1r ciclo Duda sobre bras, kets y compañia....

[gdonoso94]

Hola a todos:

Estoy empezando a utilizar en cuántica la notación de Dirac y me he encontrado un problemilla. En general la notación la entiendo y es sencilla, pero hay una cosa que me choca. Mi libro dice:

"Expandimos un ket arbitrario $|\psi \rangle$ en términos de algún conjunto completo de autoestados ortonormales, que etiquetamos con $| n\rangle$:

$$\dst |\psi\rangle =\sum_n C_n|n\rangle$$

[...] con:

$$\dst C_n=\langle n|\psi\rangle$$

Si sustituimos esto en la ecuación anterior tenemos:

$$\dst |\psi\rangle =\sum_n |n\rangle\langle n|\psi\rangle$$

Bien, pues lo que no entiendo es esa colocación de las cosas. Si aplicas por la izquierda $C_n$ debería quedar:

$$\dst |\psi\rangle =\sum_n \langle n|\psi\rangle |n\rangle$$

¿No?

Gracias y un saludo.

[arivasm]

Re: Duda sobre bras, kets y compañia....

Recuerda que $\langle n|\psi\rangle$ denota un número complejo. Por tanto, lo que preguntas es una simple cuestión de notación, no muy diferente de preguntarse si es lo mismo escribir $k\vec u$ que $\vec u k$ (y recuerda que por ejemplo en cinemática muchas veces escribimos $\frac{1}{2}\vec a t^2$).

En resumen, $\sum_n |n\rangle\langle n|\psi\rangle=\sum_n \langle n|\psi\rangle |n\rangle$

[Rodri]

Re: Duda sobre bras, kets y compañia....

Por complementar lo que te ha respondido arivasm, más adelante verás que escribir |a><a|b> en vez de <a|b>|a> permite manipular las expresiones de bras y kets de forma muy cómoda, compacta y elegante y hacer cosas que casi parecen magia. Esa es la potencia de la notación de Dirac.
Yo te aconsejo que practiques todos los ejercicios que puedas para "hacer mano" con esta notación.

[gdonoso94]

Re: Duda sobre bras, kets y compañia....

Hola, gracias a ambos por la respuesta. Entendía que era un número, lo que no veía era hasta qué punto era ortodoxo desmontar el bra-ket y coger el ket-bra de la base para hacer un proyector... Seguiré estudiando.

Otra cosa:

No entiendo por qué $\langle x | \psi\rangle =\psi (x)$. Por mucho que lo intento no acabo de entenderlo...

Gracias de nuevo.

Saludos.

[pod]

Re: Duda sobre bras, kets y compañia....

No entiendo por qué $\langle x | \psi\rangle =\psi (x)$. Por mucho que lo intento no acabo de entenderlo...

Se supone que deberías hacer otro hilo... Pero bueno.

Lo que pones es una definición, así que por ahí no hay nada que entender. En cualquier caso, lo que puedes intentar entender es por qué en la física cuántica que has hecho hasta ahora tenías esa misma $\psi(x)$, y la justificación es sencilla.

Como habrás visto, o verás en los próximos días, las operaciones de medida de observables físicos se implementan formalmente como operadores hermíticos. El resultado de una medición siempre es uno de los valores propios de ese operador (recuerda el concepto de valor y vector propio de la álgebra de primero). Además, la cuántica te dice exactamente cual es la probabilidad de que el resultado sea un autoestado concreto: resulta que si mides un operador $\hat O$ sobre un estado $\big| \psi \big\rangle$, entonces la probabilidad de que el resultado sea $o$ se obtiene a partir del bracket entre el estado propio asociado con ese valor (que llamamos $\big|o\big\rangle$),

$$P(\hat O \to o) = \Big| \big\langle o \big| \psi \big> \Big|^{2} .$$

Ahora bien, imagínate que lo que quieres medir es la posición, mediante el operador de posición, $\hat X$. Siguiendo esta misma regla, la probabilidad de que la partícula en cuestión se encuentre en una posición concreta es

$$P(x) = \Big| \big\langle x \big| \psi \big> \Big|^{2} .$$

Seguramente hasta ahora tu habías estudiado que la función de onda, elevada al cuadrado, era precisamente la probabilidad de encontrar la partícula en una posición concreta. Eso es lo que nos permite identificar

$$\psi(x) = \big\langle x \big| \psi \big> .$$

No obstante, fíjate que el ket contiene mucha más información que la función de onda, ya que le podemos "preguntar" cualquier tipo de medida, simplemente haciendo el bracket con el autoestado de cualquier operador hermítico.

[gdonoso94]

Re: Duda sobre bras, kets y compañia....

Se supone que deberías hacer otro hilo... Pero bueno.

Hombre, creo que la pregunta iba de acuerdo con el título del hilo... Por eso no lo he creado, pero si quieres moverlo a uno nuevo... Llámalo Duda sobre bras, kets y compañia (II) :P. De todos modos, son las reglas, lo siento.

En cuanto a la respuesta: yo me había decantado por que era una simple definición pero mi profesora insistía (o eso he entendido) en que no, y claro, estaba traduciendo los brackets a integrales y no veía ninguna lógica en el asunto... ¡Muchas gracias pod!

Saludos!