Divulgación De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

[alexpglez]

Pues eso pregunto. En clase nos dijeron que el modelo clásico de Bohr decía que sus órbitas eran circulares, y mediante la ley de coulomb, la aceleración normal y una fórmula que el sacó:

$$mvr=n\hbar$$

Dedujo el radio aproximado de cada nivel electrónico, y con esta otra fórmula la utilizaba para calcular la longitud de onda radiada en los saltos energéticos.

$$\frac{1}{\lambda}=R(\frac{1}{n_o^2}-\frac{1}{n_f^2})$$

Mi pregunta es qué pensó para formular la primera fórmula que he escrito, qué simboliza además que $n=2\pi r/\lambda$¿? Y como se relaciona además esta ecuación con la segunda, cuál es el valor teórico de esa constante, (a partir de K me e..)¿?

Gracias

[arivasm]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Se trata de partir de la idea de que las órbitas estacionarias serían aquellas en las que su tamaño fuese un número entero de ondas de De Broglie: $2\pi r = n \frac{h}{m v}$

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Respecto de la constante de Rydberg, que el modelo de Bohr predice correctamente, su valor y dependencias con las magnitudes que citas la tienes, por ejemplo, aquí: http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Rydberg

[alexpglez]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Creo que ya entiendo lo que quieres decir con órbitas estacionarias, órbitas que tienen el fin y el principio de la onda coinciden. Siendo n=1 -> lambda=2pi r, ya que 2 pi r sería la longitud de la circunferencia, n=2 -> lambda=pi r, n=3 -> lambda= 2/3 pi r. Por lo que lambda=h/mv=2pi r/n; mvr=nh/2pi.
Ok, gracias, entendí, pensó bien bohr, de todas formas un poco ingenuo que el radio fuese necesariamente circular, quizá fuese también por la simplicided que da considerar circular..

[visitante20160513]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Eso no puede ser, resulta anacrónico, porque el modelo atómico de Bohr se publicó en 1913 y los trabajos de De Broglie en los que se propone la dualidad onda-partícula de los electrones datan de 1924, así que Bohr no podía tener en su cabeza algo que aún tardaría en publicarse 11 años. La mecánica cuántica estaba en mantillas aunque los trabajos de Plank sobre la emisión del cuerpo negro datan de 1900 y los de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico son de 1905, ambos fenómenos perfectamente explicados mediante las incipientes ideas de la mecánica cuántica. La siguiente contribución históricamente hablando fue precisamente el modelo atómico de Bohr, que tuvo la idea genial y muy novedosa de limitar las posibles órbitas del electrón girando alrededor del núcleo mediante su segundo postulado. El primer postulado evitaba que los electrones emitieran energía en esas órbitas precisamente. Así pues el mérito de Bohr fue el de explicar en 1913 el espectro del átomo de hidrógeno aplicando las mismas ideas que le permitieron a Plank explicar la emisión del cuerpo negro en 1900 y a Einstein el efecto fotoeléctrico en 1905. Los tres fueron avanzados de la mecánica cuántica y gracias a sus trabajos se desarrollaron las ideas que nos han conducido en este tema a donde hoy estamos. Los cuatro recibieron el Nobel de física por estos trabajos pero De Broglie es muy posterior a los otros tres. Podría decirse que los tres primeros fueron pioneros trabajando en solitario y se ganaron muy merecidamente el Nobel que se les otorgó. En 1924 había ya muchos físicos trabajando en estas ideas aunque no pretendo quitar mérito a este último pero es que los tres primeros (Plank, Einstein y Bohr) fueron ... otra cosa.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

He revisado las fechas y tienes razón: Bohr no pudo usar la hipótesis de De Broglie en 1913. Posiblemente partiese de otra intuición, como es el hecho de que la contante de Planck posea unidades de momento angular y entonces supusiese que el momento angular de las órbitas estacionarias estuviese cuantizado según valores de $\hbar$

[visitante20160513]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Yo creo, aunque nunca he leído nada concreto sobre el particular, que las ideas de Bohr iban quizás más por el principio de acción, ya que lo que se define en la ecuación:

$2\pi rmv=nh$

no hace ni más ni menos que cuantificar la acción del electrón en su giro alrededor del núcleo:

Acción=vis viva · tempus $= mv^2\ T=mv^2 2\pi r/v=2\pi rmv=nh$

Aunque realmente su trabajo tuvo más del trabajo de un pionero que el de continuación de las ideas desarrolladas por otros. La mecánica cuántica en aquella época no existía, faltaba aún mucho para que llegara a formalizarse como una rama de la ciencia. Tuvo que tener mucho valor y mucha imaginación para llegar a afirmar que los electrones no emiten energía cuando giran alrededor del núcleo en contra de las teorías de Maxwell y luego cuantificar el momento angular o la acción. La verdad es que no es fácil imaginar que pudo pasar por su cabeza para concluir con su modelo atómico, pero ... el caso es que lo hizo y ahí está. Es por eso por lo que yo le considero un pionero, al igual que a Planck y a Einstein.

