Divulgación Consulta sobre interpretación de la física cuantica

[inakigarber]

Buenas noches;
En un blog de física cuántica que estoy leyendo, en el apartado. La regla de multiplicación de Heisenberg he encontrado un párrafo que me tiene liado. dice asi;
"Ahora bien, puesto que por hipótesis las frecuencias del fotón luminoso que emite una partícula al caer de un estado de energía más alto a un estado de energía más bajo deben ser las mismas que las frecuencias en la descripción Fourier del movimiento, esto sugiere que algo en la descripción dependiente del tiempo de la partícula está oscilando con una frecuencia (En−Em)/h. Heisenberg identificó esta cantidad como Xnm, demandando que ésta se redujese a los coeficientes clásicos de Fourier en el límite clásico (números cuánticos grandes). Para valores grandes de n y m pero con la diferencia n − m mantenida relativamente pequeña, Xnm es el (n−m)-avo coeficiente de Fourier del movimiento clásico para una órbita n. Puesto que Xnm tiene una frecuencia opuesta a Xmn, la condición de que X sea real se convierte en:"
Estoy un tanto perdido.
Bien, obviamente, cuando un electrón salta de una órbita superior a otra inferior, emite un fotón cuya energia será la diferencia de energia de ambas órbitas, y que en función de dicha energia tendrá una frecuencia determinada. Es decir, emitirá un fotón que corresponderá a una onda senoidal de dicha frecuencia. Hasta aquí bien, pero me pierdo en lo referente la "...descripción Fourier del movimiento.." (no entiendo la relación entre el salto cuántico y la serie de fourier) asi como todo lo que continua en el párrafo. Cuanto más lo leo mas confuso lo veo. ¿puede alguien aclararme lo que dice?
Saludos y gracias.

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[Julián]

Re: Consulta sobre interpretación de la física cuantica

La verdad es que es confuso, no se que blog será pero para describir esos aspecto se desarrolló el calculo diferencial complejo y la mecánica cuántica. Pero veamos, toda función en régimen permanente puede ser expresada mediante la transformada de fourier y para las funciones periódicas, la transformada converge en valores discretos en frecuencia:

$\dst \Phi (t) = \sum_{n = -\infty}^\infty {C}_{n} {e}^{ i {\omega}_{0} n t}$

donde $\Phi(t)$ es una función periódica cualesquiera, compleja o real, por lo tanto puede describir una función de onda de un electrón. ${C}_{n}$ son los coeficientes de fourrier y ${e}^{i {\omega}_{0} n t}$ es la función base y ${\omega}_{0}$ es la frecuencia de la función.

Los coeficientes de fourier son:

$\dst {C}_{n} = {f}_{0} {\int}_{-\frac{1}{2{f}_{0}}}^{\frac{1}{2{f}_{0}}} f(t) {e}^{-i 2 \pi n {f}_{0} t} dt$ (1)

el espectro frecuencial de energía es (teorema de Parseval):

$\dst G(n) = 2 {\left\vert{} {C}_{n} \right\vert{}}^{2} = 2 ({C}_{n} {{C}_{n}}^{*})$

y la distribución espectral de energía es: (es decir, la energía total de la función)


$\dst E(n) = 2 \sum_{n = 0}^\infty {\left\vert{} {C}_{n} \right\vert{}}^{2}$

Por ende se observa en 1 que a mayor frecuencia mayor es el valor absoluto de los coeficientes y por lo tanto mayor es la energía en dicho armónico y por ende la energía de la función. ¿cuál es entonces la diferencia de energía?

$\dst {G}_{1}(n) - {G}_{2}(n) = 2 ({\left\vert{} {C}_{1} \right\vert{}}^{2} - {\left\vert{} {C}_{2} \right\vert{}}^{2})$

Por lo tanto la diferencia energético entre la funciones que describen 2 orbitales de diferente energía es:

$\dst {E}_{1} - {E}_{2} =2 (\sum_{n = 0}^\infty {\left\vert{} {C}_{1n} \right\vert{}}^{2} - \sum_{ = 0}^\infty {\left\vert{} {C}_{2n} \right\vert{}}^{2})$ $\dst = 2 (\sum_{n = 0}^\infty ({\left\vert{} {C}_{1n} \right\vert{}}^{2} - {\left\vert{} {C}_{2n} \right\vert{}}^{2})$

Ahora bien lo anterior es correcto pero para aplicarse al mundo cuántico hay que considerar que la energía no puede tomar cualquier valor sino cuantos y/o mejor dicho dichas variaciones deben ser en cuantos h. Es decir, cada armónico es un eigevalor del estado de la función base y por lo tanto, al haber aplicado el operador energía, el cuadrado de estos constituyen la probabilidad de obtener ese valor en una medida y es esa la diferencia ensencial entre el mundo clásico y cuántico. Igual no estoy seguro si se refiere a esto el texto explicitamente. supongo que si.

