Divulgación Incertidumbre del tiempo

[alexpglez]

Hola, tenía algunas dudas de cómo calcular la incertidumbre (o mejor dicho, desviación típica) del tiempo.
Tenemos una función de onda ya normalizada $\phi$, para calcular la media una determinada magnitud A, sería:

$$<A>=<\phi \mid \hat A \phi> =\int \phi ^\ast \hat A \phi d^3 x$$

La media cuadrática:

$$<A^2>=<\phi \mid \hat A^2 \phi> =\int \phi ^\ast \hat A^2 \phi d^3 x$$

Y la desviación típica:

$$\sqrt{<A^2>-<A>^2}$$

Pero cuando A es el tiempo:

$$<t>=<\phi \mid \hat t \phi> =\int \phi ^\ast t \phi d^3 x=t$$

$$<t^2>=<\phi \mid \hat t^2 \phi> =\int \phi ^\ast t^2 \phi d^3 x=t^2$$

$$\sqrt{<t^2>-<t>^2}=0$$

Puesto que la coordenada temporal no está involucrada en la integración. Pero no entiendo el resultado, matemáticamente calculando la desviación típica en la energía, no tiene por qué salir infinito, lo que estaría violando el principio de incertidumbre... Entonces, que detalle se me escapa en el cálculo¿?

Un saludo, gracias

[Weip]

Re: Incertidumbre del tiempo

$$<t>=<\phi \mid \hat t \phi>$$

$$<t^2>=<\phi \mid \hat t^2 \phi>$$

El tiempo no tiene operador asociado, es un parámetro. $\hat{t}$ no existe.

[alexpglez]

Re: Incertidumbre del tiempo

El tiempo no tiene operador asociado, es un parámetro. $\hat{t}$ no existe.

Hola, por lo que he leído yo, la posición en algunos textos lo designa $\hat x=x$, o sea que el operador es la misma magnitud, supongo que con el tiempo será igual, $\hat t=t$, no sé si está bien designado así.
Lo que preguntaba era cómo se calculaba la media, la desviación media, al igual que en cualquier otra magnitud, en el tiempo.

[gdonoso94]

Re: Incertidumbre del tiempo

Estrictamente como lo has escrito. Sin embargo no existe un operador tiempo, que yo conozca, por tanto analíticamente no vas a poder calcular nada. Tendrás que obtener esa desviación a partir de experimentos.

También me gustaría añadir que no todas las cosas que tengan un gorrito encima implica que sea un operador. En el caso del operador posición coincide. Sin embargo, el operador momento

$\dst \hat{P}=i\hbar \vec{\nabla}$,

por ejemplo, no tiene un parecido razonable.

Saludos.

[Weip]

Re: Incertidumbre del tiempo

Hola, por lo que he leído yo, la posición en algunos textos lo designa $\hat x=x$, o sea que el operador es la misma magnitud, supongo que con el tiempo será igual, $\hat t=t$, no sé si está bien designado así.

A parte de lo que ha dicho gdonoso94, si defines un operador asociado al tiempo de acuerdo con los postulados de la teoría entonces te encuentras con problemas insalvables y muy graves. Por ejemplo, existiría una probabilidad no nula de que el tiempo fuera hacia atrás.

Lo que preguntaba era cómo se calculaba la media, la desviación media, al igual que en cualquier otra magnitud, en el tiempo.

Aquí te dejo un documento que habla tanto de lo que pides como de los problemas de la existencia del operador de tiempo de forma más detallada.

Espero haberte ayudado.

[alexpglez]

Re: Incertidumbre del tiempo

A vale, ya me aclaro, aunque se puede tratar el tiempo como si fuera un operador, para sacar la ecuación de Born para la energía - tiempo, y con ello la ecuación de incertidumbre, directamente no tiene sentido tratar a t como un operador.

[carroza]

Re: Incertidumbre del tiempo

Hola.

Un pequeño apunte: Si tengo un espacio de Hilbert, definido por funciones $\phi(x,t)$, nadie me impide definir un operador "T" tal que

$T \phi(x,t) = t \phi(x,t)$

Y nadie me quita que pueda llamar a "T" operador tiempo.

Si mis funciones $\phi(x,t)$ están normalizadas con respecto al tiempo, lo cual quiere decir que el suceso que quiera definir (por ejemplo, el que la partícula pase por el punto x en un instante t), tiene probabilidad 1 de ocurrir en algún instante, entonces se cumple que

$\int dt |\phi(x,t)|^2 = 1$.

El valor esperado del operador T, en el estado $\phi(x,t)$, es:

$\langle T \rangle = \int dt |\phi(x,t)|^2 t$.

El valor esperado del operador T^2, en el estado $\phi(x,t)$, es:

$\langle T^2 \rangle = \int dt |\phi(x,t)|^2 t^2$.

En general
$\langle T^2 \rangle > \langle T \rangle^2$
con lo que podemos hablar de una incertidumbre en el tiempo.

Si tenemos un estado con energía definida $e$, su dependencia temporal es $\phi(x,t) = \phi_e(x) e^{i e t/ \hbar}$, con lo que la incertidumbre en el tiempo es infinita.

Un saludo

[Weip]

Re: Incertidumbre del tiempo

Hola.

Un pequeño apunte: Si tengo un espacio de Hilbert, definido por funciones $\phi(x,t)$, nadie me impide definir un operador "T" tal que

$T \phi(x,t) = t \phi(x,t)$

Y nadie me quita que pueda llamar a "T" operador tiempo.

Es cierto, igual me he explicado mal. Matemáticamente no hay problemas en definir un operador de tiempo. La cosa está en que ese operador difícilmente se corresponde con la realidad física.

Pongo un ejemplo. Yo podría definir en física clásica una función que puede tener valores imaginarios e infinitos. Esto lo puedo hacer y llamar a esa función "energía". Incluso tiene algunas propiedades comunes con la energía habitual. Aún así, creo que todo el mundo estaría de acuerdo que en la realidad la energía no es así. Pues este es un caso parecido: definiendo ese operador puedes calcular algunas cosas de forma correcta, pero muchas otras se desmadran.

[alexpglez]

Re: Incertidumbre del tiempo

Y, una duda más. Sobre integrarla función de onda con respecto al tiempo. ¿Qué quiere decir?
Quiero decir para normalizar una función de onda, se usa la integral.

$$\int \phi^{\ast}\phi d^3 x$$

¿Pero qué significa más precisamente la expresión?:

$$\int \phi^{\ast}\phi d^4 x$$

Además la primera expresión, no trata igual al espacio y al tiempo, excluye el último de la integral. En cambio el último si lo incluye. En un libro de dvulgación, como ejemplo para ilustrar lo que en realidad ilustraban los diagramas de Feynman, incluyó uno y la integral que se derivaba de él, supongo que sería la probabilidad asociada a ese suceso, eso ya no lo sé, el caso es que venía un 4, no un 3.

Gracias.