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[mrmgranada]

Tengo una duda sencilla: En el Hamiltoniano de un fotón, ¿sólo se considera la energía cinética? Porque si no tiene carga eléctrica ni masa no tendrá potencial gravitatorio ni eléctrico, ¿no?




Muchas gracias a todos

[pod]

Re: Hamiltoniano para un fotón

Tengo una duda sencilla: En el Hamiltoniano de un fotón, ¿sólo se considera la energía cinética? Porque si no tiene carga eléctrica ni masa no tendrá potencial gravitatorio ni eléctrico, ¿no?

En el caso de teorías relativistas se utiliza más el lagrangiano, ya que el hamiltoniano no es invariante Lorentz. El lagrangiano de la electrodinámica cuántica es el siguiente:

$$\mathcal L = \bar \psi \Big( i \gamma^\mu (\partial_\mu + i e A_\mu) - m \Big) \psi - \frac14 F_{\mu\nu} F_{\mu\nu} \ , \qquad F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu .$$

Esto es una teoría cuántica de campos, y por lo tanto es un lagrangiano de campos. El fotón aparece como excitación del campo $A_\mu$ (que es el cuadripotencial, una especie de generalización del potencial eléctrico y el potencial vector). Como ves, $A_\mu$ aparece en dos sitios: al lado de la derivada y dentro de las F.

El término de la derivada es lineal en A, y aparece multiplicado a $\psi$ y su adjunto (éste es el campo que describe un fermión con carga, por ejemplo un electrón). Esto nos da la interacción de los fotones con las partículas cargadas.

El término de las F es cuadrático en derivadas, y por lo tanto (en efecto) se puede interpretar como una especie de energía cinética.

[carroza]

Re: Hamiltoniano para un fotón

Hola.

Completando la respuesta de Pod, $\cal L$ es estrictamente una densidad lagrangiana. Su integral para todo el espacio daría la lagrangiana $L$, y la transformación habitual $H = p \dot q -L$ daría el hamiltoniano.

La densidad lagrangiana del campo electromagnético, en presencia de una densidad de corriente eléctrica $j_\mu$ (que incluye cargas estáticas y en movimiento) es

${\cal L} = \j_\mu A^\mu - 1/4 F_{\mu\nu} F^{\mu \nu}$

El campo electromagnético $A^\mu$, que describe al fotón, no es que no sienta un potencial electrico, es que es el potencial eléctrico. Estrictamente, es el cuadripotencial, que tiene como componentes el potencial escalar (el potencial eléctrico V), y el potencial vector.

Con respecto al potencial gravitatorio, aunque el fotón no tenga masa (en reposo), el campo electromagnético (que puede describirse como un número indeterminado de fotones) tiene energía, dada por la expresión

$E = \int d^3 \vec r {1 \over 2} (\vec E^2 + \vec B^2)$,


Donde el campo eléctrico $\vec E$ y el campo magnético $\vec B$ son ciertas derivadas del cuadripotencial $A^\mu$.
El campo electromagnético tiene inercia, siente la interacción gravitatoria y produce atracción gravitatoria, exactamente igual que una masa M=E/c^2.


Así que la respuesta a tu pregunta es que el fotón no tiene potencial eléctrico. En cierto modo, es el potencial eléctrico.

Y, como cualquier cosa que tenga energía, genera y siente el potencial gravitatorio.

Saludos

Ps: Pod, corrige tu $\partial_mu$, que debe ser $\partial_\mu$

[alexpglez]

Re: Hamiltoniano para un fotón

¿Puedo preguntar yo, de dónde se deducen esas densidades lagrangianas? (o si eso en abro otro hilo). Es cierto que conducen a la ecuación, pero de dónde se deducen, cómo sé que si se obtiene la densidad hamiltoniana, es equivalente además a la densidad energética¿?
Un saludo, gracias.

[pod]

Re: Hamiltoniano para un fotón

¿Puedo preguntar yo, de dónde se deducen esas densidades lagrangianas? (o si eso en abro otro hilo). Es cierto que conducen a la ecuación, pero de dónde se deducen, cómo sé que si se obtiene la densidad hamiltoniana, es equivalente además a la densidad energética¿?
Un saludo, gracias.

Probablemente está suficientemente relacionado para mantenerlo en el hilo...