[Rodri]

Re: Consulta sobre interpretación de la física cuantica

Por lo tanto la diferencia energético entre la funciones que describen 2 orbitales de diferente energía es:

$\dst {E}_{1} - {E}_{2} =2 (\sum_{n = 0}^\infty {\left\vert{} {C}_{1n} \right\vert{}}^{2} - \sum_{ = 0}^\infty {\left\vert{} {C}_{2n} \right\vert{}}^{2})$ $\dst = 2 (\sum_{n = 0}^\infty ({\left\vert{} {C}_{1n} \right\vert{}}^{2} - {\left\vert{} {C}_{2n} \right\vert{}}^{2})$

Si he entendido bien lo que se dice, creo que aquí se está confundiendo la energía de una vibración en mecánica clásica (calculada a partir de los coeficientes de Fourier de la vibración) con la energía de un estado estacionario en Física Cuántica.
Un estado estacionario tiene una función de onda cuya dependencia temporal es simplemente un factor exponencial complejo del tipo ${e}^{i\omega_{0} t}$. Una función de onda como las mencionadas, representables como un desarrollo en serie de Fourier, no puede representar un estado estacionario, es decir no representa un estado cuántico con energía definida.

Por otra parte, la energía de un estado estacionario no depende del coeficiente multiplicativo de la función de onda asociada sino precisamente del exponente del factor comentado, es decir del valor de $\omega$.

[Julián]

Re: Consulta sobre interpretación de la física cuantica

Pero si te fijas bien, sea una función que describe un estado de un electrón de la siguiente forma:

$\dst \phi (x,t)=\sqrt{\frac{2}{L }} sin (\frac{(n+1) \pi }{L }x) {e}^{-i\omega t}$

donde $\omega = \frac{2 \pi E}{h}$

y ${k}_{n} =\frac{(n+1) \pi }{L }$

El operador energía sin considerar la variación temporal, está dado por:

$\dst \frac{{\hat{p}}^{2}}{ 2 m } sin ({k }_{n}x){e}^{-i \omega t} = \frac{{h}^{2}{k}^{2}}{ 8 {\pi}^{2} m } sin ({k }_{n}x){e}^{i \omega 0}$

el igvengalor es $\frac{{h}^{2}{k}^{2}}{ 8 {\pi}^{2} m }$

Por lo tanto cualquier estado puede ser descripto como una superposición de dichos valores

$\dst \Phi = \sum_{n= 1}^\infty {E}_{n} {\Phi}_{n} =\sum_{n= 1}^\infty \frac{{h}^{2}{{k}_{n}}^{2}}{ 8 {\pi}^{2} m } sin ({k }_{n}x)$

La probabilidad de obtener un valor de energía en la medida está dado por:

$\dst {\left\vert{} \frac{{h}^{2}{{k}_{n}}^{2}}{ 8 {\pi}^{2} m } \right\vert{}}^{2}$

En cuántica tenemos la probabilidad de obtener un valor de energía ante una medida y en el mundo clásico efectivamente tenemos el valor que mediremos con certeza. El desarrollo de fourier no debe entenderse únicamente para una variable temporal sino también para cualquier variable y cuyo fundamento es una sumatoria de funciones peso ortogonales y un factor denominado coeficiente de fourier. Ahora bien la probabilidad de obtener una medida de energía es mayor cuanto mayor sea la energía y creo que en esto hace referencia el texto cuando menciona que Xn y Xm en cuanto valor absoluto son grandes.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre interpretación de la física cuantica

Buenas noches;
Me he perdido en vuestros comentarios. ¿hay alguna forma sencilla de explicarlo?
Saludos y gracias.