NOTA: Las dimensiones de la constante de Plank son las de una energía por un tiempo, es decir las de una acción. De hecho a dicha constante se la suele llamar también cuanto de acción.

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

La verdad es que sí, una idea bastante grande para aquella época, que por fin acabó de romper las ideas clásicas para poder plantearse cuestiones como la dualidad onda-corpúsculo de De Broglie. Si no llega a ser Bohr igual iríamos con un montón de retraso en física.

[arivasm]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

No estoy de acuerdo. La acción tiene una definición muy concreta: es la integral de la lagrangiana respecto del tiempo. Aunque sus unidades son las mismas que las que posee el momento angular, es una magnitud diferente (en el modelo de Bohr sería $S=\int L \dd t=\frac{3}{2}mv^2 \Delta t=\frac{3}{2}k\frac{Ze^2}{r}\Delta t$), cuyo valor depende de cuáles sean los instantes considerados para su cálculo.

[Breogan]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Hola:

Por principio yo estoy en desacuerdo con la forma de enseñar y/o divulgar los procesos del progreso científico, que hacen hincapié en supuestos procesos de inspiración "divina" por parte de personas iluminadas.

La mayoría de estas historias creo que inclusive desagradarían a sus protagonistas; creo que Einstein dijo "5% de inspiración y 95% de trabajo" o Newton que dijo que se "paro sobre hombros de gigantes para ver mas lejos", (aunque según las malas lenguas lo dijo para burlarse de la estatura de Hooke).

Personalmente creo que estos científicos, a los cuales se les reconocen ciertos logros en el ámbito científico, son la espuma en la cresta de la ola de una tendencia científica (mayor o menor en su momento), pero que sin el cuerpo de esta difícilmente hubieran tenido tales logros.
No es extraño encontrar en la historia de la ciencia que el mismo avance teórico o experimental es desarrollado al mismo tiempo (con su delta t) por distintos científicos, en distintas partes del mundo.

No trato con esto de menos preciar la genialidad de algunos de estos científicos, tan solo estoy tratando de ponerlo en perspectiva, y dejar en claro que detrás de ellos y sus logros hay un conocimiento profundo de la física y sus problemas, y de los trabajos de sus contemporáneos (anque sus predecesores) en los campos en análisis.

En cuanto a la pregunta original, recordando un poco un libro de historia de la ciencia, del cual no me acuerdo datos puntuales (tendría que buscarlo), y haciendo uso de mi pobre memoria me permito hacer un pequeño resumen.

Espero respetar el orden cronológico, y disculpa si no pongo fechas pero no me las acuerdo.

Bohr empezó a estudiar la estructura de los átomos, en la época que Rutherford (quien creo que fue su mentor o maestro o jefe ?, o los tres al mismo tiempo?) descubrió que toda la carga eléctrica positiva del átomo se concentraba en un radio mucho mas pequeño que el radio estimado para un átomo en esa época.

Ante este descubrimiento se empezaron a estudiar algunos modelos de átomo; en particular el planetario y su estabilidad, en el cual se involucro Bohr y junto con otros colegas demostraron que bajo las leyes de Maxwell este modelo era inestable.
También se trato en su momento de modificar dichas leyes para distancias subatomicas, no llegando a soluciones aceptables.

Muchos de los colegas contemporaneos de Bohr siguieron dicha linea, pero el conociendo los trabajos de Planck y Einstein sobre la cuantización de la energía electromagnética, y los trabajos de Balmer, Lyman, Rydeberg y otros sobre el espectro de emisión del hidrógeno planto bandera.
Abandono la idea de compatibilizar el modelo atómico con las leyes de Maxwell (lo considero un callejón sin salida), y creo su 1º postulado: los electrones orbitando alrededor de un átomo no irradian energía y sus órbitas son circulares (respetando lo empírico, los átomos no colapsan, por encima de lo estrictamente teórico).

Cabe destacar que de lo teórico solo desecho aquello que en su visión molestaba para alcanzar un resultado, conservando lo restante, como la gravedad y la electrostática. Lo que se dice un pragmatico !!!!!

