De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

[visitante20160513]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Ya, ahora sí lo veo, gracias.

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Bueno, creo que en este asunto es necesario poner algunas cosas en su sitio porque no me encajan. Parece que la pieza que faltaba en el puzzle es la fórmula de Rydberg, ya que dicha fórmula no se menciona en el modelo atómico pero está claro que sí intervino en su diseño. Lo primero que no me encaja es que como dicha fórmula solo aporta información sobre la energía emitida cuando el electrón salta de una órbita a otra no puede por lo tanto suministrar información de cual es la energía del electrón cuando se encuentra en dicha órbita, en estado estable. Por lo tanto aunque se incluya dicha ecuación en el proceso deductivo nunca se podrá concluir que las órbitas posibles son solo que permite la condición buscada. Para mí eso es claro. Luego dicha condición no puede obtenerse mediante una deducción estrictamente lógica. Yo creo que lo que hizo Bohr fue plantear una hipótesis que explicaba el comportamiento del átomo y daba satisfacción a la fórmula de Rydberg pero no la dedujo de ahí. En conclusión el segundo postulado del modelo atómico de Bohr es necesario porque no es posible deducirlo de ninguna parte, ni de la hipótesis de Planck ni de la fórmula de Rydberg. Así que no estoy de acuerdo con la manera en como estáis planteando el desarrollo de dicho modelo. Creo que hay que seguir profundizando en el asunto, ahora no tengo tiempo, pero quiero desarrollar algo de formulación para intentar demostrar que vuestra afirmación no es correcta, no solo me voy a conformar con afirmarlo, quiero dar una prueba de que no es posible deducir la cuantificación del momento angular usando la hipótesis de Planck y la fórmula de Rydberg, además de la mecánica clásica. Espero poder conseguirlo. Aunque sigo insistiendo, tener un desarrollo matemático sencillo que deduzca de una manera estricta la condición buscada a partir de las premisas aceptables como la mecánica clásica, la hipotesis de Planc y la formula de Rydberg vendría bien.

Salu2, Jabato.

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Una cosa sí está clara, con los conocimentos de la época Bohr sí pudo plantear y comparar las dos siguientes ecuaciones:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La primera deducida de las ideas de Planck y la segunda deducida de los trabajos de Rydberg. Ecuaciones de las que es claro y patente que presentan una estructura muy similar. Utilizando a continuación algunas conclusiones de la teoría clásica no resultaba difícil establecer el equilibrio del electrón girando alrededor del núcleo concluyendo que la energía total del electrón en una órbita cualquiera en la que el electrón se encuentre en equilibrio podía expresarse como:

$\displaystyle k{e^2\over r^2} = {p^2 \over mr}\qquad\qquad\to\qquad\qquad E_c=k\displaystyle\frac{e^2}{2r}=\displaystyle\frac{p^2}{2m}\qquad\qquad U=-k\displaystyle\frac{e^2}{r}=-{p^2 \over m}$




$E=U+E_c=-k\displaystyle\frac{e^2}{2r}=-\displaystyle\frac{p^2}{2m}=-E_c=U/2$

y concluir finalmente por ejemplo que:

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¿Pero cómo seguir? Todas las ecuaciones que deben intervenir en el modelo atómico se encuentran aquí planteadas salvo la que se busca (el segundo postulado). Si Bohr dedujo esta última debió de ser combinando las expuestas aquí, pero sinceramente no veo como. ¿Alguien sabría seguir?

Se me ocurre un razonamiento pillado por los pelos, que paso a exponer. La forma de las ecuaciones anteriores sugiere las dos siguientes propuestas:

$E_c=hcR_H/n^2=k\displaystyle\frac{e^2}{2r}\qquad\to\qquad r=\frac{ke^2}{2hcR_H}n^2$

$E_c=hcR_H/n^2=\displaystyle\frac{p2}{2m}\qquad\to\qquad p=\frac{\sqrt{2mhcR_H}}{n}$

y de aquí poder concluir que el momento angular en las órbitas admitidas está cuantificado:

$L=pr=\displaystyle\sqrt{\frac{m}{2hcR_H}}ke^2n=Kn=n\hbar$

Quedaría como resto del razonamiento el juego necesario para poder concluir que el valor de $K$ es precisamente $h/2\pi$, pero este razonamiento no puede en absoluto considerarse una deducción, y quizás ese fuera el motivo de que Bohr lo elevara a la categoría de postulado.

