemos utilizar aproximaciones que lo hacen más similar a lo que conocemos. Se trata de luz saliendo de un fuerte campo gravitatorio (por ejemplo, luz que se emite en la superficie de la tierra y se observa en órbita). Si se tratara de un tiro vertical de una partícula con masa, diríamos que al ascender va ganando energía potencial y perdiendo energía cinética, por lo que cada vez irá más despacio. Pero la luz no puede ir más despacio, así que la energía potencial tiene que salir de otro sitio: la frecuencia disminuye. Esto nos da un "red shift" gravitatorio que, en primera aproximación, debe ser proporcional a la diferencia de potencial entre el punto de emisión y recepción. ¿Donde ha ido la energía perdida por el fotón? Pues se ha convertido en energía potencial gravitatoria, es decir, esa energía ahora está en el campo gravitatorio (ergo, en la curvatura del espacio tiempo).

Por cierto, este experimento que acabamos de describir fue realizado en 1959 por Pound y Rebka, representando una de las pruebas clásicas en favor de la relatividad general.

En el tema que propones, la cosa es más peliaguda, no estamos en una situación semi-relativista como el débil campo gravitatorio terrestre, sino que la curvatura cosmológica es un efecto fuertemente relativista. Por lo tanto, es difícil hablar de conceptos clásicos. Pero, inspirados por el ejemplo anterior, uno se siente tentando a intuir que debe pasar algo similar: la energía (sea lo que sea en términos relativistas) probablemente ha ido a parar a la curvatura del espacio tiempo. Y lo pongo con todas las cursivas posibles...

[Breogan]

Re: El foton al recorrer distancias.

Hola:

Mas alla de las explicaciones que se han dado, quisiera hacer una salvedad. Cuando señalas que:

Es bien sabido la luz al recorrer largas distancias su energía disminuye lo cual hace que su frecuencia sea mas baja e igualmente su longitud de onda sea mayor, lo cual se manifiesta como el corrimiento al rojo.

Yo tengo entendido que en un espacio-tiempo estático y donde el foton no interactua con nada, la frecuencia de este no varia y por ende no varia su energía, cualquiera sea el espacio que recorra.
En el caso de un foton en un campo gravitatorio, que deforma el espacio-tiempo, la variación de la energía del foton ya lo explico pod en su post.

Me quedaría entender (si es que puedo decir que entendí lo anterior) a donde va la energía de un foton cuando el espacio-tiempo donde se desplaza se dilata, haciendo que su frecuencia y su energía disminuyan.

Suerte

[aalbeiro89]

Re: La energía del foton al recorrer largas distancias.

...Esto nos da un "red shift" gravitatorio que, en primera aproximación, debe ser proporcional a la diferencia de potencial entre el punto de emisión y recepción. ¿Donde ha ido la energía perdida por el fotón? Pues se ha convertido en energía potencial gravitatoria, es decir, esa energía ahora está en el campo gravitatorio (ergo, en la curvatura del espacio tiempo).

Por cierto, este experimento que acabamos de describir fue realizado en 1959 por Pound y Rebka, representando una de las pruebas clásicas en favor de la relatividad general.

En el tema que propones, la cosa es más peliaguda, no estamos en una situación semi-relativista como el débil campo gravitatorio terrestre, sino que la curvatura cosmológica es un efecto fuertemente relativista. Por lo tanto, es difícil hablar de conceptos clásicos. Pero, inspirados por el ejemplo anterior, uno se siente tentando a intuir que debe pasar algo similar: la energía (sea lo que sea en términos relativistas) probablemente ha ido a parar a la curvatura del espacio tiempo. Y lo pongo con todas las cursivas posibles...

Bien... entonces técnicamente no se tiene una respuesta clara y definitiva a este fenómeno, sin embargo se puede hacer inferencias o comparar fenómenos a menor escala con los cuales podan sacar algunas ideas o conclusiones para aplicarlas sobre el.
Y la idea mas consecuente con las teorías científicas esq el foton disminuye su energía cinética que se ve afectada por la distancia recorrida, pero al no poder disminuir su velocidad, dicha diferencia de energía se transfiere al tejido espacio-tiempo como energía del campo gravitacional.
(disculpa, entendí mal?).

Aun así no me queda claro una parte y es sobre el "estado" de la energía transferida...
la energía transferida también esta en forma de paquetes diminutos (¿mas diminutos que un foton?) que se transfiere al espacio o es en forma de onda mmmmm...??
No se si me haga entender... por lo que veo es complicado hasta formular una pregunta correcta.