En base a esto calculo la energía clásica de un electrón en el átomo de hidrógeno.

$$\dst E = - \frac 1 2 \frac{k e^2}{r}$$

En base a Einstein y Planck, y la formula de Rydberg:

$$\dst \frac 1 {\lambda} = R_H \left[\dst \frac 1 {n_1^2} - \frac 1 {n_2^2} \right]$$

que predice las lineas de 1º orden del espectro de emisión del hidrogeno, calculo que la energía del foton unitario de cada linea debía valer:

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como cada foton se lleva una cantidad de energía finita, definida, y siempre igual para cada linea, y por conservación de la energía esta debe ser igual a la que pierde el átomo, y asumiendo que dentro de este toda la energía la pierde solo el electrón, Bohrn enuncio su 2º postulado: el electrón en órbita dentro del átomo solo puede perder o ganar cantidades discretas de energía, que corresponden a la diferencia entre la energía de la orbíta inicial y la energía de la órbita final:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

reemplazando en la ultima las ecuaciones (1) y (2) como correspondan, queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\dst h c R_H \left[\dst \frac 1 {n_1^2} - \frac 1 {n_2^2} \right] = \frac 1 2 k e^2 \left[ \frac{1}{r_1} - \frac 1 {r_2} \right]$$

y acá, partiendo de la formula anterior, enuncio su 3º postulado: los radios que puede tener la órbita circular de un electrón en el interior de un átomo esta cuantizada, y responde a la formula:

$$\dst r = n^2 r_0 \quad donde \ n = 1 ; 2 ; 3 ; .....$$

y r0 corresponde al radio mínimo de la órbita circular del electrón dentro del átomo de hidrógeno. Quedando (4) como:

$$\dst h c R_H \left[\dst \frac 1 {n_1^2} - \frac 1 {n_2^2} \right] = \frac 1 2 k e^2 \frac 1 {r_0} \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac 1 {n_2^2} \right]$$

A partir de la cuantización del radio procedió a la cuantizacion de las otras magnitudes del electrón, y hallo también el valor de r0 en función de constantes fundamentales.

Hasta acá es hasta donde yo se o me acuerdo o ....

La interpretación y valoración de la cuantización del momento angular de la órbita del electrón. y su conciliación con la dualidad onda-partícula de De Broglie (numero entero de longitudes de onda en la órbita), es posterior a esto, y si no me acuerdo mal se debe a Dirac.

s.e.u.o.

Suerte

PD: disculpas si me equivoque en como se escribe algún nombre, y todo lo referido es lo que me acuerdo de haber leído alguna vez, no puedo dar completa certeza de lo dicho.

Suerte

[arivasm]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Breogán tiene razón: una copia (bastante mala, desde el punto de vista de la legibilidad) de un artículo histórico de Bohr en el que expone el modelo puede leerse aquí, http://www.chemteam.info/Chem-Histor...ohr-1913a.html

Eso sí, la cuantización del momento angular ya la deduce en ese mismo artículo, pero como consecuencia de la cuantización de las energías que surgen de la cuantización que implica la ley de Planck.

[visitante20160513]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Pero no has contestado a la pregunta principal del debate, es decir de donde salió la ecuación:

$2\pi rmv=nh$

Sin esa ecuación no es posible construir el modelo atómico, porque esa es la base principal del modelo, la qué establece que órbitas son posibles y que órbitas no lo son, y esa ecuación o la sacó de alguna parte o directamente se la inventó. Pero en tu aclaración no explicas como la dedujo, si es que la dedujo, porque debo imaginar que no se la inventó. En su época no había conocimientos suficientes para poder plantear una ecuación como esa, pero ... si realmente es un postulado del modelo atómico (el segundo), ya que no aparece como deducida de ninguna otra parte, entonces debió inventársela, pero ... ¿en base a qué argumentos? Esa es la idea principal del debate y creo que sigue sin aclararse. La explicación que nos da Breogan elude dar respuesta a esa pregunta, no se si inconscientemente o a propósito, pero dar respuesta a esa pregunta es precisamente el objetivo del debate.

Yo pienso, aunque es tan solo un apunte mío sin base argumental ninguna, una idea descabellada tan solo, que el principio de acción tuvo algo que ver en ello, y así lo digo en mi último mensaje, pero ...

Breogan: ¿cual es tu respuesta a esa cuestión? ¿Como se deduce o de donde sale esa ecuación?

Arisvam: dices que la cuantización del momento angular aparece deducida en ese artículo ¿donde? Yo no lo veo por ninguna parte.

Salu2, Jabato.