Hoy en día se conoce el valor de la constante de Rydberg para el hidrógeno expresado en función de otras constantes físicas:

$R_H = \displaystyle\frac{ 2m\pi^2k^2e^4}{h^3 c}$

y hay que decir que Bohr calculó su expresión utilizando la cuantización del momento angular y no resulta difícil comprobar que al substituir dicho valor en la expresión de $K$ se obtiene precisamente el segundo postulado del modelo atómico de Bohr. Pero lo que Bohr no pudo hacer fue deducir el segundo postulado sin conocer previamente la expresión de constante de Rydberg. Eso no pudo hacerlo, tuvo que plantear primero el segundo postulado y luego deducir el valor de la constante de Rydberg.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

La línea que muestra Bohr en su artículo es diferente de la que dices.

Los aspectos cruciales son estos:

1. La electrodinámica clásica no puede dar respuesta del comportamiento del electrón en el átomo, toda vez que de ser así no habría órbitas estables.
2. Bohr aborda la formación del átomo de hidrógeno a partir de un electrón y un núcleo en reposo relativo e infinitamente alejados, durante la cual se emite una cantidad de energía que satisface la ley de Planck.
3. Supone que la frecuencia de los cuantos emitidos es la mitad de la frecuencia de revolución del electrón alrededor del núcleo.

A partir de esas hipótesis encuentra la energía, frecuencia y eje mayor de las órbitas estables (ecuaciones 3 del artículo), que aparecen cuantizadas por un número entero (que Bohr denota en su artículo por $\tau$).

A continuación Bohr añade, para la explicación de los espectros atómicos, la hipótesis de que la transición entre estados estará acompañada de la emisión de fotones (Bohr también aborda la absorción, pero lo hace más adelante en su artículo). Al trasladar sus expresiones a la famosa $\Delta E=h\nu$ (que Bohr escribe en la página 8 como $W_{\tau_2}-W_{\tau_1}=h\nu$) verifica la concordancia con los valores experimentales para las series espectrales de Balmer y Paschen (correspondientes a $\tau_2=2$ y $\tau_2=3$). Además predice otras series no descubiertas en ese momento, para los demás posibles valores de $\tau_2$.

Partiendo de la solidez que esas concordancias proporcionan al modelo, Bohr analiza las primeras hipótesis en términos de momento angular, traduciéndolas a la forma comentada de que esta magnitud deberá estar cuantizada en valores enteros de $\hbar$, lo que es presentado como una hipótesis general para los electrones en órbitas circulares, de tal manera que conforma, junto con la hipótesis $\Delta E=h\nu$, los fundamentos del modelo atómico que presenta en el artículo.

Comentaré a Jabato que no es que con posterioridad se determinase la expresión para la constante de Rydberg. De hecho, aparece como ecuación (4) en el artículo. Eso sí, hay que tener en cuenta que Bohr usa el sistema CGS de unidades, y que la escribe en términos de frecuencia. Copio y pego:


Traduzco el texto:

Vemos que esta expresión da cuenta de la ley que relaciona las líneas en el espectro del hidrógeno. Si ponemos $\tau_2=2$ y dejamos que $\tau_1$ varíe se obtienen las series ordinarias de Balmer. Si ponemos $\tau_2=3$ obtenemos las series en el infrarrojo observadas por Paschen y previamente sospechadas por Ritz. Si ponemos $\tau_2=1$ y $\tau_2=4, 5,...$ obtenemos series en el extremo ultravioleta y en el infrarrojo, respectivamente, que no han sido observadas, pero cuya existencia cabe esperar.

Por último, no es complicado llegar a la expresión para el momento angular partiendo de la de la energía orbital. Usando notación estándar (y no la del artículo de Bohr) tenemos que la energía mecánica de las órbitas estables es

$$E_n=-\frac{ 2\pi^2 m k^2 e^4 }{ n^2 h^2 }$$

Por otra parte, como dicha energía mecánica de una carga en órbita cicular sometida a la fuerza de Coulomb, como en el caso del átomo de hidrógeno de Bohr, es

$$E = -\frac{1}{2}mv^2=-k\frac{e^2}{2 r}$$

tenemos que

$$v=\frac{2\pi k e^2}{n h}$$

$$r = \frac{n^2 h^2}{4\pi^2 m k e^2}$$

La propia forma de ambas expresiones invita a combinarlas de manera que desaparezca el factor $k e^2$, lo que conduce inmediatamente a la expresión del momento angular cuantizado.