[pod]

Re: La energía del foton al recorrer largas distancias.

Bien... entonces técnicamente no se tiene una respuesta clara y definitiva a este fenómeno, sin embargo se puede hacer inferencias o comparar fenómenos a menor escala con los cuales podan sacar algunas ideas o conclusiones para aplicarlas sobre el.
Y la idea mas consecuente con las teorías científicas esq el foton disminuye su energía cinética que se ve afectada por la distancia recorrida, pero al no poder disminuir su velocidad, dicha diferencia de energía se transfiere al tejido espacio-tiempo como energía del campo gravitacional.
(disculpa, entendí mal?).

Ahá. Quizá alguien más versado en el formalismo del pseudo-tensor de Landau-Lifshitz te pueda dar más detalles de la situación completa.

Aun así no me queda claro una parte y es sobre el "estado" de la energía transferida...
la energía transferida también esta en forma de paquetes diminutos (¿mas diminutos que un foton?) que se transfiere al espacio o es en forma de onda mmmmm...??
No se si me haga entender... por lo que veo es complicado hasta formular una pregunta correcta.

Probablemente en forma de gravitones, que es la partícula asociada a la curvatura del espacio-tiempo (concretamente, a la métrica).

[reti]

Re: La energía del foton al recorrer largas distancias.

......
Aun así no me queda claro una parte y es sobre el "estado" de la energía transferida...
la energía transferida también esta en forma de paquetes diminutos (¿mas diminutos que un foton?) que se transfiere al espacio o es en forma de onda mmmmm...??
No se si me haga entender... por lo que veo es complicado hasta formular una pregunta correcta.

Creo que se estan mezclando fenomenos que nada tienen que ver unos con otros aunque su efectos se parezcan.

Cuando la luz escapa de un campo gravitatorio sufre un corrimiento al rojo para alguien que este lejos de ese campo gravitatorio. Yo siempre he entendido la perdida de energia que con lleva para el foton ese aumento de la longitud de onda como un efecto debido al cambio de sistema de referencia y no como un fenomeno de emision o absorcion de energia. Por tanto entiendo que el sistema foton/campo gravitatorio ni gana ni pierde energia. Si vemos o medimos un cambio en la energia del foton se debe concluir que el campo ha debido cambiar en consonancia, pero no hay absorcion o emision y por tanto los de "los cuantos" sobra. (Cuando haya una teoria cuantica del campo gravitatorio ... pues ya veremos lo que dice al respecto, pero por ahora no se considera).

La expansion del universo pienso que, (pero no lo se), no es el mismo fenomeno que estar dentro de un campo gravitatorio y por tanto aunque haya corrimiento al rojo nada tienen que ver en principio. Pienso que no es el mismo fenomeno porque la curvatura en el caso gravitatorio tiene su fuente en la masa que crea el campo mientras que en la expansion la causa creo que es la constante cosmologica. En este caso pienso que tambien se esta ante la presencia de dos sistemas de referencia, el que emite el foton y que lo absorve, con una velocidad relativa entre ellos que da origen al corrimiento. Otra vez, si supones una ley de consevacion de la energia, tendras que considerar el sistema foton/expansion y como consecuencia atribuir a la constante cosmogica el cambio.

No creo que tenga sentido decir que el foton cede energia a las ondas espacio/temporales y son esta las que se encargan de acumularla en el campo porque entonces tendrias que admitir que esta absorcion se realiza de forma continua lo que da nuchos problemas si se intenta justificar.

Lo que si que tengo claro es que la energia de un sistema es relativa al observador y que el principio de conservacion de la energia esta siempre referido a un sistema de referencia concreto.

[pod]

Re: La energía del foton al recorrer largas distancias.

Creo que se estan mezclando fenomenos que nada tienen que ver unos con otros aunque su efectos se parezcan.

Tienes toda la razón del mundo. De hecho, en el mensaje anterior intenté dejar claro que, ante la imposibilidad de responder a la pregunta original debido a las dificultades que hay en RG para tratar la energía y que no soy tan ducho como quisiera en el formalismo del pseudo-tensor de Landau-Lifshitz, lo que he hecho es establecer un paralelismo entre dos situaciones diferentes pero con algunas similitudes. Si el hecho de que establecía un paralelismo no ha quedado suficientemente claro, lo siento y agradezco la puntualización. Pensé que aalbeiro lo había entendido bastante bien.

