Divulgación ¿Cómo obtuvo Dirac sus matrices gamma? ¿Cómo obtenerlas?

[alexpglez]

Hola, bueno, preguntaba eso mismo, ¿Cómo se obtienen?
Se que lo que hizo fue:

$$m^2c^2=p_{\mu}p^{\mu}=\frac{E^2}{c^2}-p^2=(\gamma_{\mu} p^{\mu})^2$$

Por lo que se debe de cumplir entonces que:

$$\gamma_{0} \gamma^{0}=1$$

$$\gamma_{i} \gamma^{i}=-1$$

(Sin sumarse) Siendo $i=1,2,3$. Y siendo $\mu \neq \nu$

$$\gamma_{\mu} \gamma^{\nu}=0$$

Pero a partir de esas condiciones, no sé como seguir para determinar las matrices, mis conocimientos de álgebra lineal tampoco son demasiados... Si podéis explicarme cómo llegar a las matrices o si sabéis de algún enlace en donde lo explique y sea fácil de entender.
Y otra duda, cómo suele hacerse para automatizar uno las matrices gamma, u otras matrices importantes, y aprenderselas¿? (Lo digo porque creo que me está resultanto complicado quedarme con ellas..)

Un saludo, gracias.

[Weip]

Re: ¿Cómo obtuvo Dirac sus matrices gamma? ¿Cómo obtenerlas?

No tienen una representación única. Puedes escoger las que quieras mientras cumplan las condiciones que toquen. Por motivos prácticos se escogen las más simples. Aquí las tienes.

En cuanto a aprender matrices de memoria, depende. Si es una o dos matrices, con la práctica, escribiéndolas muchas veces. Si son 20, pues no te las aprendes y ya está. Formulario en mano y al examen.

[sater]

Re: ¿Cómo obtuvo Dirac sus matrices gamma? ¿Cómo obtenerlas?

Dudas personales mías que no vienen a cuento: si ambos estudiáis unas cosas distintas a lo que soléis comentar por aquí, de dónde sacáis el tiempo para aprender las cosas que luego habláis por aqui? xD yo por más que busco tiempo para hacer las cosas que me apetecen no lo encuentro

[Weip]

Re: ¿Cómo obtuvo Dirac sus matrices gamma? ¿Cómo obtenerlas?

Dudas personales mías que no vienen a cuento: si ambos estudiáis unas cosas distintas a lo que soléis comentar por aquí, de dónde sacáis el tiempo para aprender las cosas que luego habláis por aqui? xD yo por más que busco tiempo para hacer las cosas que me apetecen no lo encuentro

Seré raro pero como no veo la tele pues de ahí saco el tiempo. No sé, me paso el día estudiando y a la tarde-noche a veces miro estas cosas. Aunque este semestre mucho menos que los anteriores.

[sater]

Re: ¿Cómo obtuvo Dirac sus matrices gamma? ¿Cómo obtenerlas?

¿Tú estabas en segundo de Matemáticas, verdad? Puf yo este año en mi uni era el más dificil y he ido demasiado apretado.

[alexpglez]

Re: ¿Cómo obtuvo Dirac sus matrices gamma? ¿Cómo obtenerlas?

Gracias por los enlaces, ahora pregunto si no entiendo algo.

Dudas personales mías que no vienen a cuento: si ambos estudiáis unas cosas distintas a lo que soléis comentar por aquí, de dónde sacáis el tiempo para aprender las cosas que luego habláis por aqui? xD yo por más que busco tiempo para hacer las cosas que me apetecen no lo encuentro

Pues yo tampoco entiendo la verdad de dónde saco el tiempo. Puede que sea suerte de que se me de bien más o menos las asignaturas de mi instituto, y tenga que estudiar menos que los demás de mi clase (estoy en 1º de bachillerato), pero en algunos exámenes más de memorizar texto y palabras si que estoy menos o nada por aquí. Sé que es muy raro que alguien de 1º de bach se mire estas cosas por su cuenta.. Pero bueno, también me he dejado muchos capítulos apartados anteriores de termodinámica o electromagnetismo sin mirar, ni practicar demasiado..

Vale, creo que me equivoqué al principio. Las multiplicaciones de matrices no son subíndices abajo * subíndices arriba. Son arriba arriba o abajo abajo. Y la condición de que la multplicación de matrices distintas de 0, es mentira, es la suma, o sea:

$$\gamma ^{\mu}\gamma^ {\nu}+\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}=0 \;\;\; \mu \neq \nu$$

Por lo que, como una matriz por sigo misma debe dar 1, en caso de la 0, y -1 en caso de 1,2,3. Y ya que la métrica da estas características, se saca que:

$$\gamma ^{\mu}\gamma^ {\nu}+\gamma^{\nu}\gamma^{\mu}=2g^{\mu \nu} \otimes I_4$$

[Weip]

Re: ¿Cómo obtuvo Dirac sus matrices gamma? ¿Cómo obtenerlas?

¿Tú estabas en segundo de Matemáticas, verdad? Puf yo este año en mi uni era el más dificil y he ido demasiado apretado.

Sí, segundo. Yo también voy apretado, pero bueno, me encanta.

Vale, creo que me equivoqué al principio.

Me disculpo porque no lo leí. Supuse que habrías copiado las expresiones de algún sitio, y sin mirármelo fui directamente a la pregunta.