Terminaré comentando que es muy interesante ver cómo Bohr "tira" en su artículo de un "hilo" conceptual previamente abierto por J. W. Nicholson, quien habría introducido la idea, para explicar los espectros atómicos, de que en los átomos deberían existir anillos de electrones alrededor del núcleo, cuyos modos de vibración darían cuenta, junto con la ley de Planck, de las frecuencias espectrales. Bohr explica los problemas que ello implica, al tiempo que muestra cuán más sencillo (y coherente con las observaciones) es un modelo como el suyo.

[visitante20160513]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

La primera ecuación que planteas:

$E_n=-\displaystyle\frac{ 2\pi^2 m k^2 e^4 }{ n^2 h^2 }$

no puede plantearse sin tener en cuenta la cuantificación del momento angular o de la energía del electrón. Si partes ya en tu razonamiento del punto al que quieres llegar pues lo único que consigues es una pescadilla que se muerde la cola.

En esencia es lo mismo razonar como Bohr que como yo lo hice, aunque la linea de razonamiento sea distinta. Lo que yo quería tratar de demostrar es que no se podía deducir de forma estricta el segundo postulado usando solo la hipótesis de Planck, la formula de Rydberg y la teoría clásica. Eso es imposible. Puede si acaso intuirse que el momento angular debe estar cuantificado, pero una deducción rigurosa no es posible. Creo que lo he podido probar, y aunque mi razonamiento no coincida con el de Bohr si las ecuaciones que deben plantearse (y esas sí son las mismas) no contienen la información necesaria, da igual cuales sean las operaciones que se realicen con ellas, no se podrá deducir el segundo postulado:

$2\pi rmv=nh$

que era el único objetivo que me había propuesto. De hecho digo en mi mensaje que todo el razonamiento presentado es solo una ocurrencia mía, y que además es un razonamiento muy cogido por los pelos, aunque sabiendo a donde se quiere llegar no es difícil eludir los escollos, pero estamos en 2014 y el razonamiento de Bohr se hizo como ya dije antes en 1913, hace mas de un siglo. Fíjate que además tuvo que eludir la teoría electromagnética postulando que los electrones en sus órbitas circulares no emiten energía, lo cual contradice cualquier punto de vista racional. El modelo atómico de Bohr es un modelo intuido, no deducido, y es claro que el tiempo le dio la razón pero no es correcto decir que el segundo postulado de dicho modelo fue deducido, decididamente no, fue intuido y elevado a la categoría de postulado porque no podía ser demostrado.

La genialidad de Bohr estuvo en afirmar que una propiedad mecánica clásica de los electrones, como es el momento angular orbital, estaba cuantificado. Algo que aparentemente tenía poco o nada que ver con los cuantos de energía de Planck.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Jabato, yo no planteo nada, me limito a leer el artículo de Bohr:




Traduzco:

Regresando al caso simple de un electrón y un núcleo positivo, antes considerado, supongamos que el electrón está al principio de la interacción con el núcleo a una gran distancia de éste, y sin que tenga una velocidad apreciable relativa a aquél. Supongamos además que el electrón tras la interacción que haya tenido lugar ha alcanzado una órbita estacionaria alrededor del núcleo. Supondremos, por razones a las que se hará referencia más adelante, que la órbita en cuestión es circular; no obstante, este supuesto no causará alteraciones en los cálculos sobre sistemas que contengan un solo electrón.

Supongamos ahora que durante el enlace del electrón se emite una radiación homogénea de frecuencia $\nu$ igual a la mitad de la frecuencia de revolución del electrón en su órbita final. Entonces, según la teoría de Planck, cabe esperar que la cantidad de energía emitida por el proceso considerado es igual a $\tau h \nu$, donde $h$ es la constante de Planck y $\tau$ es un número entero. Si suponemos que la radiación emitida es homogénea, la segunda hipótesis relativa a la frecuencia de la radiación surge por sí misma, puesto que la frecuencia de revolución del electrón al principio de la emisión es 0. Sin embargo, la cuestión de la rigurosa validez de ambas hipótesis, y también de la aplicación hecha de la teoría de Planck, será discutida más a fondo en el apartado 3.

Poniendo

$\dst W = \tau h \frac{\omega}{2}$

tenemos, con la ayuda de la fórmula (1)*

y como ves luego aparece la expresión de la cuantización de las energías (Bohr llama $W$ a la energía de enlace del electrón -y $\omega$ a su frecuencia orbital-).

