Divulgación Momento o momento conjugado¿?

[alexpglez]

Hola, me preguntaba si el momento de una partícula:

$$p=\frac{h}{\lambda}$$

Representa el momento o momento conjugado¿?.
El único argumento que he podido encontrar, es que si mediante la introducción de los postulados de De Broglie y Planck, la exponencial de la función de onda pasa a ser proporcional a la acción.. Por lo que parece el momento conjugado, que en ausencia de potenciales dependientes de la velocidad, sea igual que el momento, en coordenadas cartesianas. Pero hay alguna otra evidencia tanto experimental (experimental me refiero que explícitamente se haya buscado el objetivo de encontrar qué momento es) como teórica¿?

Y a todo esto... como sé que la energía:

$$E=h \nu$$

Sea la energía total (cinética + en reposo + potencial), y no la energía cinética, o la energía en reposo + la cinética, o la energía cinética + la potencial.¿? (refiriéndome a si hay más evidencias, a parte de que el exponente sea proporcional a la acción)

Un saludo, gracias.

[Weip]

Re: Momento o momento conjugado¿?

¡Hola!

Hola, me preguntaba si el momento de una partícula:

$$p=\frac{h}{\lambda}$$

Representa el momento o momento conjugado¿?.

Tu mismo te has contestado:

Por lo que parece el momento conjugado, que en ausencia de potenciales dependientes de la velocidad, sea igual que el momento, en coordenadas cartesianas.

Pero hay alguna otra evidencia tanto experimental (experimental me refiero que explícitamente se haya buscado el objetivo de encontrar qué momento es) como teórica¿?

No hay confusión posible entre los momentos. Evidencia experimental, en todos los experimentos en los que se mida el momento. Evidencia teórica, la definición. Parece que te has liado en alguna parte pero no acabas de decir dónde.

Y a todo esto... como sé que la energía:

$$E=h \nu$$

Sea la energía total (cinética + en reposo + potencial), y no la energía cinética, o la energía en reposo + la cinética, o la energía cinética + la potencial.¿? (refiriéndome a si hay más evidencias, a parte de que el exponente sea proporcional a la acción)

Esa es la energía del fotón. En este caso es cinética. Energía en reposo no es porque un fotón no puede estar en reposo. Energía potencial tampoco porque el fotón no siente la gravedad ni en la gravedad de Newton ni en la gravedad cuántica no relativista. Además no tiene carga eléctrica. Eso sí, ignoro si en Relatividad General pasa algo para que esto no sea así. Se supone que la frecuencia del fotón va cambiando si hay gravedad presente pero no sé si eso corresponde a un cambio en su energía potencial o no (cinética imagino que sí porque depende de la frecuencia). Pero lo dicho, de esto último ni idea.

Espero haberte ayudado.

[alexpglez]

Re: Momento o momento conjugado¿?

No me refería exactamente a eso:
Supongamos que tenemos una partícula en un campo electromagnético:

$$L=-mc^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-q\phi+q\vec v \cdot \vec A$$

El momento conjugado es, (eligiendo coordenadas cartesianas):

$$p_i= \gamma m v_i + q A_i$$

La Hamiltoniana:

$$H= \vec v \cdot \vec p -L= \vec v \cdot ( \gamma m \vec v + q \vec A) + \gamma ^{-1} mc^2 + q\phi -q \vec v \cdot \vec A=\gamma m v^2 + \gamma ^{-1} mc^2 + q\phi=$$

$$\gamma m (v^2 + (1-\frac{v^2}{c^2}) c^2) +q \phi=\gamma m c^2 + q \phi$$

Cómo:

$$T=\gamma mc^2=c\sqrt{(\gamma m v)^2+m^2c^2}=c\sqrt{(\vec p - q \vec A)^2+m^2c^2}$$

$$H=c\sqrt{(\vec p - q \vec A)^2+m^2c^2} + q \phi$$

$$(\frac{H}{c}-q\frac{\phi}{c})^2 - (\vec p - q \vec A)^2=(p_{\mu}-qA_{\mu})(p^{\mu}-qA^{\mu})=m^2c^2$$

$$(p_{\mu}-qA_{\mu})(p^{\mu}-qA^{\mu})-m^2c^2=0$$

Que, sustituyendo:

$$\hat p^{\mu}=i\hbar \partial^{\mu}$$

$$[(i\hbar \partial_{\mu}-qA_{\mu})(i\hbar \partial^{\mu}-qA^{\mu})-m^2c^2] \Psi=0$$

Que creo que es ésta la ecuación de klein-gordon con una partícula en campo electromagnético. (¿?)

