Otras carreras Energía cinética como una integral del momento en el hamiltoniano

[mrmgranada]

En el hamiltoniano cuántico se expresa la energía cinética como $\frac{{\hat{p}}^{2}}{2m}$ con $\hat{p}=\frac{-ih}{2\pi}\nabla\Psi$ Mi pregunta es si en vez de escribirse la expresión de la energía cinética como he indicado antes, podría escribirse como $Ec=\int \hat{p} dv=\int \hat{p} \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}x } dx$



Muchas gracias.

[alexpglez]

Re: Energía cinética como una integral del momento en el hamiltoniano

Me parece que no, aunque inicialmente en mecánica clásica venga de ahí, en mecánica cuántica es una abstracción que surge para el tratamiento de ondas. Imaginemos la onda:

$$\Psi=Ae^{i(\vec k \cdot \vec r - \omega t)}=Ae^{i\frac{1}{\hbar}(\vec p \cdot \vec r - E t)}$$

En donde $\hbar=\frac{h}{2\pi}$ y hemos aplicado los postulados de De Broglie y Planck, $\vec p=\hbar \vec k$ y $E=\hbar \omega$.
Si uno aplica el operador momento o energía, extrae por las reglas de derivación lo que hay en el exponente:

$$\hat p_x \Psi= -i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial x}=-i \hbar i \frac{p_x}{\hbar} \Psi=p_x \Psi$$

$$\hat E \Psi=i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=i \hbar i \frac{-E}{\hbar}\Psi=E \Psi$$

Por eso de la definición de operador. La energía cinética sería también reeplazada por otro operador. No se tiene que dar siempre el resultado anterior. Si tenemos una cierta función de onda que no cumple lo anterior se dice que su estado no está bien definido.

PD: estaría mal tu expresión de la energía cinética, sería

$$E=\int \vec v d \vec p$$

, pero como en mecánica clásica para partículas con masa definida, m puede salir del integrando y acabar como p dv.

[mrmgranada]

Re: Energía cinética como una integral del momento en el hamiltoniano

¿Y podría expresarse la función de onda de la siguiente forma?

Aexp(i[kx-wt])=Aexp([px-Et]i2π/h)=Aexp([mλfx-Et]2πi/h)=Aexp([mλEx/h-Et]2πi/h)=Aexp([Ex/v-Et]2πi/h)

[alexpglez]

Re: Energía cinética como una integral del momento en el hamiltoniano

¿Y podría expresarse la función de onda de la siguiente forma?

Aexp(i[kx-wt])=Aexp([px-Et]i2π/h)=Aexp([mλfx-Et]2πi/h)=Aexp([mλEx/h-Et]2πi/h)=Aexp([Ex/v-Et]2πi/h)

Lo siento pero no acabo de entender que significa cada cosa, lambda y f, si por lo que creo significan factor de lorentz y frecuencia, no es correcto, ya que: $\vec p=\lambda m \vec v \neq \lambda m \nu$

[Weip]

Re: Energía cinética como una integral del momento en el hamiltoniano

Lo siento pero no acabo de entender que significa cada cosa, lambda y f, si por lo que creo significan factor de lorentz y frecuencia, no es correcto, ya que: $\vec p=\lambda m \vec v \neq \lambda m \nu$

Creo que se refiere a la velocidad de una onda: $v=\lambda f$, $\lambda$ es la longitud de onda y $f$ la frecuencia.

[alexpglez]

Re: Energía cinética como una integral del momento en el hamiltoniano

Creo que se refiere a la velocidad de una onda: $v=\lambda f$, $\lambda$ es la longitud de onda y $f$ la frecuencia.

