1r ciclo Dos particulas en una caja de una dimension

[azerbayan]

Hola, no acabo de entender porque la probabilidad de encontrar a cualquiera de las dos partículas es la misma, es decir que combinando las funciones de onda sale (psi(x1,x2))²=(psi(x2,x1))²
Luego el libro me dice que la solución de la ecuación de schrodinger (para la caja de 1 dimensión infinita) que sale no es ni simétrica ni antisimétrica y por eso hay que hacer una combinación lineal para que las soluciones sean las buenas (haciendo esta combinación lineal lo que esta haciendo es restringir las soluciones no?).
No se porque el hecho de que no se pueda saber cual de las dos partículas es da derecho a eliminar soluciones. Quiero decir, tu no sabes cual de las dos es pero puede que una aparezca el 99% de las veces y la otra solo el 1%. Y si es asi la igualdad de arriba no se cumpliría..
Estoy un poco perdido jeje y no hago mas que darle vueltas a esto. Un saludo.
PD:Me gustaría saber también como son estas ondas (las simétricas y antisimétricas),

[carroza]

Re: Dos particulas en una caja de una dimension

Hola.

Si tienes dos particulas, no interactuantes, en un pozo de potencial (infinito o no), hay, en general, dos soluciones indeopendientes para una energía dada. Estas son:

$\psi_{ab}(x_1, x_2)= \phi_a(x_1) \phi_b(x_2)$
$\psi_{ba}(x_1, x_2)= \phi_b(x_1) \phi_a(x_2)$

Estas dos soluciones corresponden a la energía $E= \epsilon_a + \epsilon_b$.

En principio, cualquier combinación lineal de estas funciones sería una autofunción del hamiltoniano de dos partículas correspondientes a la energía E. No obstante, cuando se tiene en cuenta que las partículas 1 y 2 son partículas idénticas, entonces su función de onda debe ser simétrica (si las partículas 1 y 2 son bosones) o antisimétrica (si son fermiones).

Por tanto, las soluciones aceptables para una energía E son:

- Para fermiones: $\psi_A = (\psi_{ab}(x_1, x_2)-\psi_{ba}(x_1, x_2))/\sqrt{2}$

- Para bosones: $\psi_S = (\psi_{ab}(x_1, x_2)+\psi_{ba}(x_1, x_2))/\sqrt{2}$

saludos

[azerbayan]

Re: Dos particulas en una caja de una dimension

Hola carroza, entonces las dos ondas tienen la misma frecuencia (y todo igual)?

[pod]

Re: Dos particulas en una caja de una dimension

entonces las dos ondas tienen la misma frecuencia (y todo igual)?

$\psi_A$ y $\psi_S$ que ha puesto Carroza son estados diferentes.

Todo esto viene del concepto de indistinguibilidad. Si las dos partículas son idénticas (es decir, as dos son electrones, o dos protones; lo que sea pero idénticas), entonces no debe haber nada que las distinga. Esto, que dicho así parece de perogrullo, tiene una consecuencia física muy importante: si intercambio las coordenadas de cada partícula, el estado Físico no puede cambiar.

Recuerda que dos estados son Físicamente equivalentes si sólo se diferencian por una fase. Eso quiere decir que $\psi(x_1, x_2) = \eee{i\varphi}\psi(x_2,x_1)$. Luego, si no supieramos nada más, esa $\varphi$ podría ser cualquier cosa. Pero resulta que sí sabemos algo más: tenemos el teorema de spin-estadística. Nos dice que $\varphi = 0$ para los bosones (particulas con spin entero) y $\varphi = \pi$ para los fermiones (partículas con spin semi-impar).

De esto, se deduce que los estados de los bosones siempre son simétricos ante intercambios de partículas, y los fermiones antisimétricos. Cualquier función que cumpla esos requisitos (más ser de cuadrado integrable y todo eso) es un estado válido.

Luego, la ecuación de Schödinger no impone por si sola las condiciones de (anti)simetría, porque la ecuación de Schödinger no sabe nada del spin (y, de hecho, lo seguramente lo que harás será obtener las funciones de onda por separado, lo cual si supones que son no interactuantes te da un estado del conjunto simplemente multiplicando). Por lo tanto, es normal que la solución que te sale no cumple ninguna de esas dos condiciones, tienes que "masajearla" haciendo combinaciones lineales, tal y como te dice el libro.

Todo esto implica que las soluciones de dos (o más partículas) para el mismo sistema cuántico son diferentes si tienes bosones o fermiones.

[azerbayan]

Re: Dos particulas en una caja de una dimension

$\psi_A$ y $\psi_S$ que ha puesto Carroza son estados diferentes.

Me refería a cada uno de ellos por separado.
Creo que ya me ha quedado bastante claro, gracias a los dos.