Otras carreras Operadores conmutativos

[xuxo0]

En mis apuntes de Mecánica Cuántica simple para ingenieros torpes al hablar del teorema de compatibilidad dice que si A y B son dos observables compatibles entonces sus operadores  y B (no sé ponerle la tilde a B) conmutan y que si conmutan entonces estos operadores (pasando de tildes) cumplen:

AB-BA=0,

lo cual es del todo lógico. Lo que no me cuadra es que dice que si no conmutan la no-conmutabilidad puede expresarse como:

AB-BA=c

donde c es un cierto escalar no nulo.

¿¿Cómo que un escalar?? No podría ser más bien cualquier cosa, no sé, pero un simple número complejo??
No me cuadra, a ver si alguien me puede ayudar

Gracias por anticipado

[Breogan]

Re: Operadores conmutativos

Hola:

Justo ahora estoy leyendo algo de esto.

Por lo que lei el 2º miembro de la igualdad es también una matriz, cuando son compatibles es la matriz nula, y cuando no son compatibles es igual a un numero complejo por la matriz unidad.

Suerte.

[xuxo0]

Re: Operadores conmutativos

¿Matriz? Esto me confunde más...Si son operadores del espacio de Hilberto

Por cierto, si los operadores son los de la posición y el momento angular entonces el conmutador sí es un escalar, y de ahí sale precisamente el principio de incertidumbre de Heisenberg, pero que sea siempre un escalar me suena muy muy raro. Y lo de la matriz más jajaj

A ver si alguien más se anima a comentar

[ZYpp]

Re: Operadores conmutativos

¿Matriz? Esto me confunde más...Si son operadores del espacio de Hilberto

Por cierto, si los operadores son los de la posición y el momento angular entonces el conmutador sí es un escalar, y de ahí sale precisamente el principio de incertidumbre de Heisenberg, pero que sea siempre un escalar me suena muy muy raro. Y lo de la matriz más jajaj

A ver si alguien más se anima a comentar

De ahí sale el principio de incertidumbre de Heisenberg si partes de la función de onda como hipótesis. Si no, es indemostrable: se construye el resto de la cuántica a partir de ahí.

Volviendo al tema. Si dos observables no son compatibles, entonces el rochete de Lie de sus operadores es distinto de cero. Por definición de corchete de Lie, el resultado de la operación es, en cuántica, un operador. Es decir:

$$\left[ \cdot , \cdot \right] : \Omega \times \Omega \to \Omega$$

Saludos.

[abuelillo]

Re: Operadores conmutativos

¿Matriz? Esto me confunde más...Si son operadores del espacio de Hilberto

Por cierto, si los operadores son los de la posición y el momento angular entonces el conmutador sí es un escalar, y de ahí sale precisamente el principio de incertidumbre de Heisenberg, pero que sea siempre un escalar me suena muy muy raro. Y lo de la matriz más jajaj

La primera formulacion de la mecanica cuantica era matricial, en la que todo eran matrices y vectores, y es equivalente a formulaciones posteriores.
Precisamente si tenemos un espacio sea de Hilbert o de otro tipo, la manipulacion de un espacio se realiza con vectores y matrices.

Las diferenciales e integrales que manipulas son equivalentes a operaciones matriciales, para algunas cosas son mas obvias porque tienes matrices de pocas dimensiones, matrices de 2x2 para un spin por ejemplo, para otras menos porque implica matrices con infinitos terminos.

Cuando aplicas un operador a una funcion de estado, lo que estas haciendo es multiplicar una matriz por un vector, si el vector puede tener infinitos terminos pero sigue siendo un vector.

Los autovalores y autofunciones/autoestados son los autovalores y autovectores de toda la vida del algebra matricial.

Precisamente la no conmutatividad de operadores proviene del hecho de que la multiplicacion de matrices no cumple la propiedad conmutativa, si A y B son matrices no es lo mismo multiplicar AxB que BxA, de esto precisamente saco Heisenberg su principio de incertidumbre.

Como curiosidad mientras le daba vueltas Heinsenberg al tema de la mecanica cuantica, se le ocurrio juntar todas esas probabilidades y valores en forma de filas y columnas, pero no tenia ni idea de lo que era una matriz (en su epoca los fisicos no usaban matrices) menos mal que tenia algun amigo que habia oido de algo llamado matriz que usaban los matematicos y le ahorro el trabajo de reinventar el algebra matricial.

La notacion bracket de Dirac de la mecanica cuantica por ejemplo, es independiente de que uses mecanica ondulatoria o matricial.

[xuxo0]

Re: Operadores conmutativos

Interesante...