Entonces no estaría correcto, porque la velocidad de onda no es la velocidad de la partícula.

$$v_{particula}=\frac{\partial E}{\partial p}$$

$$v_{onda}=\frac{E}{p}=\frac{h f \lambda}{h}=\lambda f$$

$$v_{particula}=\frac{\partial E}{\partial p} \neq \frac{E}{p}=v_{onda}$$

Excepto en el caso particular de la luz, $E=pc$, puesto que derivar esto da igual que dividir. Y $\vec p=m\vec v_{particula}$

[mrmgranada]

Re: Energía cinética como una integral del momento en el hamiltoniano

Entonces no estaría correcto, porque la velocidad de onda no es la velocidad de la partícula.

$$v_{particula}=\frac{\partial E}{\partial p}$$

$$v_{onda}=\frac{E}{p}=\frac{h f \lambda}{h}=\lambda f$$

$$v_{particula}=\frac{\partial E}{\partial p} \neq \frac{E}{p}=v_{onda}$$

Excepto en el caso particular de la luz, $E=pc$, puesto que derivar esto da igual que dividir. Y $\vec p=m\vec v_{particula}$

Entonces, ¿la E que has escrito en la derivada para obtener la velocidad de la partícula no puede ser E=hf? Porque hf=λpf (usando De Broglie) y su derivada respecto a p sería λf En cambio, si se toma E=c(p^2+[mc]^2)^(1/2) la derivada respecto a p sería pc/(p^2+[mc]^2)^(1/2)

[alexpglez]

Re: Energía cinética como una integral del momento en el hamiltoniano

Entonces, ¿la E que has escrito en la derivada para obtener la velocidad de la partícula no puede ser E=hf? Porque hf=λpf (usando De Broglie) y su derivada respecto a p sería λf En cambio, si se toma E=c(p^2+[mc]^2)^(1/2) la derivada respecto a p sería pc/(p^2+[mc]^2)^(1/2)

Es que para calcular tal derivada parcial, se debe indicar la energía (o hamiltoniano, he usado E para designarlo porque equivalen los dos términos aunque sólo numéricamente) en función de las coordenadas y el momento, (es por eso que creo que es preferible llamarle hamiltoniano en este caso y no energía).
Quiero decir, evidentemente ambas expresiones son equivalentes:

$$E=hf=\lambda p f=c\sqrt{m^2c^2+p^2}$$

Pero la anterior definición de velocidad como derivada, sólo es válida cuando se expresa la energía en función del momento. A esta "energía" es más apropiado llamarle hamiltoniano (precisamente porque esa es la definición de Hamiltoniano, aunque no exactamente, pero en la gran mayoría de los casos el hamiltoniano es equivalente numéricamente a la energía):

$$H=c\sqrt{m^2c^2+p^2}\;\;(=E)$$

Y por eso la derivada da lo que da, en el caso de una partícula sin masa da c y en el caso de una partícula con masa da la expresión que escribiste.

[mrmgranada]

Re: Energía cinética como una integral del momento en el hamiltoniano

Es que para calcular tal derivada parcial, se debe indicar la energía (o hamiltoniano, he usado E para designarlo porque equivalen los dos términos aunque sólo numéricamente) en función de las coordenadas y el momento, (es por eso que creo que es preferible llamarle hamiltoniano en este caso y no energía).
Quiero decir, evidentemente ambas expresiones son equivalentes:

$$E=hf=\lambda p f=c\sqrt{m^2c^2+p^2}$$

Pero la anterior definición de velocidad como derivada, sólo es válida cuando se expresa la energía en función del momento. A esta "energía" es más apropiado llamarle hamiltoniano (precisamente porque esa es la definición de Hamiltoniano, aunque no exactamente, pero en la gran mayoría de los casos el hamiltoniano es equivalente numéricamente a la energía):

$$H=c\sqrt{m^2c^2+p^2}\;\;(=E)$$

Y por eso la derivada da lo que da, en el caso de una partícula sin masa da c y en el caso de una partícula con masa da la expresión que escribiste.

Pero tomando el hamiltoniano como H=p^2 /2m+V ¿no daría un número complejo al derivar respecto a p? Lo digo porque p=-ih/2π d/dx