La similitud principal que yo veo es que, en ambos casos, se trata de un red-shift debido a la curvatura del espacio tiempo. La diferencia entre ambos casos es el origen de esa curvatura, está claro, pero por todo lo que se la trayectoria de una partícula en el espacio-tiempo depende directamente de la geometría del espacio-tiempo.

Yo siempre he entendido la perdida de energia que con lleva para el foton ese aumento de la longitud de onda como un efecto debido al cambio de sistema de referencia y no como un fenomeno de emision o absorcion de energia.

No, no. No es un efecto del cambio de sistema de referencia. Como tu mismo dices, la energía es relativa al sistema de referencia, así que no es legal mezclar mediciones del fotón en dos sistemas de referencia. Si se elije el sistema de referencia que uno quiera (el que emite, o el que recibe, o cualquier otro; pero fijo), el fotón tiene menos energía cuando está "arriba" que cuando está "abajo".

De hecho, si lo piensas bien, la situación tiene que ser simétrica. La tierra atrae al fotón, pero el fotón también atrae a la tierra. Así que la variación temporal gravitatoria que sufre el fotón también la debe sentir la tierra. Aunque, obviamente, la diferencia de potencial gravitatorio que sufre la tierra cuando emite un fotón es nimio. No obstante, en otros sistemas (como estrellas dobles), el efecto es bien visible y cuadra perfectamente con los resultados de la teoría.

la expansion la causa creo que es la constante cosmologica

En la actualidad creemos (nos lo dicen las mediciones) que hay algo que actúa de forma similar a una constante cosmológica y está empezando a acelerar la expansión. No obstante, ese es un efecto muy reciente (en términos cosmológicos; este efecto no se notaba cuando la edad del universo era apenas la mitad de la de ahora). En el pasado, la expansión era frenada (debido a la "atracción" entre el contenido de energía y materia del universo). En cualquier caso, la constante cosmológica (o a algo que se le parece) no es la causa de la expansión que ha ocurrido, por ejemplo, entre el momento en que se emitieron los fotones del fondo de radación de microondas y el momento actual.

No creo que tenga sentido decir que el foton cede energia a las ondas espacio/temporales y son esta las que se encargan de acumularla en el campo porque entonces tendrias que admitir que esta absorcion se realiza de forma continua lo que da nuchos problemas si se intenta justificar.

Yo no le veo problema. De hecho, todos sabemos que en un universo en expansión que sólo contenga radiación el ritmo de expansión se va ralentizando poco a poco (y si contiene materia también se ralentiza, pero con un parámetro de desaceleración diferente). El factor de escala es un parámetro que caracteríza directamente la geometría del espacio-tiempo, y por lo tanto, es evidente que hay cierta relación entre geometría ("campo") y los fotones que hay en el espacio.

Lo que si que tengo claro es que la energia de un sistema es relativa al observador y que el principio de conservacion de la energia esta siempre referido a un sistema de referencia concreto.

Totalmente cierto: el valor de la energía depende del sistema de referencia (aunque depende de una forma "fea", ya que se trata de un pseudo-tensor, no de un tensor en pleno derecho). Sin embargo, se conserva en todos los sistemas de referencia.

[aalbeiro89]

Re: El foton al recorrer distancias.

Bien...
Tengo claro que el ejemplo de comparación que expuso pod es solo a modo ilustrativo, con la intención de exponer una idea similar entre los dos fenómenos, sin embargo, que no se debe tomar como fenómenos iguales o cosa cercana a ello. Eso lo tengo claro.
Creo que en mi anterior post me exprese incorrectamente.

Desde luego, muchas gracias por las respuestas.

[reti]

Re: La energía del foton al recorrer largas distancias.

.....
No, no. No es un efecto del cambio de sistema de referencia. Como tu mismo dices, la energía es relativa al sistema de referencia, así que no es legal mezclar mediciones del fotón en dos sistemas de referencia. Si se elije el sistema de referencia que uno quiera (el que emite, o el que recibe, o cualquier otro; pero fijo), el fotón tiene menos energía cuando está "arriba" que cuando está "abajo".

De hecho, si lo piensas bien, la situación tiene que ser simétrica. La tierra atrae al fotón, pero el fotón también atrae a la tierra. Así que la variación temporal gravitatoria que sufre el fotón también la debe sentir la tierra. Aunque, obviamente, la diferencia de potencial gravitatorio que sufre la tierra cuando emite un fotón es nimio. No obstante, en otros sistemas (como estrellas dobles), el efecto es bien visible y cuadra perfectamente con los resultados de la teoría.

