2o ciclo Colisión electrón-fotón

[angel relativamente]

Hola compañeros. En un ejercicio me dicen que considere la colisión frontal de un fotón de longitud de onda $\lambda_0$ (energía $\epsilon_0$ y momento $\rho_0$ en mi notación) y un electrón con momento lineal $p_0$ (y energía $E_0$), en la que el fotón sale con un ángulo $\alpha$ respecto a la dirección incidente (longitud de onda $\lambda$ y energía $\epsilon$) y el electrón sale con otro ángulo desconocido y momento y energía $p,E$ desconocidas, tal como se ilustra en la figura

La primera pregunta me pide que calcule $\lambda$ en función de $\lambda_0, \alpha\; y \; p_0$. El problema es similar al efecto compton, pero en este caso no consideramos al electrón en reposo. Aplico a pelo la conservación del momento y la energía:
-Por conservación del momento, con el teorema del coseno tengo que $p^2=(\rho_0 - p_0 )^2 + \rho^2 -2\rho(\rho_0 - p_0 )\cos \alpha$
-Por conservación de la energía, simplemente $E_0+\epsilon_0 = E+ \epsilon$
Ahora teniendo en cuenta que $\epsilon_{(0)}=\rho_{(0)} c, \; \epsilon_{(0)}= \dfrac{hc}{\lambda_{(0)}}$ y que $E_{(0)}=\sqrt{p_{(0)}^2c^2 + m^2 c^4 }$ y tras unas cuantas simplificaciones tediosas, llego a

$$\lambda = hc \left[ \dfrac{(p_0 c - 1) \cos \alpha + \dfrac{hc}{\lambda_0} + \sqrt{p_0^2c^2+m^2 c^4 } }{p_0 c + \sqrt{p_0^2c^2+m^2 c^4 } } \right]$$

Que es un carro que no sé simplificar más. Obviamente me gustaría que alguien lo verificase pero entiendo que hay que estar muy aburrido para ponerse a calcularlo Mi verdadera duda surge en el siguiente apartado, que dice:

¿Qué condición ha de cumplir $p_0$ para que el fotón gane energía tras la colisión?

No se me ocurre muy bien cómo plantearlo. Pasando la ecuación anterior a energías tengo que

$$\epsilon = \dfrac{ \sqrt{p_0^2c^2+m^2 c^4 } + p_0 c }{(p_0 c - 1) \cos \alpha + \sqrt{p_0^2c^2+m^2 c^4 } + \epsilon_0 }$$

Y entiendo que lo que tengo que ver es $\epsilon/\epsilon_0 >1$ o bien que $\epsilon - \epsilon_0 >0$ pero ni idea como llegar a eso con el pedazo de carro que me sale. Así que no sé si es que no he llegado bien a la expresión o simplemente que no sé cómo atacarla para responder a esto.

Agradecería cualquier sugerencia.

Saludos,
Ángel

[arivasm]

Re: Colisión electrón-fotón

Sin revisar nada, me llama la atención algunas cosas relativas a las dimensiones presentes en las expresiones. Así, me suenan raros esos $p_0c-1$. También me extraña que tanto en la expresión de $\lambda$ como en la de $\epsilon$ numerador y denominador tengan las mismas dimensiones (prescindiendo de lo que acabo de señalar), con lo que $\lambda$ tendría dimensiones de $hc$ y $\epsilon$ sería adimensional.

[angel relativamente]

Re: Colisión electrón-fotón

con lo que $\lambda$ tendría dimensiones de $hc$ y $\epsilon$ sería adimensional.

Tienes razón, ahora lo reviso. No he sido muy riguroso en mi análisis dimensional ya que me he contentado al ver que todos los sumandos tenían dimensiones de energía.

[arivasm]

Re: Colisión electrón-fotón

Yo encuentro lo siguiente: $\dst \epsilon=\epsilon_0\frac{E_0+p_0c}{E_0+\epsilon_0-(\epsilon_0-p_0c)\cos\alpha}=\epsilon_0\frac{\sqrt{p_0^2c^+m^2c^4}+p_0c}{\sqrt{p_0^2c^+m^2c^4}+\epsilon_0-(\epsilon_0-p_0c)\cos\alpha}$, pero ya sabes que soy el rey de los despistes...

[angel relativamente]

Re: Colisión electrón-fotón

Gracias por hacerlo, me da exactamente lo mismo. Además, con eso el siguiente apartado es más sencillo. La condición que ha de cumplir $p_0$ para que el fotón gane energía tras la colisión, si no me equivoco, es que $p_0> \rho_0$. En efecto, de la relación de energías tenemos que $\epsilon/\epsilon_0 >1 \; \Rightarrow \; E_0+p_0 c > E_0 +\epsilon_0 + (p_0 c - \epsilon_0 ) \cos \alpha \; \Rightarrow \; p_0 c > \epsilon_0 \; \Rightarrow \; p_0 > \rho_0$.

Un saludo y muchas gracias de nuevo Antonio :-)