*La fórmula (1) a la que se refiere, que es $\dst \omega=\frac{\sqrt{2}W^{\frac 3 2}}{\pi k e E\sqrt{m}}$ (recordemos que Bohr usa el CGS, de manera que $k=1$ y que llama $E$ a la carga del núcleo), se obtiene al combinar la energía de enlace $\dst W=\frac{1}{2}k\frac{eE}{a}$ con el equivalente de la tercera ley de Kepler, esto es, con $\dst \frac{1}{\omega^2}=\frac{4\pi^2}{keE/m}a^3$ ($a$ es el semieje mayor de la órbita).

[visitante20160513]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Lo siento pero quisiera saber dos cosas arisvam:

1ª).- Si sigues manteniendo que Bohr dedujo rigurosamente la ecuación $2\pi rmv=nh$ usando los conocimientos de su época.

2ª).- Y cual sería el desarrollo riguroso y completo de dicha deducción, la de Bohr u otra cualquiera que puedas diseñar. Las fórmulas de partida y el desarrollo hasta la ecuación final.

procurando no remitirte al documento, o si lo haces mostrando la deducción rigurosa y completa, por favor. No es tan complicado resumir el documento en unas pocas fórmulas bien planteadas.

Yo sigo manteniendo que no pudo hacerlo puesto que no tenía suficiente información. Tuvo que realizar algunos aportes intuitivos y realizar varias extrapolaciones y elevarlos a nivel de postulado ya que de otra forma no hubiera podido construir el modelo. Pero si no haces lo que te pido y te limitas a citar el documento solo en forma parcial pues no vamos a salir de dudas. Se trata de que muestres el desarrollo riguroso y completo de tal deducción, si puedes.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Te lo he contado en los posts anteriores. En primer lugar parte de la relación que tienen con la energía de enlace, $W$ (la energía mecánica cambiada de signo) el semieje mayor orbital $a$ y la frecuencia orbital $\omega$, que son (introduzco explícitamente la constante de Coulomb, que Bohr no hace)
$\dst \omega=\frac{\sqrt{2}W^{\frac 3 2}}{\pi k e E\sqrt{m}}$ y $\dst a=\frac{keE}{2W}$. Insisto en que Bohr llama $E$ a la carga del núcleo y que la primera de ellas se deduce fácilmente combinando la segunda con $\dst \frac{1}{\omega^2}=\frac{4\pi^2}{keE/m}a^3$.

Después las usa para razonar que si la electrodinámica clásica fuese correcta el electrón caería emitiendo una cantidad de energía $W$ muy superior a las que se observan en los procesos atómicos usuales.

A continuación introduce la hipótesis de que en la formación de un átomo de hidrógeno se debe emitir una radiación cuantizada según la ley de Planck cuya frecuencia sea la mitad de la frecuencia orbital del electrón, es decir, $\dst W = \tau h \frac{\omega}{2}$ (con $\tau$ un número entero).

De ahí llega a las expresiones (3), una de las cuales es la de la energía $W=\frac{ 2\pi^2 m k^2 e^4 }{ n^2 h^2 }$, que es la que recurre, combinada con la hipótesis $W_{\tau_2}-W_{\tau_1}=h\nu$, para dar cuenta de las series espectrales del hidrógeno, lo que emplea como confirmación de la validez de las hipótesis.

Como la primera de estas dos hipótesis, la que destaqué en rojo en mi post anterior, es un tanto extraña, la reconvierte en la conocida de que el momento angular está cuantizado, para lo cual simplemente basta con manipular las expresiones como comenté anteriormente.



En mi opinión (y ahora es eso, una opinión) Bohr partió de la propuesta hecha por Nicholson (que por cierto predecía un extraño elemento al que llamó "coronium") de que los electrones se distribuían en anillos y que sus modos de vibración tenían por frecuencias las espectrales observadas y exploró la idea de substituir los anillos por órbitas que se pudiesen describir mediante la mecánica clásica a las que añadió la hipótesis de que la energía emitida procedía de los cambios de órbita. ¿Por qué exploró la posibilidad de que la frecuencia de los cuantos fuese el doble de la orbital, etc? Es posible que comenzase con la idea de que la frecuencia fuese la misma y entonces encontrase que daba cuenta del espectro salvo por un factor que sería una potencia de 2 y entonces que "arreglase" el modelo introduciendo ese 2 tan extraño.

Seguramente Bohr era consciente de que esa hipótesis era demasiado extraña (de hecho es incluso muy discutible) por lo que la transformó en una equivalente (matemáticamente) pero mucho más elegante: la cuantización del momento angular orbital.