[Everett IV]

Re: Consulta sobre interpretación de la física cuantica

Hablamos de los autoestados de la energía, el resto de estados no tiene una energía física determinada (tiene una amplitud de probabilidad y una probabilidad de tomar tal o cuál autovalor para la energía) y se transforma en un autoestado si hacemos una medida de su energía

. Según los sistemas (y eso sale de resolver la ec. de Schrödinger en cada caso) hay sistemas que tienen energías discretas y otros pueden tener cualquier valor, como un electrón libre (no hay que ir a nada sofisticado), incluso algunos sistemas puede tener intervalos dónde la energía es continua y otros donde toma valores discretos. Lo que ocurre es que en física clásica no se puede saltar de un estado a otro con energías discretas distintas, de ahí la sorpresa que causó cuando se vió que para resolver ciertos problemas en la radiación del cuerpo negro Y posteriormente más) , todo se arreglaba restringiendo los valores de la energía a determinados valores discretos. Pero eso fue el principio, el resto de resultados se trataban clásicamente, sólo se hacía esa misteriosa cuantización de la energia. Luego ya se llegó al formalismo y se vió que muchos observables (momento angular, spin,etc...) toman valores discretos. Pero insisto que todo eso de deduce del formalismo matemático con la ec. de Schrödinger original y las diversas variantes que ha habido hasta llegar a las ecuaciónes de la teoría cuántica de campos

[inakigarber]

Re: Consulta sobre interpretación de la física cuantica

Hablamos de los autoestados de la energía, el resto de estados no tiene una energía física determinada (tiene una amplitud de probabilidad y una probabilidad de tomar tal o cuál autovalor para la energía) y se transforma en un autoestado si hacemos una medida de su energía....

No se si he entendido bien. A ver. Un electrón en un átomo de hidrógeno (por ejemplo) puede estar en determinadas órbitas y el salto de una órbita a otra implica una energía determinada que el electrón cede o absorbe (según sea el salto) en valores discretos que pueden medirse, son por tanto observables. ¿Son estos valores observables a lo que te refieres con los autoestados de la energia?
Respecto a la ecuación de Schrodinger aún no he llegado a dicha cuestión. Algún dia tal vez llegue el momento..
Saludos.

[Julián]

Re: Consulta sobre interpretación de la física cuantica

Existen 2 formas de describir matematicamente a los fenómenos cuánticos, una es la función de onda de Schroendiguer que es la tan conocida y otra es el mecánica matricial desarrollada por Heigsenber que como es matricial, medio que algunosno la quieren ni ver ejej.
En este caso el texto, que ahora sí me tomé el trabajo de leer tiene como desarrollo la mecánica matricial. Y sigo manteniendo lo que dije anteriormente, el desarrollo se hiso llevando lo observado cuánticamente a un límite semiclásico en donde se tomó como partida que una carga eléctrica clásica al orbitar otra emite radiación continua en un espectro dado, y dicho espectro como cualquier función periódica puede ser desarrollado por la serie de fourier:

$\dst f(t) = {\sum}_{n=-\infty}^{\infty} {A}_{n} {e}^{i 2 \pi n {f}_{0}t}$ f(t) es la función que describe la posición del la partícula en el orbital con una frecuencia ${f}_{0}$ de oscilación. (1)

Eso es debido a que la frecuencia de oscilación del fotón debe corresponder con la frecuencia de oscilación de la partícula y la oscilación de la partícula es entorno a la posición con respecto a un punto tomado como referencia. Por lo tanto en este caso f(t) nos da la posición de la partícula.

Como no puede emitir una radiación continua un electrón sino en cuantos de energía, la frecuencia es: $\frac{{E}_{n}-{E}_{m}}{h}$

$\dst X(t) ={A}_{0} {e}^{i 2 \pi n \frac{{E}_{n}-{E}_{m}}{h}t}$ (2)

Si la diferencai energética es pequeña, ${A}_{0}$ corresponde al coeficiente de fouerrier del armónico $\frac{{E}_{n}-{E}_{m}}{h}$.