Pero si $p^{\mu}$ No indicase el momento conjugado ni la energía (total + potencial), si no sólo el momento y la energía (cinética + en reposo), la ecuación siempre sería:

$$[-\hbar^2 \partial_{\mu}\partial^{\mu}-m^2c^2] \Psi=0$$

Por eso lo preguntaba.

[Weip]

Re: Momento o momento conjugado¿?

No me refería exactamente a eso:

Lo imaginaba, ya decía yo que te habías liado haciendo otra cosa.

Que creo que es ésta la ecuación de klein-gordon con una partícula en campo electromagnético. (¿?)

Si no recuerdo mal sí, es esa.

Pero si $p^{\mu}$ No indicase el momento conjugado ni la energía (total + potencial), si no sólo el momento y la energía (cinética + en reposo), la ecuación siempre sería:

$$[-\hbar^2 \partial_{\mu}\partial^{\mu}-m^2c^2] \Psi=0$$

Esa ecuación sería si no hubiera carga. Piensa que la ecuación de Klein Gordon sale de cuantizar $E^2=p^2 c^2+m^2 c^4$. Aquí la energía viene del reposo y de la cinética. No hay ninguna partícula cargada. Ahora bien, si tu la introduces, llegas a la ecuación de Klein-Gordon modificada tal como has hecho. Ningún problema, está bien.

[alexpglez]

Re: Momento o momento conjugado¿?

Vale, ya me ha quedado claro. Pero creo que sigues sin entender qué preguntaba.

$$\hat p^{\mu}=i\hbar \partial^{\mu}$$

Preguntaba si este operador momento se identificaba con (momento conjugado y hamiltoniana):

$$p^{0}=H=\sum_j \dot q_j \frac{\partial L}{\partial \dot q_j} -L= T+V, \;\;\; p^{i}= \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}$$

Ó con (momento y energía):

$$p^{\mu}=(\frac{T}{c} ; \vec p)=(\gamma mc ; \gamma m \vec v)$$

Pero parece claro que tiene que ser necesariamente con el primero.

[Weip]

Re: Momento o momento conjugado¿?

Ó con (momento y energía):

$$p^{\mu}=(\frac{T}{c} ; \vec p)=(\gamma mc ; \gamma m \vec v)$$

Ostras, pensaba que cuando decías "momento y energía" pues te referías al momento lineal y a la energía, no al cuadrimomento. Es que a veces te expresas de forma que no te entiendo jajaja. En cuanto al operador por el que preguntas, según el proceso que has hecho es el cuadrimomento (si no habrían operaciones que has hecho y que no son válidas).

[alexpglez]

Re: Momento o momento conjugado¿?

Vale, me queda claro entonces que el operador cuadrimomento se identifica con la hamiltoniana (dividido por c) y el momento conjugado. Lo que ppreguntaba al principio del hilo, es que pruebas directas había de que fuese así¿?, (y no se identificase con $(\gamma mc;\gamma m \vec v)$)

[Weip]

Re: Momento o momento conjugado¿?

Lo que ppreguntaba al principio del hilo, es que pruebas directas había de que fuese así¿?, (y no se identificase con $(\gamma mc;\gamma m \vec v)$)

Lo de las pruebas experimentales/teóricas, no acabo de entender a qué te refieres. No hay nada que se pueda confundir, todo está bien definido. Si te refieres a qué energía has de poner, pues depende del problema. Si tienes luz no vas a poner como primera componente $\gamma m c$, por decir algún ejemplo. Has de poner la total. No sé si es esto lo que preguntabas.