- - - Actualizado - - -

Realmente la idea de que la energía de la radiación electromagnética se estructura en "paquetes de energía", los famosos cuantos de luz o fotones, permitió a Planck explicar el fenómeno de la radiación del cuerpo negro y a Einstein dar un modelo teórico para explicar el efecto fotoeléctrico. Hasta ahí bien. Pero lo que hizo Bohr fue establecer la cuantización del momento angular de los electrones en su movimiento alrededor del núcleo atómico, cuestión que no tenía realmente relación con esas ideas (un electrón y un fotón son basicamente objetos muy distintos) salvo por el hecho de que las rayas del espectro del átomo de hidrógeno se deben interpretar como radiación electromagnética emitida y/o absorbida por los átomos y por lo tanto compuesta por fotones. Supongo que Bohr debió pensar que si las líneas del espectro del hidrógeno eran interpretables como emisión/absorción de ciertas frecuencias de luz, la cuantización de los fotones tendría entonces alguna relación con la distribución de dichas líneas. De alguna forma llegó a concluir que cuantificar el momento cinético del electrón permitía dar una explicación al fenómeno, pero lo que buscamos aquí es como llegó a esa conclusión. Ni Planck ni Einstein hablaron de la cuantización de los electrones, hablaron solo de cuantos de luz, de fotones o de cuantos de energía electromagnética, pero el modelo que propuso Bohr ¡cuantificaba una propiedad mecánica de los electrones! ¿Que relación hubo entre una y otra idea? Pues esa parece ser la magia del asunto y creo que esa es la respuesta que se busca aquí.

Salu2, Jabato.

[Breogan]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Hola:

Disculpa Jabato, es posible que en el fárrago de la exposición me haya pasado dicha cuestión por alto, aunque para mi ya esta contestada: la cuantización de la energía EM implica la cuantización de una magnitud mecánica, el radio de la órbita; esto a su vez implica la cuantización si o si de las otras magnitudes mecánicas.

El libro del que parafrasee la historia hablaba de la cocina de los descubrimientos, haciendo uso de papeles de trabajo, correspondencia, y por que no completando los huecos con un poco de especulación (no siempre declarada). Así que otra cosa es lo que publicaron los científicos en su época, y otra muy distinta es como aparecen tales cosas en los libros actuales, donde para explicar ciertos temas se recurre, con fines didácticos o por simplicidad, a conceptos o asociaciones que no fueron echas o no estaban disponibles en la época correspondiente.

Realmente no se si el libro explicaba lo que mencionas o no me acuerdo, pero lo importante creo que era dilucidar el proceso racional que llevo a la cuantización de las magnitudes mecánicas del electrón en su órbita alrededor del átomo. La intención de dicho libro fue la desmitificación de ciertos hechos de la historia de la ciencia, tratando de desterrar la idea de científicos que se levantan a la mañana de un sueño, o tienen una epifanía o una iluminación supra-racional, donde se le revelan respuestas geniales a algunos interrogantes; y reemplazar esta por la idea del trabajo, el conocimiento, y la razon.

A partir de acá voy a explicar como yo hubiera procedido, lo que no quiere decir que Bohr hubiera hecho lo mismo.

La energía mecánica del electrón esta dado por:

$\dst E_M = E_c + E_p = \frac 1 2 \frac {L^2} {m r^2} - k \frac {e^2} r = - \frac 1 2 \frac {k e^2} r$

sale de aplicar la ley de Coulomb y las leyes de Newton (gravitación incluida)

Esta ultima podemos escribirla de dos formas teniendo en cuenta la cuantización del radio hallada en el post pasado:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
y la otra:

$\dst \frac 1 2 \frac {L^2} {m r^2} = k \frac {e^2} r - \frac 1 2 \frac {k e^2} r = \frac 1 2 \frac {k e^2} r$

despejando L:

$\dst L = \sqrt {k e^2 m r}$

teniendo en cuenta la cuantización del radio tenemos:

$\dst L_n = \sqrt{k e^2 m n^2 r_0} \quad \forall \ n \ \in \ [1 ; \infty [$

$$\dst L_n = n \sqrt{k e^2 m r_0} \quad \forall \ n \ \in \ [1 ; \infty [$$

El valor de $\dst \sqrt{k e^2 m r_0}$ se puede evaluar, conociendo el radio $r_0$ que en el post anterior demostramos que se puede hallar a partir de la constante $R_H$; y de esta forma si fuera un científico con memoria eidética me daría cuenta que dicho valor es aproximadamente igual a $\hbar$.