No tengo conocimientos suficientes para creer que tengo razon en mi forma de ver la situacion. Por ejemplo, no tengo ni idea de lo que es un tensor y menos de lo que puede significar la ecuacion de Einstein de la gravitacion pero si que he creido siempre que tenia las ideas claras en este asunto.

Yo no lo veo asi. Sigo pensando que el cambio de energia se debe a un cambio en el sistema de referencia con respecto a quien y donde lo esta observando. Voy a intentar razonarlo:

a) Si observo desde la superficie de la tierra caer un meteorito puedo decir que el meteorito esta adquiriendo energia en su caida. Pero si yo caigo junto al meteorito, desde mi sistema de referencia el meteorito no adquiere ninguna energia. Puedo encontrar entonces un sistema de referencia en el que la energia que adquiere el meoteorito en su caida no existe y por tanto puedo afirma, asi lo he pensado siempre, que la energia gravitatoria es algo relativo al observador, al sistema de referencia desde donde se observa.

b) En mi caida junto al meteorito, este no adquiere energia, pero si observo la tierra no es dificil llegar a la conclusion, (si multiplico su masa por la velocidad con la que la veo acercarse a mi), que la energia cinetica que adquiere esta en su acercamiento a mi no me augura nada bueno cuando llegue a tomar contacto con su superficie. Difilcilmente puedo conciliar la energia que yo mido en mi acercamiento a la tierra con la energia que mide un observador desde su superficie (yo peso poquito).

c) Si alguien lanza un foton desde la superficie de la tierra, tendra una cierta energia desde su punto de vista, desde su sistema de referencia. Si yo lo observo desde la estacion espacial medire una energia distinta. Pero no pienso que se pueda decir que el observador "ve" al foton perder energia en su subida hacia la estacion espacial, porque para ello debo de suponer que el sistema de referencia del que lanza el foton no solo esta en la superficie de la tierra si no que tambien esta, al mismo tiempo, en la estacion espacial. Pienso que las ecuaciones e Einstein le permiten al observador de la tierra hacer un cambio de referencia y determinar que energia tendra el foton para un observador en la estacion espacial, pero no pienso que sea legitimo decir que en ese cambio se sigue estando en le mismo sistema de referencia del que se emitio el foton.

d) Resumiendo. La relatividad general la entiendo como una forma de interpretar el movimiento de la "caida de los graves" (asi los llamaba Galileo), como un cambio de sistema de referencia en un espacio curvo. De esa manera entiendo que solo es legitimo afirmar que el principio de conservacion de la energia se verifica en un pequeño entorno infinitesimal donde la curvatura es cero, definido por:

$\dd{x}^{ 2}+ \dd{y}^{2 }+\dd{z}^{ 2}+{c}^{ 2}\dd{t}^{2 }=0$

si te mueves de ese entorno entonces estas realizando un cambio de sistema de referencia y la energia no se va a conservar (a menos que el espacio sea plano).

(pero esto son ideas a las que llego despues de leer mucha ciencia ficcion y divulgacion cientifica, asi que no tengo muy claro que estas ideas sean ciertas.)

En la actualidad creemos (nos lo dicen las mediciones) que hay algo que actúa de forma similar a una constante cosmológica y está empezando a acelerar la expansión. No obstante, ese es un efecto muy reciente (en términos cosmológicos; este efecto no se notaba cuando la edad del universo era apenas la mitad de la de ahora). En el pasado, la expansión era frenada (debido a la "atracción" entre el contenido de energía y materia del universo). En cualquier caso, la constante cosmológica (o a algo que se le parece) no es la causa de la expansión que ha ocurrido, por ejemplo, entre el momento en que se emitieron los fotones del fondo de radación de microondas y el momento actual.

Aqui si que he dejado volar la fantasia y me he columpiado mucho. Te agradezco la aclaracion.

[pod]

Re: La energía del foton al recorrer largas distancias.

Por ejemplo, no tengo ni idea de lo que es un tensor

¿Lo dices en serio? ¿Algebra tensorial ya no se da en ninguna obligatoria?

a) Si observo desde la superficie de la tierra caer un meteorito puedo decir que el meteorito esta adquiriendo energia en su caida. Pero si yo caigo junto al meteorito, desde mi sistema de referencia el meteorito no adquiere ninguna energia. Puedo encontrar entonces un sistema de referencia en el que la energia que adquiere el meoteorito en su caida no existe y por tanto puedo afirma, asi lo he pensado siempre, que la energia gravitatoria es algo relativo al observador, al sistema de referencia desde donde se observa.

