2o ciclo ¿El Hamiltoniano es el operador energía?

[Elkin]

Hola,

En un libro de cuántica encontré que se decía que el Hamiltoniano es el generador de la evolución temporal, pero lo que no sé es si se puede llegar a decir que a su vez el operador energía. Lo digo porque alguna vez leí que el Hamiltoniano coincide con la energía en muchos casos (no siempre). Así podría decir que sólo en algunas ocasiones debería denominarse operador energía.

[carroza]

Re: ¿El Hamiltoniano es el operador energía?

Hola.

El hamiltoniano corresponde a la energía. Cuando el hamiltoniano depende de coordenadas y momentos, y no depende explícitamente del tiempo, entonces el hamiltoniano, y por tanto la energía, se conservan.

Por otro lado, el hamiltoniano (tanto si se conserva como si no) da la evolución temporal de un sistema. Esto es lo que te dice la ecuación se Schrödinger dependiente del tiempo: El cambio de la función de onda, en un intervalo de tiempo pequeño dt, es proporcional al hamiltoniano actuando sobre la función de onda.

Saludos

[Elkin]

Re: ¿El Hamiltoniano es el operador energía?

Hola,

Por ejemplo en el libro de Goldstein se dice que el hamiltoniano $H$ puede coincidir con la energía, en el sentido de que $H=T+V$, pero esto es siempre que la energía cinética sea cuadrática en término de las velocidades generalizadas y que el potencial no dependa de las velocidades generalizadas, y basta con que no halla dependencia temporal en el potencial para que se conserve la energía.

Sin embargo, pueden haber casos que estableciendo coordenadas generalizadas específicas $H$ puede conservarse y no ser la energía total. O puede suceder que sea la energía total, y no conservarse.

Según lo que dices en cuántica siempre corresponde a la energía del sistema ¿cierto? O también se aplican estas restricciones.

De hecho no sé si los términos coordenadas generalizadas y otros se extienden también a sistemas cuánticos. Quizás sea porque solo he visto problemas muy sencillos de cuántica.

Gracias y un saludo

[jinawee]

Re: ¿El Hamiltoniano es el operador energía?

En cúantica el hamiltoniano es el operador energía (generador evolución temporal como se puede ver al escribir $e^{ -i \frac{ \hat{H} t}{\hbar}}$), lo que pasa es que hay estados con energía "no definida". Estos estados son combinación lineal de los autoestados correspondientes a Hamiltoniano del sistema, luego si medimos la energía podremos obtener uno de los múltiples valores de $E$.

[Elkin]

Re: ¿El Hamiltoniano es el operador energía?

En cúantica el hamiltoniano es el operador energía (generador evolución temporal como se puede ver al escribir $e^{ -i \frac{ \hat{H} t}{\hbar}}$), lo que pasa es que hay estados con energía "no definida". Estos estados son combinación lineal de los autoestados correspondientes a Hamiltoniano del sistema, luego si medimos la energía podremos obtener uno de los múltiples valores de $E$.

Si, entiendo. Te refieres a la indeterminación de la energía la cual es inherente a la naturaleza. La cual cumple el principio de incertidumbre de Heisenber $\Delta E \Delta t \geqslant \frac{\hbar}{2}$.

Lo que no sé es si siempre es posible definir la energía como el Hamiltoniano. Ciertamente en la mecánica clásica, se puede tener un potencial que al derivar uno obtenga la fuerza, pero en solo en pocos casos. En el mejor de los casos puede suceder que uno puede encontrar un potencial del cual se deriven fuerzas no conservativas, me refiero por ejemplo a la ley de Stokes. Pero esto no siempre es así.

En la mecánica clásica uno puede encontrar el Hamiltoniano a partir del Lagrangiano. Pero no siempre se identifica con la energía total. Pero en ¿Cuántica pasa lo mismo?

saludos

[pod]

Re: ¿El Hamiltoniano es el operador energía?

En la mecánica clásica uno puede encontrar el Hamiltoniano a partir del Lagrangiano. Pero no siempre se identifica con la energía total. Pero en ¿Cuántica pasa lo mismo?

El hamiltoniano en cuántica es exactamente el mismo que en clásica. De hecho, (casi) cualquier teoría clásica puede pasarse a una teoría clásica utilizando lo que se llama cuantización canónica, que se resume básicamente en:

- Las variables y momentos pasan a ser operadores, $q_i \to \hat Q_i$.
- Los corchetes de Poisson pasan a ser conmutadores divididos por $i\hbar$ (quizá con signos o constantes extras, no recuerdo exactamente), $\{ \ , \ \} \to \frac1{i\hbar} [\ , \ ]$.

Por lo tanto, lo que vale para mecánica clásica, vale prácticamente igual en cuántica. Ahora bien, que yo sepa, no se suelen utilizar muchos modelos cuánticos que no cumplan las condiciones estándar para que el hamiltoniano coincida con T+V.

Por ejemplo en el libro de Goldstein se dice que el hamiltoniano $H$ puede coincidir con la energía, en el sentido de que $H=T+V$, pero esto es siempre que la energía cinética sea cuadrática en término de las velocidades generalizadas y que el potencial no dependa de las velocidades generalizadas, y basta con que no halla dependencia temporal en el potencial para que se conserve la energía.

En este sentido, en mecánica clásica hay dos corrientes. Lo que nadie duda es que bajo unas condiciones (las que tu citas) el hamiltoniano coincide con T+V, eso es un teorema y no tiene ambigüedad alguna. A partir de ahi, hay gente que dice que la energía siempre es T+V (y, por lo tanto, a veces la energía es igual al hamiltoniano y otras veces no); luego hay otra gente que dice que la energía siempre es el hamiltoniano (y por lo tanto, a veces la energía no es igual a T+V, sino que tiene más términos).

Yo, particularmente me identifico más con la primera opción (que, además, es la que se ha mencionado en este hilo). No obstante, es cierto que existen proponientes de la segunda versión.

Insisto, todo esto se traduce de forma trivial a mecánica cuántica. Los que utilicen la primera acepción dirán que el hamiltoniano en cuántica es la energía sólo si se cumplen las condiciones; otros dirán que no. Y también insisto que, que yo sepa, los hamiltonianos de interés en la mecánica cuántica usual cumplen las condiciones.

[Elkin]

Re: ¿El Hamiltoniano es el operador energía?

Gracias por las respuestas. Y si creo que por ser algo tan común es que casi que se dice que esas dos cosas son las mismas. Bueno pues ahora lo tengo todo más claro.

saludos