1r ciclo Funcion de onda y potenciales

[Gothgauss]

Bueno he extraido de la pagina 189 del esiberg el siguiente pozo doble de potencial con su correspondiente funcion de onda (en el dibujo no se aprecia muy bien pero creo que es facil ver como es. Sino esta en la pagina 189 del eisberg)

Mis dudas son las siguientes:

¿Es la funcion de onda un estado estacionario?
Pues ni idea. Hombre por estacionario yo entiendo que la particula se encuentra confinada en una region de la cual no puede escpaar, asi que viendo la funcion de onda deduzco que si lo es.

¿A que nivel energético corresponde?
Viendo que tiene dos "panzas" por cada pozo concluyo que esta en el primer estado excitado.

¿La energia es superior o inferior a la altura del escalon central?
Viendo la funcion de onda, se transmite, luego puedo concluir que la energia es superior, aunqeu tb puede pasara que sea transmitida sin ser superior a la energia, superando los limites clasicos

¿Como seria la funcion de ondaen el estado fundamental?
Pues yo pondria nada mas una "panza" en el primer pozo

¿Y en el primer estado excitado?
Pues es lo que me han dado, jejeje

¿A partir de que energia el espectro es continuo?
Pues tengo dudas en esta parte, pero creo que el espector es continuo cunado tiene continuidad desde -inf hasta inf luego creo que la energia deberia ser mayor que el mayor potencial.

¿Creeis que esta todo bien conetstado? gracias. Espero quye el nombre de panza no os irrite mucho, jejee

[Entro]

Re: Funcion de onda y potenciales

Bueno he extraido de la pagina 189 del esiberg el siguiente pozo doble de potencial con su correspondiente funcion de onda (en el dibujo no se aprecia muy bien pero creo que es facil ver como es. Sino esta en la pagina 189 del eisberg)

Mis dudas son las siguientes:

¿Es la funcion de onda un estado estacionario?
Pues ni idea. Hombre por estacionario yo entiendo que la particula se encuentra confinada en una region de la cual no puede escpaar, asi que viendo la funcion de onda deduzco que si lo es.

Para saber si algo es un estado estacionario se puede hacer de dos formas:

1º Te vas al Hamiltoniano y miras si depende del tiempo o no. Ese potencial parece que no depende mucho del tiempo, por lo tanto el Hamiltoniano tampoco lo hará. Esto te permite hacer una separación de variables espaciales y temporales en la ecuación de Schrödinger y llegar a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, cuyas soluciones son los estados estacionarios (la parte especial en concreto y la función de onda total también).

2º Te vas a la función de onda, si solo tiene parte espacial es que la temporal es simplemente una exponencial que va con la energía del sistema y entonces es estado estacionario. Lo cual se puede mostrar de lo anterior.

Si tienes la función de onda total, dependencia en (x,y,z;t), los estados estacionarios se ven a la legua porque la dependencia en t está factorizada.

¿A que nivel energético corresponde?

Viendo que tiene dos "panzas" por cada pozo concluyo que esta en el primer estado excitado.

Yo me hubiera ido más por el tema de nodos que el de panzas... pero es cuestión de gustos.

[Jose D. Escobedo]

Re: Funcion de onda y potenciales

A partir de que energia el espectro es continuo?

Como este pozo potencial es finito, el numero de "bound states" tambien lo es. Lo que si te puedo asegurar es que al menos hay un "bound state." Para calcularlos o calcularlo, tienes que resolver la ecuacion de Schrodinger teniendo encuenta la "bound energy" ademas de las "boundary conditions" ( o condiciones de frontera ?).

[Entro]

Re: Funcion de onda y potenciales

boundary conditions = condiciones de contorno.

bound energy = energía de ligadura

[pod]

Re: Funcion de onda y potenciales

Pues yo habría dicho que es el segundo estado excitado, ya que tiene dos ceros.

[Entro]

Re: Funcion de onda y potenciales

Si, los nodos me gustan por eso...

[Gothgauss]

Re: Funcion de onda y potenciales

Pues yo habría dicho que es el segundo estado excitado, ya que tiene dos ceros.

Pero tiene dos pasos por cero porqeu hay dos pozos de potencial, pero cada pozo tiene un solo paso por el cero, es decir, un solo nodo

[Entro]

Re: Funcion de onda y potenciales

la pregunta entonces es:

¿Hay dos pozos o solo hay uno?