Carroza lo explicará mucho mejor, pero básicamente se debe a la invariancia Gauge. Se parte del término cinético del fermión (más su término de masa, si tiene masa intrínseca), y se añade la condición de que debe ser invariante ante una transformación gauge. Una transformación gauge se diferencia de una transformación normal (global) en que la transformación aplicada en cada punto del espacio-tiempo puede ser diferente. Se diferencia, por ejemplo, de una rotación rígida o una translación, donde la transformación aplicada es global. La invariancia gauge es muy limitante, en el sentido de que casi cualquier cosa que pongas en el lagrangiano no será invariante gauge. La única forma de convertir el término cinemático del fermión en algo que sí sea invariante es añadir ese término lineal en $A_\mu$.

El término de las F's es puramente clásico. En electrodinámica clásica, ese es el lagrangiano que permite obtener las ecuaciones de Maxwell.

[alexpglez]

Re: Hamiltoniano para un fotón

Hola, gracias, aunque bueno si digo la verdad no he entendido demasiado. Tenía varias dudas sobre lo que comentabas:
¿Qué es el Gauge y la invarianza Gauge? He leído algo acerca de ello, (justo me he dado cuenta de que wikipedia un resumía esta cita de la web de física): "estos potenciales presentan cierta libertad a la hora de escogerlos lo que les hace poseer una importante característica: una simetría gauge. En efecto, si tomamos un campo escalar y redifinimos los potenciales como y obtenemos el mismo campo electromagnético". (Ahora vuelvo a editar, pero creo que ya sé a dónde se llega a parar con esto).

Sobre el Lagrangiano, sé que la parte de la derecha viene de la ecuación de Dirac sólo que con el campo electromagnético actuando, sé que la ecuación es deducible partiendo de la expresión del Hamiltoniano relativista para una partícula cargada (y aplicando los operadores momento y energía). No me había fijado en lo que mencionas. De todas formas pregunto partiendo del hecho de que ni siquiera sé como deducir el lagrangiano ni de la ecuación de Schrödinger ni de Klein-Gordon.
Sí, el término F es clásico. Pero tampoco conozco su deducción.. En un libro que leí, venía la deducción partiendo del hecho de buscar una lagrangiana para el campo electromagnético que diese esas ecuaciones. Pero no sé si realmente se puede llamar deducción, si es que hay algo por detrás. Me refiero a lo mismo, cómo sé que la integral de la densidad hamiltoniana proveniente de esa lagrangiana da la energía¿?
Y hay otra pregunta que tengo es que también he visto que:

$$j_{\mu}A^{\mu}=-q\phi^{t} \gamma_{\mu} A^{\mu} \phi$$

El primer miembro forma parte del lagrangiano clásico electromagnético, y el segundo de la ecuación de Dirac en un campo electromagnético..
Por qué de esta relación¿?

Un saludo, gracias.

[carroza]

Re: Hamiltoniano para un fotón

Hola.

Nos pides que te expliquemos de donde sale la electrodinámica cuántica,y tu nivel es secundaria... Bueno, aceptamos el reto.

Una transformación gauge es un cierto cambio de todos los campos que hay en la naturaleza, asociado a un grupo de simetría. En el caso de la QED, el grupo es U(1) (el más simple posible), que corresponde a cambios de fase de los campos de los fermiones.

Basicamente, esto implica que todos los campos de los fermiones que ponía Pod cambian según
$\psi \to \psi e^{- i e \Lambda(x)} \quad ; \bar \psi \to \bar\psi e^{i e \Lambda(x)}$

Donde $\Lambda(x)$ es una función arbitraria de la posicion y el tiempo.

Ahora, exigimos que el lagrangiano que describe a los fermiones sea invariante frente a estas transformaciones. Esta es una exigencia brutal, ya que $\Lambda(x)$ varía de forma totalmente arbitraria.

Encontramos que el lagrangiano que describe los fermiones libres, que es,

${\cal L}_0 = \bar \psi ( i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi$

No es invariante. Esto se debe a que cuando hago las derivadas $\partial_\mu$ de la exponencial $e^{-i e \Lambda(x)}$, me sale un término de tipo

$i \bar \psi \gamma^\mu \psi (-i e \partial_\mu \Lambda(x))$

que no está en ${\cal L}_0$.

¿Que puedo hacer? O me conformo con que la naturaleza no tiene esa propiedad de simetría U(1), o me invento un campo, dado por un cuadrivector llamado $A_\mu$, que se transforma frente a las transformaciones Gauge de forma

$A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \Lambda(x)$.

Esto te debe sonar, porque es la misma invariancia gauge que tiene el electromagnetosmo clásico, por el cual podemos cambiar el potencial escalar y el potencial vector del campo electromagnético, añadiendoles, respectivamente, la derivada temporal y el gradiente de una función arbitraria.

