pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

[inakigarber]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Ok, salvo una cosa importante:

<Q> no es la media aritmética de los autovalores de Q. En todo caso, lo podemos ver como una media ponderada de los autovalores de Q...

No entiendo bien este párrafo. Tal vez equivocadamente había considerado <Q> como la media aritmética. Es decir el resultado de sumar los autovalores (que serian cada uno de los valores obtenidos en cada medición) y dividir el total entre el numero total de mediciones.

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Ok, salvo una cosa importante:

....Incluso en el caso del electrón encerrado en un pozo infinito muy estrecho, no hay un único estado. Hay infinitos estados, para cada uno de los cuales Q y P tienen sus correspondientes valores esperados y desviaciones estandar. En todos ellos, como mencionas, la desviación estándar de Q es muy pequeña, pero la de P es muy grande, y se cumple el principio de incertidumbre.

Saludos

Totalmente de acuerdo.
Saludos.

[alexpglez]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Tal vez equivocadamente había considerado <Q> como la media aritmética. Es decir el resultado de sumar los autovalores (que serian cada uno de los valores obtenidos en cada medición) y dividir el total entre el numero total de mediciones.

No entiendo que quieres decir, no es la suma de los autovalores dividido entre el número total de ellos. Es lo siguiente, voy a empezar a explicarlo desde 0.

El valor medio de una cantidad se define como:

$$<A>=\sum_i p_i a_i=p_1 a_1 + p_2 a_2 ....$$

Dónde p_i es la probabilidad de tener el valor a_i.
Pero en muchos casos físicos, no conoces los diferentes a_i que puede haber en un problema. Lo que si puedes conocer es una cierta matriz A, devuelta en un determinado problema, sabemos que la operación pre y post-multiplicar por dos vectores, nos devuelve un determinado número. Por ejemplo, el caso más simple:

$$<br /> x^t A x=\sum_{i,j}x_i A_{ij} x_j=\begin{pmatrix}<br /> 1 & 0 <br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix}<br /> a_1 & 0 \\<br /> 0 & a_2<br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 \\ 0 <br /> \end{pmatrix}<br /> =a_1<br />$$

Comparando ésto con la media, si definimos en una base ortonormal $p_i=\vert x_i \vert ^2=x_i ^* x_i$, (utilizar aquí complejos es un capricho que se hace evidente al llegar a la mecánica ondulatoria), además suponiendo que A fuese diagonal en tal base, con elementos a_i de la diagonal, es decir $A_{ij}=a_i \delta_{i,j}$ donde la delta de krockener (la letra griega) vale 1 si los subíndices son iguales y 0 si no.

$$x^t A x=\sum_{i,j}x_i^* A_{ij} x_j=\sum_{i,j} a_i x_i^* \delta_{i,j}x_j$$

Notemos que el producto es sencillamente: $\sum_{i,j}x_i^* \delta_{i,j}x_j=x^t I x=x^t x=\sum_i x_i ^* x_i=\sum_i p_i$
Es decir:

$$x^t A x=\sum_{i,j} x_i^* A_{ij} x_j=\sum_{i,j} a_i x_i^* \delta_{i,j}x_j=\sum_{i} a_i x_i^*x_i=\sum_i a_i p_i=<A>$$

Evidentemente el producto coincide con la media. Aunque la matriz A_{ij} no siempre será diagonal, pero podemos asentar la definición:

$$<A>=x^t A x=\sum_{i,j}x_i^* A_{ij} x_j$$

Y ésta es la definición de media. No sé si me he expresado bien, x representa el vector de estado, por poner un ejemplo si haces el experimento de la doble rendija, tienes 2 posibilidades, que pase por una o por otra, ésto podrá venir representado por $x=(x_1,x_2)$, (y la base fuese ortonormal), en dónde $x_1^* x_1=p_1$ representase la probabilidad de pasar por la primera y $x_2^* x_2=p_2$, la probabilidad de pasar por la segunda.

¿Me sigues? Esto es lo que quiere expresar Carroza con media ponderada.

Lo que quería explicar en mi respuesta anterior era que, si quieres ver un espectro continuo, ya que digamos, hubiese infinitos valores propios que tomen puedan tomar cualquier valor definido en la recta real. Es al hacer el límite, la sumatoria del producto tiende a una integral, el vector estado viene representado por una función y la matriz a un operador. Es decir:

$$<A>=f^t A f \;\;\;\; \rightarrow \;\;\;\; \int_V f(x)^* \hat A f(x) dx \;\;\;\;\; A\;\; \rightarrow \hat A \;\;\; f_i \;\; \rightarrow \;\; f(x)$$

Y gracias a planck y de broglie supimos que f(x) es una función de onda, y así supimos inferir los operadores diferenciales.


