Principio de indeterminación

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Re: Principio de indeterminación

[FONT=Times New Roman]El principio de indeterminación de Heisenberg establece que no se puede determinar simultáneamente, con precisión, ciertos pares de variables físicas, es decir, cuanto mayor sea la exactitud con que queramos conocer la posición de una partícula, menor será la exactitud con que podremos conocer su momento lineal.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Hay otros pares de magnitudes en cuya determinación simultánea también aparece la imprecisión, es el caso del tiempo y la energía. Tengo entendido que estos pares de magnitudes no pueden formarse arbitrariamente, es decir, para que en la medición simultánea de un par de magnitudes aparezca el principio de indeterminación tiene que ser magnitudes “incompatibles” en cierto sentido[/FONT]
[FONT=Times New Roman]¿Es cierto? Y, si lo es, ¿Cómo se debe interpretar esta incompatibilidad? [/FONT]

En el formalismo se define una operación denominada conmutador. Esta operación te dice si la aplicación de dos objetos matemáticos sobre una función (operadores) conmuta o no conmuta.

$[A,B]=AB-BA$

Siendo A y B operadores, los operadores los hemos de entender como máquinas de transformación de funciones. Imaginemos que aplicamos A a una función f, el resultado será en general otra función g.

Af=g

por ejemplo, sea el operador D, este operador nos dice que actua derivando respecto de x (es la regla de actuación del operador). Apliquemos D a una función f(x)= sin x

$D f(x)=\frac{d}{dx}sin(x)=cos (x) = g$

Pues bien, dados dos operadores A y B, cada uno con su forma de actuar sobre funciones, nos podemos preguntar si aplicar A al resultado de aplicar B sobre una función f es lo mismo que aplicar B sobre el resultado de aplicar A a la misma función.

A(Bf) = B(Af) ????

Esto nos lo resuelve el conmutador:

$[A,B]f=A(Bf)-B(Af)$

Es evidente que si el conmutador es nulo los operadores conmutan y si no es nulo los operadores no conmutan. Como ejemplo tomemos la posición cuántica X y el momento P (solo en la dirección x para simplificar), actuando sobre una función f(x).

El operador de posición X actua multiplicando una función f(x) por su variable x.

$X f(x)=xf(x)$

El operador momento en X actua derivando la función f(x) respecto a x y multiplicandola por -i$\hbar$

$P f(x)=-i\hbar \frac{df(x)}{dx}$

Calculemos $[X,P]f(x)$

$[X,P]f(x)=X(Pf(x))-P(Xf(x))=X(-i\hbar\frac{df(x)}{dx})-P(xf(x))$

Hemos aplicado las reglas de actuación de los operadores internos, ahora vayamos a los que quedan y recordemos que en la segunda parte de la diferencia tendremos una derivada del producto (xf(x)), hemos de aplicar la derivada del primero por el segundo sin derivar más el primero sin derivar por la derivada del segundo:

$[X,P]f(x)=X(Pf(x))-P(Xf(x))=X(-i\hbar\frac{df(x)}{dx})-P(xf(x))=-i\hbar x\frac{df(x)}{dx}+i\hbar(\frac{dx}{dx}f(x)+x\frac{df(x)}{dx})=-i\hbar x\frac{df(x)}{dx}+i\hbar f(x) +i\hbar x \frac{df(x)}{dx}=i\hbar f(x)$

Con lo cual podemos decir que al aplicar el conmutador sobre la función nos devuelve la función multiplicada por $i\hbar$. Evidentemente esos dos no conmutan.

Ahora bien, el principio de indeterminación establece que dados dos operadores A y B, si calculamos sus indeterminaciones (que se pueden asimilar a la desviación estádistica), $\Delta A$, por ejemplo y hayamos su producto obtendremos (esto es teorema):

$\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2}|<[A,B]>|$

El último término se extrae del problema y básicamente es el valor medio del conmutador de esos dos operadores en valores absolutos al calcularlos sobre una función (que represente a un estado).

Si nos vamos al caso de la posición y el momento, como el conmutador básicamente es $i\hbar$, un número, el promedio es el mismo. Al tomar el valor absoluto hemos de recordar que el valor absoluto de i es 1.

$\Delta X \Delta P \geq \frac{1}{2}\hbar$

que es el resultado famoso de los libros.

Eso significa que ambas indeterminaciones no pueden ser nulas a la vez, así que no podemos conocer simultáneamente posiciones y momentos a la perfección.

Si tenemos una pareja de operadores G,F, tales que conmutan es evidente que:

$\delta G \Delta F \geq 0$

Y si podemos hacer las dos indeterminaciones iguales a cero a la vez.

Este es el requisito fundamental para las indeterminaciones.

Un hecho que también ayuda es darse cuenta que todos los pares de operadores que satisfacen esta relación son tales que su conmutador tiene unidades de (energía x tiempo).


[FONT=Times New Roman]

Si, por ejemplo, quisiéramos medir posición y spin, ¿aparecería el principio de incertidumbre?

[/FONT]No, porque estos operadores conmutan.

[Harvey]

[FONT=Times New Roman]El principio de indeterminación de Heisenberg establece que no se puede determinar simultáneamente, con precisión, ciertos pares de variables físicas, es decir, cuanto mayor sea la exactitud con que queramos conocer la posición de una partícula, menor será la exactitud con que podremos conocer su momento lineal.[/FONT]

[FONT=Times New Roman]Hay otros pares de magnitudes en cuya determinación simultánea también aparece la imprecisión, es el caso del tiempo y la energía. Tengo entendido que estos pares de magnitudes no pueden formarse arbitrariamente, es decir, para que en la medición simultánea de un par de magnitudes aparezca el principio de indeterminación tiene que ser magnitudes “incompatibles” en cierto sentido[/FONT]
[FONT=Times New Roman]¿Es cierto? Y, si lo es, ¿Cómo se debe interpretar esta incompatibilidad? [/FONT]
[FONT=Times New Roman]¿ Magnitudes físicas que varíen ambas con el tiempo?[/FONT]
[FONT=Times New Roman]Si, por ejemplo, quisiéramos medir posición y spin, ¿aparecería el principio de incertidumbre?[/FONT]