El hecho de que haya dejado en su artículo la hipótesis de los cuantos de frecuencia doble de la orbital demuestra que la consideraba lo suficientemente sólida como para mostrarla antes que la (equivalente) del momento angular. Seguramente el motivo estaba en que se apoya en la ley de Planck, ya sólidamente establecida en ese momento, mientras que la del momento angular, que hoy en día vemos como mucho más natural y correcta, no dejaría de ser algo "sacado de la manga".

En definitiva, la respuesta a la pregunta "¿de dónde sacó Bohr la hipótesis de la cuantización del momento angular?" sería porque la encontró equivalente de otra, ad hoc y basada en la ley de Planck, bastante menos elegante pero lo suficientemente firme como para dar cuenta de las observaciones existentes sobre el espectro del hidrógeno.

[visitante20160513]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

¿De verdad consideras que lo expuesto hasta ahora es una demostración rigurosa y completa de la deducción del segundo postulado? La verdad es que tienes un concepto muy peculiar de lo que significan las palabras riguroso y completo. Te lo pedí hace un momento y sigo haciéndolo porque entiendo que es la única forma de llegar a un acuerdo. Si te parece que no es necesario hacer lo que te pido pues tu mismo, pero nos quedaremos con la duda y es una lástima que habiendo llegado hasta aquí dejemos la incógnita sin despejar. No trato de confundir ni de crearte stres, tan solo de aclarar una diferencia de criterio. Hasta el momento estoy disfrutando al debatir contigo y con Breogan, y además el debate me ha servido para recordar cosas que ya tenía olvidadas e incluso aprender alguna nueva. Sería una verdadera pena no poder llegar a una conclusión clara al respecto de averiguar como dedujo Bohr la formulación del segundo postulado.

Salu2, Jabato.

[Julián]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Tenía entendido que bohr dedujo los postulados ya que era inconsistente con el electromagnetismo y su modelo de orbitas.

1) fuerza centripeta = fuerza electroestática $m \frac{{v}^{2}}{r}= \frac{{q}^{2}} {4 \pi \varepsilon {r}^{2}}$

2) Momento cinético cuantizado [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero se tenían que cumplir ambos postulados a la vez por lo que el radio de la orbita sería:

$r = \frac{{n}^{2} {h}^{2} \varepsilon}{\pi m {q}^{2}}$

Y despues vino deBroglie con su postuldo de que como la luz se podía comportar como partícula entonces lo viceversa es posible y su longitud de onda

$\lambda = \frac{h} {mv}$

Hecho corroborado por el experimento de la doble rendija. Así que en un átomo no puede haber un número fraccional de longitud de onda porque implicaría que habría un numero fraccional del electrón.

$2 \pi r = n \lambda$

¿De verdad consideras que lo expuesto hasta ahora es una demostración rigurosa y completa de la deducción del segundo postulado?

Creo Jabato que en ese tiempo de la física primeramente había fenómenos y luego se buscaba una relación matemática. Por ejemplo la emisión del cuerpo negro, Plank la observó y luego buscó una expresión matemática ó el efecto fotoelectrico que se observó que la energía de los electrones radiados dependía de la frecuencia de la luz por lo que einstein con esa observación postuló el cuanto de luz. Borh observó que los en atomos había (2 partículas con carga) y que en el centro había concentrada toda la masa, ya se había demostrado el electromagnetismo, pero su modelo de orbitas (ya que tomó un modelo conocido, el de los planetas) implicaría que el electrón cayera al nucleo y se observaba que no pasaba por lo que buscó una expresión matemática. Y ahi vino deBroglie y hiso lo contrario, con algo que ya se demostró, como la dualidad onda corpuscular de la luz postuló algo nuevo (una postulación que no partía de la observación sino de la lógica) que las partículas también se podrían comportar como ondas y con eso a su vez explicaba el segundo postulado, hecho que "luego" se demostró por el experimento de la doble rendija. Y ahora en general la física moderna primero genera postulados (como el bossón de higgs) y luego mediante métodos científicos busca demostrarlos mediante la experimentación y observación, cosa contraria a lo que hacían planck, borh, newton, etc.

[Weip]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Y despues vino deBroglie con su postuldo de que como la luz se podía comportar como partícula entonces lo viceversa es posible y su longitud de onda

$\lambda = \frac{h} {mv}$

El problema es que De Broglie intervino en todo esto 10 años (más o menos) después del modelo atómico de Bohr. Por eso arivasm y Jabato analizan el artículo de Bohr, porque hay dudas sobre el razonamiento que llevó a su modelo.

No intervengo más porque aún no me he leído el artículo de Bohr, pero estaré atento al hilo.