Saludos

PD: me detallo en la respuesta porque creo que si lo estás siguiendo por aquí, no lo termina de explicar. http://la-mecanica-cuantica.blogspot...babilidad.html

[inakigarber]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

PD: me detallo en la respuesta porque creo que si lo estás siguiendo por aquí, no lo termina de explicar. http://la-mecanica-cuantica.blogspot...babilidad.html

Si, estoy siguiendo lo que pone en dicho blog. Mi conocimiento de estadística se limita lo que se explica ahí. Por eso tal vez no tengo los conocimientos muy claros. O sea que voy a empezar por algo muy claro. A ver si voy afincando ideas.
Supongamos que los datos de las notas de un examen son un conjunto de valores llamado A;
$Alumno_1=5, Alumno_2=7, Alumno_3=8,y Alumno_4=5,$ tenemos cuatro alumnos y tres valores, uno de los cuales (el 5) se repite. Bien, la media aritmética sería $<A>\frac{5+7+8+5}{4}=6.25$, la desviación standard sería $\sigma=\sqrt{\frac{(5-6,25)^2+(7-6,25)^2+(8-6,25)^2+(5-6,25)^2}{4}}=1.1659$ si no estoy equivocado en el calculo. Este segundo parámetro, cuanto menor sea su valor, indica que hay menos disparidad en el valor de los resultados obtenidos. Pero, no me queda muy bien a lo que se refiere la media ponderada. ¿Tiene algo que ver con la frecuencia con la que se repiten los datos? En este caso he repetido deliberadamente uno de los datos. ¿Cuál sería la media ponderada en este caso?
A ver si con esto voy aclarando un poco las ideas. Mientras tanto seguiré leyendo el post que escribiste, donde hay más para leer.
Saludos y gracias.

[alexpglez]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

¿Cuál sería la media ponderada en este caso?

Hola, esa que has calculado es la media ponderada.
Lo que nos referimos es que, si la matriz A, tiene n autovalores $\lambda$, una definición de media podría ser:

$$<A>=\frac{1}{n}\sum_i^n\lambda_i$$

A lo que se refiere Carroza con "ponderada" respectivamente, es:

$$<A>=\sum_i^n p_i \lambda_i$$

En el enlace anterior que cité lo llama: "media aritmética de una matriz" y "esperanza matemática de una matriz" repectivamente.

Y, si dados unos valores, lo podemos interpretar cómo que se repiten los valores como acabas de decir. Pero en caso de la probabilidad, serían valores posibles, probabilidades.

Por lo demás, lo que trato de explicar de en mi respuesta anterior, es cómo se define la "esperanza matemática de una matriz", en mecánica cuántica, a partir de los vectores estado y la matriz. Partiendo de la definición para una matriz diagonal y las probabilidades.
Y por cierto, también el producto se puede designar: $<x|Ax>=x^tAx$

[inakigarber]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Sigo estando un poco perdido y desilusionado con mi poca capacidad para entender el tema. Pero no quiero tirar la toalla precipitadamente. Tal vez sea una tontería lo que voy a escribir, pero veamos.
Si parto de $\boxed{<QP-PQ>=i\frac{h}{2\pi};<QP>-<PQ>=i \hbar}$. ¿Cómo puede ser esto posible? Bien dado que Q y P representan matrices su producto no tiene porque ser conmutativo por tanto $QP-PQ\neq 0$ y $<QP>-<PQ>\neq 0$. ¿Cómo podría darse que dos valores que se restan den un valor imaginario? Para eso sus partes reales deben de ser iguales y la resta de sus partes imaginarias sea $i \hbar$. De manera que podría imaginármelo como una resta de vectores en que su parte real da cero y en que su parte imaginaria da $i \hbar$.
¿hay algo de correcto en lo que he expuesto?
Saludos y gracias.

[alexpglez]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Sigo estando un poco perdido y desilusionado con mi poca capacidad para entender el tema. Pero no quiero tirar la toalla precipitadamente. Tal vez sea una tontería lo que voy a escribir, pero veamos.
Si parto de $\boxed{<QP-PQ>=i\frac{h}{2\pi};<QP>-<PQ>=i \hbar}$. ¿Cómo puede ser esto posible? Bien dado que Q y P representan matrices su producto no tiene porque ser conmutativo por tanto $QP-PQ\neq 0$ y $<QP>-<PQ>\neq 0$. ¿Cómo podría darse que dos valores que se restan den un valor imaginario? Para eso sus partes reales deben de ser iguales y la resta de sus partes imaginarias sea $i \hbar$. De manera que podría imaginármelo como una resta de vectores en que su parte real da cero y en que su parte imaginaria da $i \hbar$.
¿hay algo de correcto en lo que he expuesto?
Saludos y gracias.