Y...

¿Qué estado será aquel que no tenga un cero en una de las partes?¿Puede darse ese estado?

[Jose D. Escobedo]

Re: Funcion de onda y potenciales

Yo diria que es "ground state." Entro, cual es la traduccion for "ground state" en Espanol? o groun state = primer estado exitado.

Disculpa por las molestias en escribir frases en ingles por aqui y por alla; pero algunas veces en espanol es dificil por que tambien habemos muchos en America que hablamos espanol differente, ademas, de que en aqui en USA la escuela esta en Ingles.

[Dramey]

Re: Funcion de onda y potenciales

La traducción de ground state es estado fundamental.

Y una partícula libre no tiene ceros, es libre

[pod]

Re: Funcion de onda y potenciales

Recordad la ecuación de Schödinger independiente del tiempo:

$$- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\dd^2}{\dd x^2} \psi(x) + V \psi = E \psi \ .$$

O, lo que es lo mismo,

$$\frac{\dd^2}{\dd x^2} \psi(x) = - \frac{2m}{\hbar^2} (E-V) \psi \ .$$

Lo que significa que en la región clásicamente permitida, $E > V$, la segunda derivada tiene signo contrario a la función; lo que implica que la función tiende a oscilar (en particular, puede tener ceros).

En la región no permitida, $E < V$, la segunda derivada y la función tienen el mismo signo. Hay dos posibilidades: que la primera derivada tenga el mismo signo o tenga el contrario. Si tiene el mismo, entonces por definición la función aumentará en valor absoluto; si la región no permitida es infinita, o seminfinita, esto daría a una divergencia, por lo que esta solución no se permite, pero si es posible en una región prohibida finita, como sería el caso del pozo intermedio en este problema. En este caso, no puede haber ceros.

Si la primera derivada tiene signo contrario, tanto la función, y por la ecuación la segunda derivada, decrecen en valor absoluto. Y como la primera y segunda derivada tienen signo contrario, la primera derivada también disminuye. En este caso, por lo tanto, lo que tenemos es un decaimiento exponencial de la función al cero, pero sin llegar a tocarlo nunca.

Bueno todo este royo nos sirve para contestar la pregunta de si la energía es superior al escalón intermedio. En esa región, la función de onda es negativa, eso es óbvio. Lo también obvio es que la pendiente empieza siendo positiva y acaba siendo negativa, lo que significa que la segunda derivada era negativa todo el rato. Es decir, función y segunda derivada tienen el mismo signo, eso significa que estamos en una región donde $E < V$, y por tanto la energía es inferior a la de este escalón.

[Jose D. Escobedo]

Re: Funcion de onda y potenciales

Por suerte tengo una copia de el libro de Fisica Cuantica de Eisberg & Resnik y en la pagina 212 se encuentra el mismo problema, en el cual dice que hay "una eigenfuncion (curva superior)y tres posibles formas(curvas in feriores) para la funcion energia potencial considerada." Tambien, establece que la eigenfuncion mostrada "no corresponde al estado de energia mas bajo permitido por el potencial"

Asi que hay cuatro estados ligados y podria decir que la eigenfuncion mostrada es "non" por que la compare con dibujos de lo que podrian ser dos pozo finitos cuadrados (usando dibujos con analogias )para el estado fundamental en el cual se podria obtener una funcion con dos maximos y un minimo. Ademas, los pozos (finitos) formados estan lo suficientemente altos como para decir que el estado fundamental que es "non" no desaparece (according to Griffiths in Intro. to Quantum Mechanics second edition page 80, which says that "the lowest odd state disappears" for very shallow and narrow finite square wells, and "that there is always one bound state, no matter how "weak" the well becomes."). Siguiendo el mismo procedimiento, la siguiente funcion es par y tiene dos maximos y dos minimos. Finalmente, la eigenfuncion que se esta estudiando en este problema, la cual es non y tiene tres maximos y dos minimos.

Entonces, esta eigenfuncion es el segundo estado exitado, despues hay solo uno encima de la barrera y dentro del pozo.

A todo esto yo podria decir que es dificil saber cuantos estados ligados hay; sino se tiene las dimenciones del pozo y la energia potencial y en este libro no son mencionadas. Entonces, pienso que este problema es de tipo didactico para que uno utilice las ideas aprendidas.