[nachocabellos]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Hola. Perdonad que me meta en el hilo; soy nuevo aquí, y no sé si esto se hace así. Sólo quiero dar mi opinión sobre el tema de la deducción rigurosa del principio citado. Naturalmente, es posible, a posteriori, dar una demostración rigurosa de la expresión, pero no creo (bueno, estoy convencido de que no) que se pueda hacer con los conocimientos de los que disponía Bohr. De hecho, Bohr utiliza esta expresión como una hipótesis de trabajo, y la usa para deducir los resultados y predicciones de su modelo. Otra cuestión es pensar que esta hipótesis aparece de la nada, como una idea venida a la mente por obra divina, y que los factores que aparecen en ella (como el famoso 2) no tienen origen en nada conocido; el artículo de Bohr de 1913 recoge el fruto de todo el trabajo que ya había realizado sobre electrones (su tesis doctoral trataba de electrones en metales), y de la influencia que los físicos de su tiempo tuvieron en él. En particular, la estancia de Bohr en Manchester en el laboratorio de Rutherford, los modelos atómicos de Nicholson y Haas (que ya habían utilizado hipótesis cuánticas), la teoría de Charles Galton Darwin sobre absorción de partículas alfa por la materia, y el hecho de que Plank utilizaba un factor similar, también con un 2 bailando, en su expresión (basada en hipótesis ad hoc) para la energía media de los osciladores.
Es decir, ni la expresión viene de la nada, ni el dos viene de la nada, pero al mismo tiempo (siempre desde mi punto de vista) no creo que hubiera sido posible deducirla rigurosamente (en el sentido que comentais) con los conocimientos de que Bohr disponía.
Además de los artículos originales, para esta discusión hay algunos textos que podrían arrojar algo de luz. El Prof. Sanchez Ron tiene un capítulo muy interesante dedicado a este tema en su texto "Historia de la Física Cuántica I", y en el se citan referencias fundamentales para completar todo; principalmente el conocido como "Memorandum de Rutherford" de Heilborn y Kuhn.

Saludos!!

[arivasm]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

¿De verdad consideras que lo expuesto hasta ahora es una demostración rigurosa y completa de la deducción del segundo postulado? La verdad es que tienes un concepto muy peculiar de lo que significan las palabras riguroso y completo.

Jabato. Tras haber leído el artículo (¡hazlo!) tengo claro de dónde sacó Bohr la hipótesis del momento angular: es una reformulación de otra previa, que ya comenté anteriormete. La cuestión es entonces cuál es el origen de esa hipótesis de "que durante el enlace del electrón se emite una radiación homogénea de frecuencia $\nu$ igual a la mitad de la frecuencia de revolución del electrón en su órbita final."

Fíjate que el resumen del artículo dice esto:

In the present first part of the paper the mechanism of the binding of electrons by a positive nucleus is discussed in relation to Planck's theory. It will be shown that it is possible from the point of view taken to account in a simple way for the law of the line spectrum of hydrogen. Further, reasons are given for a principal hypothesis on which the considerations contained in the following parts are based.

En esta primera parte del artículo se discute el mecanismo del enlazado de los electrones por un núcleo positivo en relación con la teoría de Plank. Se demostrará que es posible a partir de ese punto de vista dar cuenta de una manera sencilla de la ley de las líneas espectrales del hidrógeno. Además se darán razones para una hipótesis principal en la que basarse las consideraciones contenidas en las partes siguientes.

Con esto quiero destacar que la intención de Bohr era establecer el modelo a partir de la teoría de Planck, aplicándola a la formación del átomo. Es decir, partir de la idea de que la cuantización de la radiación debería implicar una cuantización en las energías atómicas.

De hecho, hay una frase en el artículo que es muy significativa al respecto (está hacia el comienzo del apartado 3):

We shall now see that we can leave the assumption used and still retain the equation (2)* on p. 5, and thereby the formal analogy with Planck's theory

Veremos ahora que podemos abandonar la hipótesis utilizada y todavía retener la ecuación (2)* de la página 5, y por tanto la analogía formal con la teoría de Planck

*La ecuación (2), como vimos antes era $\dst W = \tau h \frac{\omega}{2}$, que es la de la hipótesis en cuestión.

El resto, que lleva a la cuantización del momento angular, es entonces, manipulación matemática que usa como contraste las leyes empíricas para el espectro del hidrógeno.


Con relación al origen de la hipótesis de marras, Bohr la aborda en el apartado 3 de su artículo. La verdad es que la explicación me resulta farragosa, posiblemente por mis carencias en lo que se refiere a cómo será la radiación emitida, según la electrodinámica clásica, por una carga en una órbita elíptica.