En este aspecto Heigsenber hace una analogía entre (1) que da la posición clásica de un electrón y la posición en mecanica cuántica (2). Siendo esta ecuación, la (2), como dice el texto lo que se conoce como ecuación de movimiento de heigsenber.

los elementos de matriz son la analogía mecanocuántica de los coeficientes de Fourier de las órbitas clásicas

. Es decir, la función que describe a la radiación electromagnética es "descompuesta" en una sumatoria de fourier y lo anterior es lo mismo a especificar la posición de la partícula en el orbital ya que es su oscilación la que produce la radiación. Como eso deja de tener sentido en mecanica cuántica, Heigsenber dice que la analogía a la posición es ${A}_{0}$, por más que no represente una magnitud de posición real, es un número con cual trabajar ya que lo importante es las relaciones con los demás observables.

Un electrón en un átomo de hidrógeno (por ejemplo) puede estar en determinadas órbitas y el salto de una órbita a otra implica una energía determinada que el electrón cede o absorbe (según sea el salto) en valores discretos que pueden medirse, son por tanto observables. ¿Son estos valores observables a lo que te refieres con los autoestados de la energia?

Un autoestado es un vector columna de la matriz que multiplica a la matriz de energía o que representa al estado y hace posible la diagonalización (ya que en las diagonales está representado el valor energético de dicho nivel) y dicho vector columna es igual a la autofunción en la mecánica ondulatoria.

[Everett IV]

Re: Consulta sobre interpretación de la física cuantica

No se si he entendido bien. A ver. Un electrón en un átomo de hidrógeno (por ejemplo) puede estar en determinadas órbitas y el salto de una órbita a otra implica una energía determinada que el electrón cede o absorbe (según sea el salto) en valores discretos que pueden medirse, son por tanto observables. ¿Son estos valores observables a lo que te refieres con los autoestados de la energia?
Respecto a la ecuación de Schrodinger aún no he llegado a dicha cuestión. Algún dia tal vez llegue el momento..
Saludos.

Un electrón, efectivamente, puede estar en un estado en el que no tenga una posición definida hasta que nosotros provoquemos que adquiera una posición definida con la medida de dicha posición con un aparato de medida (podemos medir posición, un nivel de energía ([lo que tú vienes a llamar una órbita, pero no es bueno que te lo imagines como si fuera un núcleo alrededor del cuál giran los electrones, más bien como una "nube" dispersa de electrones no bien localizados, no es tampoco una visión estrictamente correcta pero es más acertada y próxima al concepto de orbital], o cualquier magnitud observable). Como los orbitales tienen valores de energía que si son cantidades exactas, el salto de uno a otro implica una perdida concreta de energía, es decir, la magnitud perdida de energía entre estados sí que tendría un valor exacto numérico (un autovalor). Que cuando usamos el formalismo de matrices , al multiplicar por la izquierda la matriz del observable por el vector columna correspondiente al estado nos da un número multiplicado por dicho vector columna, que por eso se le llama autoestado del observable $O\vec{a}=\lambda vec(a)$ donde $\lambda$ ya no es una matriz, es un número. Ahora bien, creo que sería interesante que cogieras un libro de cuántica (el Cohen está bien, se extiende demasiado en las explicaciones pero se puede leer, pero si no, cualquier otro, Yndurain, Sanchez Guillen), y que vayas preguntando las dudas.

[Everett IV]

Re: Consulta sobre interpretación de la física cuantica

No se si he entendido bien. A ver. Un electrón en un átomo de hidrógeno (por ejemplo) puede estar en determinadas órbitas y el salto de una órbita a otra implica una energía determinada que el electrón cede o absorbe (según sea el salto) en valores discretos que pueden medirse, son por tanto observables. ¿Son estos valores observables a lo que te refieres con los autoestados de la energia?
Respecto a la ecuación de Schrodinger aún no he llegado a dicha cuestión. Algún dia tal vez llegue el momento..
Saludos.

Sí, y lo anterior que dices de los autoestados de la energía está bien. Pero eso es para los estados del hidrógeno estable. En general, como te ha dicho Everett IV, si yo multiplico un estado $|\psi>$ por el hamiltoniano $H$ operador por la izquierda a $|\psi>$, y me da un vector proporcional a $|\psi>$. Es decir, $H|\psi>=\lambda|\psi>$, donde H es el operador hamiltoniano (energía) y $\lambda$ un número complejo cualquiera menos 0, no otro autovector no proporcional, entonces $|\psi>$ es un autoestado de $H$, y $\lambda$ su autovalor para el operador $H$.


Pues la Ec. de Schrödinger es uno de los axiomas . Miralo aquí, https://es.wikipedia.org/wiki/Postul..._cu%C3%A1ntica

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