Otras carreras Condición de que la onda "se comporte bien"

[alexpglez]

Me podéis explicar qué es esa condición de que la onda se comporte bien. Dada una ecuación diferencial, por ejemplo la de Legendre, expandiéndola en una serie de potencias, sale que la función es una que tiene infinitos polinomios, en cambio he leído que para que la onda se pueda normalizar y "se comporte bien" se impone la condición de que cierto parámetro sea reestringido. En caso de los polinomios de Legendre, queda en la fórmula de recurrencia un factor:

$$n(n+1)-\alpha$$

Y para que alguna vez se haga 0 el coeficiente enésimo del polinomio se impone la famosa condición de que $\alpha=l(l+1)$, dónde l pertenece a los enteros.
Yo me pregunto que la condición de que "se comporte bien" nos da ese resultado, pero la ecuación de Schrödinger permite todos los demás resultados en donde el parámetro no esté restringido, lo que me lleva a dudar de si la solución encontrada en el parámetro alpha es correcta o incorrecta... Quiero decir, por qué no podría haber ondas que no cumpliesen que $\alpha=l(l+1)$¿?

Un saludo

[carroza]

Re: Condición de que la onda "se comporte bien"

Hola.

Buena pregunta. Supon que no se cumple que $\alpha = n(n+1)$, e intenta resolver la ecuación, aunque sea numéricamente. Te dará algo que crece exponencialmente, conforme aumenta la distancia. Esto, efectivamente, es una solución de la ecuación de Schrodinger, pero no corresponde al sistema físico que esperas, en el cual el electrón está confinado a estar, con mayor probabilidad cerca del núcleo.

Por tanto, hay soluciones de las ecuaciones que no tienen "sentido físico", ya que no representan lo que uno quiere describir. Sin embargo, con frecuencia, esas soluciones, sin "sentido físico", son muy útiles para describir ciertos fenómenos, como, por ejemplo, las resonancias.

Un saludo

[alexpglez]

Re: Condición de que la onda "se comporte bien"

Y eso de resonancia qué significa¿? que pueden existir soluciones que no se cumplen por ejemplo la condición $\alpha=n(n+1)$ pero que serían inestables¿?

[carroza]

Re: Condición de que la onda "se comporte bien"

Resonancias son soluciones de la ecuación de Schrodinger, que corresponden a energías complejas (Con su parte real e imaginaria), y que, en módulo, crecen exponencialmente. Estas soluciones no corresponden a estados estacionarios al uso, pero se manifiestan como estructuras (máximos localizados) en la probabilidad de dispersión de electrones por iones (si hablamos de resonancias en átomos).

Saludos