Trataré de resumir lo que he entendido. Bohr parte de la idea siguiente:

Let us assume that the ratio between the total amount of energy emitted and the frequency of revolution of the electron for the different stationary states is given by the equation $W=f(\tau) h\nu$, instead of by the equation (2).

Supongamos que la relación entre la cantidad total de energía emitida y la frecuencia de revolución del electrón para los diferentes estados estacionarios viene dada por la ecuación $W=f(\tau) h\nu$, en lugar de la ecuación (2).

Entonces hace un desarrollo semejante al que hace antes en el artículo y procede a comparar el resultado con la ley del espectro del hidrógeno, lo que le lleva a concluir que la consistencia con la misma requiere de la ecuación (2) de marras. En concreto, demuestra que debe cumplirse que $f(\tau)=c\tau$ ($c$ es una constante, no la velocidad de la luz), para después demostrar, a partir de las frecuencias de revolución, que debe ser $c=\frac{1}{2}$

Este resultado lo justifica de esta manera:

The possibility of an emission of a radiation of such a frequency may also be interpreted from analogy with the ordinary elecrodynamics, as in electron rotating round a nucleus in an elliptical orbit will emit a radiation which according to Fourier's theorem can be resolved into homogeneous components, the frequencies of which are nω, if ω is the frequency of revolution of the electron.

We are thus led to assume that the interpretation of the equation (2) is not that the different stationary states correspond to an emission of different numbers of energy-quanta, but that the frequency of the energy emitted during the passing of the system from a state in which no energy is yet radiated out to one of the different stationary states, is equal to different multiples of ω / 2 where ω is the frequency of revolution of the electron in the state considered. From this assumption we get exactly the same expressions as before for the stationary states, and from these by help of the principal assumptions on p. 7** the same expression for the law of the hydrogen spectrum. Consequently we may regard our preliminary considerations on p. 5 only as a simple form of representing the results of the theory.

La posibilidad de una emisión de una radiación de tal frecuencia puede tambien interpretarse a partir de la analogía con la electrodinámica, puesto que un electrón rotando alrededor de un núcleo en una órbita elíptica emitirá una radiación que de acuerdo con el teorema de Fourier se puede resolver en componentes homogéneas, cuyas frecuencias son nω, si ω es la frecuencia de revolución del electrón.

Tenemos así que suponer que la interpretación de la ecuación (2) no es que diferentes estados estacionarios se correspondan con una emisión de diferentes números de cuantos de energía, sino que la frecuencia de la energía emitida durante la transición del sistema desde un estado en el que todavía no se radia energía hacia uno de los diferentes estados estacionarios es igual a diferentes múltiplos de ω / 2 donde ω es la frecuencia de revolución del electrón en el estado considerado. A partir de esta hipótesis obtenemos exactamente las mismas expresiones que antes para los estados estacionarios, y a partir de ellas, con la ayuda de las hipótesis principales de la página 7**, la misma expresión para la ley de espectro del hidrógeno. En consecuencia, podemos tomar nuestas consideraciones preliminares de la página 5 como sólo una forma sencilla de representar los resultados de la teoría.

* Se refiere al $\Delta W=h\nu$

- - - Actualizado - - -

Veo que mientras escribía intervino un nuevo compañero (nachocabellos) que creo que resume muy bien la cuestión. Destaco esta parte de su intervención, pues creo que resume perfectamente el tema:

Bohr utiliza esta expresión como una hipótesis de trabajo, y la usa para deducir los resultados y predicciones de su modelo. Otra cuestión es pensar que esta hipótesis aparece de la nada, como una idea venida a la mente por obra divina, y que los factores que aparecen en ella (como el famoso 2) no tienen origen en nada conocido

[visitante20160513]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Se agardecen los aportes, pero yo vuelvo a insistir. Si alguien cree que Bohr pudo deducir de una forma rigurosa su segundo postulado, es decir la existencia de un cuanto para el momento angular orbital del electrón, de valor:

$\hbar=\displaystyle\frac{h}{2\pi}$

lo que debería hacer en mi opinión es mostrar el desarrollo.

Los dos inconvenientes principales que yo encuentro son fundamentalmente:

1º).- Como pasar de estas dos expresiones conocidas en la época de Bohr:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

a esta otra:

$E=\displaystyle{-\frac{hcR_H}{n^2}}$

fundamental para el desarrollo del modelo atómico (cuantificación de la energía).