Esto es cierto. No sólo la energía gravitatoria, sino prácticamente todas las formas de energía dependen del sistema de referencia. Toma, por ejemplo, la energía cinética, depende de la velocidad, por lo que obviamente depende del sistema de referencia.

El valor concreto de la energía depende del sistema de referencia. Pero la conservación no. Es decir, la energía puede tener ser un número u otro, pero sea el número que sea, siempre será constante.

porque para ello debo de suponer que el sistema de referencia del que lanza el foton no solo esta en la superficie de la tierra si no que tambien esta, al mismo tiempo, en la estacion espacial. Pienso que las ecuaciones e Einstein le permiten al observador de la tierra hacer un cambio de referencia y determinar que energia tendra el foton para un observador en la estacion espacial, pero no pienso que sea legitimo decir que en ese cambio se sigue estando en le mismo sistema de referencia del que se emitio el foton.

Una condición sine qua non de un sistema de referencia es que pueda observar todo el espacio tiempo. Así que no, cualquier sistema de referencia (teórico) debe poder realizar observaciones en cualquier punto del espacio-tiempo.

Ahora bien, sí que es cierto que los fenómenos locales tienen una ventaja considerable: siempre es posible realizar un cambio de coordenadas de forma que la métrica localmente se aproxima a la de un espacio-tiempo plano (que es la que tú pones). Eso quiere decir que, en un entorno local, podemos utilizar las leyes de la relatividad especial, con lo cual todo es más sencillo.

Pero las observaciones no locales obviamente deben ser posibles. Son más difíciles de tratar, porque nos tenemos que tragar la curvatura, pero son posibles a todas luces.

c) Si alguien lanza un foton desde la superficie de la tierra, tendra una cierta energia desde su punto de vista, desde su sistema de referencia. Si yo lo observo desde la estacion espacial medire una energia distinta. Pero no pienso que se pueda decir que el observador "ve" al foton perder energia en su subida hacia la estacion espacial,

Imagina el siguiente montaje:

Desde la superfície, se envían muchos fotones iguales. A lo largo del trayecto, se sitúa una sucesión de átomos que tienen una transición posible con una energía un poco menor a la energía original de los fotones. Como la energía no es igual a la necesaria, los primeros átomos no serán capaces de capturar los fotones. Un poco más arriba, la energía de los fotones habrá disminuido, por lo que será posible la absorción. Siguiendo aún más arriba, su energía será aún menor, por lo que, de nuevo, no serán absorbidos.

Ahora bien, la absorción de un fotón o no es un experimento binario. Ocurre o no ocurre. Luego, todos los sistemas de referencia deben observar el mismo resultado: o se absorbe o no. De esta forma, cualquier observador es capaz de observar como va evolucionando la energía de los fotones.

d) Resumiendo. La relatividad general la entiendo como una forma de interpretar el movimiento de la "caida de los graves" (asi los llamaba Galileo), como un cambio de sistema de referencia en un espacio curvo. De esa manera entiendo que solo es legitimo afirmar que el principio de conservacion de la energia se verifica en un pequeño entorno infinitesimal donde la curvatura es cero, definido por:

$\dd{x}^{ 2}+ \dd{y}^{2 }+\dd{z}^{ 2}+{c}^{ 2}\dd{t}^{2 }=0$

si te mueves de ese entorno entonces estas realizando un cambio de sistema de referencia y la energia no se va a conservar (a menos que el espacio sea plano).

(pero esto son ideas a las que llego despues de leer mucha ciencia ficcion y divulgacion cientifica, asi que no tengo muy claro que estas ideas sean ciertas.)

Cerca de ese entorno, como decimos, la ventaja que tenemos es que podemos usar la relatividad especial. No obstante, hay muchas situaciones que no son locales, seria muy poco satisfactorio conformarse con la aproximación de campo débil. De hecho, el principio de equivalencia nos dice como traducir cualquier ley de la Física que valga en relatividad especial a la relatividad general (basicamente, cambiar las derivadas parciales por derivadas covariantes). El problema es que, necesitamos una derivada parcial (respecto el tiempo) igualada a cero para decir que tenemos conservación, una derivada covarianteno nos sirve. Por eso se introducen los esotéricos conceptos de pseudo-tensor.