Entonces nos quedamos con lo que dice ZYpp de que el resultado de un conmutador entre dos operadores será otro operador? Parece lo más lógico
Lo que pone en mis apuntes de que el resultado es un escalar lo desecho totalmente?

[abuelillo]

Re: Operadores conmutativos

No son cosas excluyentes, un conmutador entre dos operadores es otro operador que puede ser un escalar, en concreto un escalar es un operador tensorial de orden cero.

[xuxo0]

Re: Operadores conmutativos

No son cosas excluyentes, un conmutador entre dos operadores es otro operador que puede ser un escalar, en concreto un escalar es un operador tensorial de orden cero.

Vale, pero lo que pone en los apuntes es que ES un escalar. Doy el tema por resuelto y le preguntaré al autor a ver qué quería decir, que su sentido tendrá..
Gracias a todos

[abuelillo]

Re: Operadores conmutativos

No tiene porque ser un escalar, depende de los operadores, para momento y posicion si, para otros no.
Hay operadores cuyo conmutador es cero para ciertos estados y distinto de cero para otros. De modo que se pueden medir los dos observables con total precision pero solo si el sistema esta en ciertos estados compatibles.

[arivasm]

Re: Operadores conmutativos

De hecho, por ejemplo, el conmutador entre el hamiltoniano y los operadores de creación y destrucción es un operador, que no es un escalar. Aquí tenemos el caso del oscilador armónico: http://quantummechanics.ucsd.edu/ph1...s/node169.html

[ZYpp]

Re: Operadores conmutativos

Por cierto, si vas a estudiar cuántica déjate de libros para ingenieros torpes. Yo te recomiendo el Yndurain o el Galindo y Pascual. Yo tengo el primero, el segundo es muy complicado de conseguir.

Saludos.

[pod]

Re: Operadores conmutativos

Para ser estrictos del todo, el commutador de posición y momento no es un escalar propiamente dicho, sino que es un escalar multiplicado por el operador identidad.

En general, un operador es un objeto matemático que toma un estado cuántico (léase una función de onda, si si quere) y da otro estado cuántico a priori diferente. Como el resultado de aplicar un operador sobre un estado es otro estado, entonces nada nos impide volver a aplicar otro operador (o el mismo). Esta aplicación sucesiva de operadores es lo que llamamos composición. Es decir, A B se debe entender como el operador equivalente a aplicar primero B y después A.

El conmutador, AB - BA, es la resta de dos operadores compuestos en ordenes diferentes. Es fácil entender que el conmutador tiene que ser un operador, ya que aplicado sobre un estado nos da otro estado (y esa es la definición de operador). Es fácil verlo: AB aplicado sobre un estado da un segundo estado; y BA aplicado sobre el mismo estado original da un tercer estado (que puede ser igual al segundo o no). Como quiera que la resta de estados es otro estado (por el principio de linearidad), entonces el resultado global del conmutador es un estado; y por lo tanto es un operador.

En el caso de la posición y el momento, da la casualidad de que el conmutador es proporcional al operador identidad. El operador identidad es muy sencillo: cuando se aplica sobre un estado, el resultado es ese estado sin ninguna modificación.

Además, si el espacio de Hilbert que estamos tratando es de dimensión finita (por ejemplo, el espacio de Hilbert de spin), entonces los estados cuánticos siempre se pueden representar como vectores y los operadores siempre se pueden representar como matrices. Si el espacio tiene dimensión infinita no numerable (por ejemplo, el espacio de posiciones), entonces no es posible utilizar una formulación matricial. En estos casos, los operadores se pueden representar de otras formas; por ejemplo, el operador momento se expresa como una derivada.

[xuxo0]

Re: Operadores conmutativos

Muchas gracias a todos. Ya he encontrado el problema en los apuntes, es que lo que dice es que la no-conmutabilidad de muchos pares de operadores puede expresarse de esa forma.

Por cierto, si vas a estudiar cuántica déjate de libros para ingenieros torpes. Yo te recomiendo el Yndurain o el Galindo y Pascual. Yo tengo el primero, el segundo es muy complicado de conseguir.

Estudio con los apuntes de mis profesores que al final son de los que me van a examinar, además están bastante bien y son fáciles de seguir. Me apunto esos libros para el futuro

De ahí sale el principio de incertidumbre de Heisenberg si partes de la función de onda como hipótesis. Si no, es indemostrable: se construye el resto de la cuántica a partir de ahí.

Lo dices como si existiese la alternativa de no postular la de función de onda, pero sin ella no hay nada que hacer, no hay Mecánica Cuántica ¿no? ¿O hay alguna rama por ahí que funcione sin este postulado o con otros distintos?