2º).- El segundo inconveniente es que cualquiera que sea la forma en que se realice el cálculo, el cuanto para el momento angular siempre saldrá en función de la constante de Rydberg:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

tal y como ya se ha expuesto en un mensaje anterior. Sin embargo Bohr no la expresó así sino de esta otra forma:

$L=n\cdot\hbar$

¿Cómo dedujo la segunda forma conociendo solo la primera?

Desde mi punto de vista ambos pasos no pudieron ser deducidos con los conocimientos de la época, aunque está claro que Bohr tuvo mucha intuición para poder resolverlos de una forma sencilla.

Saludos, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Pues he leído tu mensaje con detenimiento, arisvam, pero al llegar al punto en que se habla de la ecuación (2) me he detenido porque ya no necesito seguir. Dicha ecuación es:

$\dst W = \tau h \frac{\omega}{2}$

y parece ser la base de todo el razonamiento, y además observo que presenta un parámetro $\tau$ que no se sabe muy bien de donde sale. Dicha ecuación parece establecer una cierta cuantificación para una determinada energía, aunque no entiendo muy bien de que energía se trata ni que parámetro es ese. Mi inglés no es bueno y no puedo leer el artículo y entenderlo en toda su amplitud, (te agradezco que aportes las traducciones).

Centrémonos en esa ecuación y veamos de donde sale y qué es lo que expresa. ¿Te parece?

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Si te parece, por una sola vez, pues corremos el riesgo de oscurecer el texto de Bohr, usaremos unos símbolos diferentes de los que él emplea en su artículo. La ecuación (2) es

$\dst E_n= - n h \frac{\nu_{orb}}{2}$

siendo $E_n$ la energía de la órbita, tomando como 0 el electrón en reposo en el infinito. El signo menos se debe a que Bohr maneja la energía de enlace (su $W$), es decir, la que se desprende cuando el electrón alcanza (partiendo del 0 anterior) un estado estacionario. $n$ (que Bohr llama $\tau$) es un número entero, es decir, es el número cuántico principal. $\nu_{orb}$ (que Bohr llama $\omega$) es la frecuencia orbital del electrón, es decir, $v/2\pi r$.

El de dónde sale puedes analizarlo desde dos puntos de vista: conceptual y cuantitativo.

Conceptualmente posiblemente proceda de la idea de que la ley de Planck debe evidenciar la existencia de cuantización en las energías atómicas. Vuelvo a citar a Bohr para explicar en qué me baso:

Veremos ahora que podemos abandonar la hipótesis utilizada y todavía retener la ecuación (2)* de la página 5, y por tanto la analogía formal con la teoría de Planck

Por supuesto es crucial el hecho de que su introducción da cuenta de las leyes espectrales del hidrógeno.

Cuantitativamente la clave estaría en el 2 del denominador, al que también hizo referencia nuestro compañero nachocabellos, pues una vez admitida la "inspiración" anterior, parece bastante razonable ensayar que la energía de enlace sea un múltiplo de una cantidad semejante a la que aparece en la ley de Planck, como es $h\nu_{orb}$.

En el texto, Bohr cita explícitamente la idea de ensayar una forma como $E = -f(n)h\nu_{orb}$ y que sólo la forma $f(n)=n/2$ es la que se ajusta a las observaciones del espectro del hidrógeno. Es por eso, como bien dice nachocabellos, que no dejaría de ser una hipótesis ad hoc, o de trabajo, y que estaría inspirada en análisis electrodinámicos (como los que cita en el párrafo que mencioné), pero también en otros modelos que se consideraron en su momento, como por ejemplo el de Nicholson.

Es muy interesante el que Bohr manipulase las expresiones resultantes, que constituyen el (3) de su artículo, hasta llegar a una expresión tan elegante como $L=n\hbar$, liberando entonces el modelo de ese origen al que me acabo de referir (la ecuación 2 y todo aquello relacionado con ella).

[visitante20160513]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Pues como no seas más claro creo que no lo voy a entender. Partir de una ecuación como esa permite recorrer la mitad del camino antes de empezar. No he entendido nada de lo que me has dicho así que probemos de otra forma, ¿quien dedujo esa ecuación, para qué y como se dedujo? ¿Fue el propio Bohr o es anterior a él?

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Es una hipótesis que introduce Bohr directamente, inspirada en la cuantización de la teoría de Planck, y también (o al menos así he creído entenderlo en el artículo) en resultados del electromagnetismo clásico (para la energía que radiaría el electrón si fuese clásico). En todo caso, no es una deducción.