Ahora, la densidad lagrangiana que describe a los campos de fermiones y al nuevo campo, viene dada por

${\cal L} = \bar \psi ( i \gamma^\mu (\partial_\mu + i e A_\mu) - m) \psi$

y si puede verse que es invariante gauge (si no me he equivocado en algun signo).

El paso siguiente es que, si $A_\mu$ es un campo como Dios manda, y no un truco matemático, debe tener su propia densidad lagrangiana. La densidad lagrangiana debe ser, en general, una combinación de los campos y sus derivadas, que sea invariante de Lorentz. Además, queremos que, aunque $A_\mu$ cambie en las transformaciones Gauge, su densidad lagranciana no cambie.

La única forma de lograr esto (o, el menos, la más simple) es que la densidad lagrangiana del campo $A_\mu$ sea

${\cal L}_A = c F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$

donde $F_{\mu \nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$, es obviamente invariante frente a transformaciones gauge.

c es una constante, y podemos siempre elegir la normalización de los campos $A_\mu$ para que c = -1/4.

Con esto tienes el lagrangiano de la QED; en el límite clásico, tienes el lagrangiano de las interacciones de las cargas con el campo electromagnético. Aplicando las ecuaciones de Euler Lagrange, tienes las ecuaciones de Maxwell, y de ello, sale la luz.


Así que, resumiendo, y parafraseando un conocido libro,

"Dios dijo: U(1), y se hizo la luz".

Saludos

[alexpglez]

Re: Hamiltoniano para un fotón

Lo de la invarianza de Gauge tiene que ver con: Si:

$$F^{\mu \nu}= \partial^{\mu} A^{\nu} -\partial^{\nu} A^{\mu}$$

Al hacer un cambio: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Con que un cambio de ese tipo en los potenciales, no altera el tensor campo, ni en consecuencia el campo magnético y eléctrico¿?

Sobre bueno, lo que has comentado, no lo entiendo del todo, pero me hago más a la idea, gracias, los lagrangianos tienen que ser por hipótesis invariantes ante ciertas transformaciones entonces, y en base a eso y que reproduzca las ecuaciones del campo aparte de que esté dimensionalmente acorde, de ahí se infieren no¿?. Sólo una duda, al deducir la constante c, por qué da -1/4¿?

Yo bueno, la ecuación de Dirac con campo electromagnético, pensé en que se podía deducir de la mecánica relativista clásica mezclado con la definición de operador momento:

$$L=-mc^2 \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} -q \phi + q\vec A \cdot \vec v$$

$$p_i=\frac{\partial L}{\partial v_i}=\gamma mv_i+ A_i$$

Luego en cartesianas:

$$\vec p=\gamma m \vec v+ q\vec A$$

$$H=\vec v \cdot \vec p - L=\gamma m v^2 +q\vec A \cdot \vec v+mc^2 \gamma ^{-1}+q \phi-q\vec A \cdot \vec v=$$

$$\gamma m c^2 (\frac{v^2}{c^2}+ (1-\frac{v^2}{c^2}) +q \phi=\gamma m c^2+q \phi$$

Como $\gamma mc^2=c\sqrt{(\gamma m \vec v)^2+m^2c^2}=c\sqrt{(\vec p-q\vec A)^2+m^2c^2}$

$$H=c\sqrt{(\vec p-q\vec A)^2+m^2c^2}+q \phi$$

$$\sqrt{(\frac{H}{c}-q\frac{\phi}{c})^2 - (\vec p-q\vec A)^2}-mc=\sqrt{(p_{\mu}-qA_{\mu})(p^{\mu}-qA^{\mu})}-mc=0$$

Cómo:

$$\sqrt{(p_{\mu}-qA_{\mu})(p^{\mu}-qA^{\mu})}=\gamma _{\mu} (p^{\mu}-qA^{\mu})$$

Y: $\hat p^{\mu}=i \hbar \partial^{\mu}$

$$\gamma _{\mu} (i \hbar \partial^{\mu}-qA^{\mu}) -mc=0$$

[carroza]

Re: Hamiltoniano para un fotón

Hola.

La simetria gauge es aplicable al electromagnetismo clásico. Es lo que te justifica que el acoplamiento de las cargas con el campo eletromagnético sea $-\rho V + \vec j \cdot \vec A$ y no de otra forma.

El factor -1/4 surge simplemente si reescalas el campo electromagnético. Realmente, depende del sistema de unidades. En el sistema internacional es $-\epsilon_0/4$. En unidades naturales $\hbar =1 , c=1$ es -1/4.

PS: Es obvio que tu nivel no es secundaria. Deberias actualizarlo, ya que facilita la discusion.

Saludos