Posiblemente si tuviera que publicar un articulo sobre esto, lo mas elegante sería partir de un puñado de postulados y en base a ellos construir una teoría, con la cual finalmente pueda deducir con presición una constante hallada experimentalmente (como $R_H$).

s.e.u.o.

Suerte

[arivasm]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Arisvam: dices que la cuantización del momento angular aparece deducida en ese artículo ¿donde? Yo no lo veo por ninguna parte.

La tienes en la "página" 15:

If we therefore assume that the orbit of the electron in the stationary states is circular, the result of the calculation on p. 5 can be expressed by the simple condition : that the angular momentum of the electron round the nucleus in a stationary state of the system is equal to an entire multiple of a universal value, independent of the charge on the nucleus. The possible importance of the angular momentum in the discussion of atomic systems in relation to Planck's theory is emphasized by Nicholson.*

[visitante20160513]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

Pues no dudo de lo que dices, Breogan, pero me gustaría ver en detalle y sin interferencias el cálculo preciso que acaba deduciendo la ecuación referida, ya que hasta ahora no lo has mostrado:

$2\pi rmv=nh$

Casi lo mismo para arisvam. Disculpa pero es que solo hablo inglés en la intimidad porque estoy perfeccionándolo.

La deducción de una ecuación tan importante como esa, debería venir reflejada de una forma clara y precisa en todos los textos que hablan del modelo y la verdad es que se echa de menos una demostración clara y precisa (si es posible deducirla de trabajos anteriores), con toda clase de detalles, no una modesta referencia mediante un párrafo de cuatro líneas de texto en la página 15 de un documento. No es lo mismo deducirla que plantearla como un postulado. A mí siempre se me ha dicho y también he leído en todas partes que dicha ecuación fue planteada como un postulado del modelo y no que fuera deducida de otros trabajos previos, ahora bien, si dicha condición es posible deducirla de otros trabajos previos, entonces el modelo pasa a tener otra consideración muy distinta, al menos para mi.

Salu2, Jabato.

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: De dónde sacó Bohr sus hipótesis sobre el átomo¿?

He encontrado un pdf en el que se puede leer con mucha más comodidad el artículo de Bohr: www.nba.nbi.dk/pdffiles/trilogy.pdf

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La traducción (bien, en realidad, mi traducción -seguro que mejorable-) de los párrafos que aparecen en la página 15 del artículo es ésta:

Aunque obviamente no puede haber duda sobre los fundamentos mecánicos de los cálculos presentados en este artículo es posible dar una interpretación muy simple para el resultado del cálculo en la página 5 mediante símbolos tomados de la mecánica ordinaria. Denotando por $M$ el momento angular del electrón alrededor del núcleo, tenemos inmediatamente que para una órbita circular $\dst \pi M=\frac{T}{\omega}$, donde $\omega$ es la frecuencia de revolución y $T$ la energía cinética del electrón; para una órbita circular tenemos además que $T=W$ (véase la página 3) y de (2), en la página 5, tenemos en consecuencia

$M=\tau M_0$

donde

$\dst M_0=\frac{h}{2\pi}=\notcien{1.04}{-27}$

Si, por tanto, suponemos que la órbita del electrón es circular en los estados estacionarios, la consecuencia del cálculo en la página 5 puede expresarse mediante esta simple condición: que el momento angular del electrón alrededor del núcleo en un estado estacionario es igual a un múltiplo entero de un valor universal, independiente de la carga del núcleo. La posible importancia del momento angular en la discusión de los sistemas atómicos con relación a la teoría de Planck ha sido destacada por Nicholson.

Como vemos, no es una hipótesis del modelo, sino una consecuencia. Como dice Breogán, con el tiempo acabó por convertirse en hipótesis, en lugar de la cuantización de las energías orbitales. En particular, ésta aparece en el último párrafo de la página 4:

Supongamos ahora que durante el enlazado del electrón se emite una radiación homogénea de frecuencia $\nu$, igual a la mitad de la frecuencia de revolución del electrón en su órbita final; entonces, por la teoría de Planck cabe esperar que la cantidad de energía emitida en el proceso sea igual a $\tau h\nu$, donde $h$ es la constante de Planck y $\tau$ un número entero.

Por supuesto, las razones para esa transformación son simplemente didácticas: la consecuencia es más fácil de explicar que la hipótesis original. Algo que por cierto es muy común en la didáctica de la Física. Por ejemplo, cualquiera que se anime a leer los Principia de Newton enseguida descubre que las leyes de la dinámica han acabado por poseer una formulación mucho más nítida que la que usó el propio Newton, por no mencionar ya las argumentaciones que éste hace en favor de las mismas o de sus consecuencias.