La ecuación de Born te dice que no puedes medir posición y momento al mismo tiempo, por eso no conmutan. Históricamente, según he leído en el mismo blog, se dedujo de los resultados que arrojaba el modelo de Bohr.
¿Esto por qué se da? Porque las partículas no son puntuales, son ondas. Esto se demuestra a partir de la mecánica ondulatoria, dónde aparece la relación de manera natural.
Si no lo ves ahora, acéptalo y con el tiempo lo entenderás. Créeme, yo tampoco lo entendía hasta que aprendí que no debo mirar la física con prejuicios, y aquí el único prejuicio que imponemos para que conmutasen es que podamos hablar de partículas puntuales.
Había una conversación creo que entre Bohr y Einstein, éste dijo "Dios no juega a los dados con la naturaleza" (refiriéndose a la mecánica cuántica), y Bohr le contestaba: "Deja de decirle a Dios cómo usar sus dados"
(Sobre éstos debates acabo de encontrar un enlace que parece explicarlos detalladamente https://es.wikipedia.org/wiki/Debate_Bohr-Einstein)

Respecto a la parte matemática del asunto, intenta seguir mi respuesta #17, y me preguntas las dudas (aquí o en otro hilo, como veas), ya que creo que lo he explicado de manera asequible a partir de la definición de media.

Respecto a tus preguntas matemáticas, obviamente, si se restan dos números complejos y da un resultado imaginario, es que las partes reales se han cancelado por ser iguales. Y, recuerda, dos matrices pueden conmutar o no.

[inakigarber]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

...Créeme, yo tampoco lo entendía hasta que aprendí que no debo mirar la física con prejuicios, y aquí el único prejuicio que imponemos para que conmutasen es que podamos hablar de partículas puntuales.
Había una conversación creo que entre Bohr y Einstein, éste dijo "Dios no juega a los dados con la naturaleza" (refiriéndose a la mecánica cuántica), y Bohr le contestaba: "Deja de decirle a Dios cómo usar sus dados"...

Totalmente de acuerdo en lo que respecta a los prejuicios. En mi caso el prejuicio fundamental ha sido el de la no conmutatividad. El orden de factores SI altera el producto.

....Respecto a tus preguntas matemáticas, obviamente, si se restan dos números complejos y da un resultado imaginario, es que las partes reales se han cancelado por ser iguales. Y, recuerda, dos matrices pueden conmutar o no.

Si, es una obviedad, pero a veces es necesario irse al gimnasio ponerse a correr en una cinta para, pensando en las musarañas darse cuenta de que esa es la clave. Las matrices $A, B$ y sus productos $AB$ y $BA$ representan vectores, sus valores medios también son vectores. Sus partes reales son las mismas y se restan, sus partes imaginarias tienen el mismo valor, pero sentido contrario. De esta forma he conseguido entender, al menos en parte esta cuestión. Realmente la clave de la cuestión, al menos en parte radica en que $<PQ>=<QP>*$ y por otra parte; $<PQ>=|<QP>|$ Si ambos valores tienen la misma parte real y el mismo valor absoluto su parte imaginaria debe de ser;

$$\frac{i\hbar I}{2}$$

Para cada uno de los valores imaginarios de $<QP>$ y de $<PQ>$ ¿Es correcto este planteamiento?

...Respecto a la parte matemática del asunto, intenta seguir mi respuesta #17, y me preguntas las dudas (aquí o en otro hilo, como veas), ya que creo que lo he explicado de manera asequible a partir de la definición de media....

Me siento más cómodo pensando en términos de vectores, pero de todos modos tratare de repasar tu respuesta #17.
Saludos y gracias.

[alexpglez]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Totalmente de acuerdo en lo que respecta a los prejuicios. En mi caso el prejuicio fundamental ha sido el de la no conmutatividad. El orden de factores SI altera el producto.

No no, eso no. Los prejuicios son de la física, no de la matemática, $AB\neq BA$ es algo general para cualquier matriz, pero hay casos en los que sí $AB=BA$.
Si pudiésemos hablar de posición y momento al mismo tiempo, por argumentos matemáticos (tipo, podríamos encontrar una base de vectores propios para X y P, lo cual implica que no conmutan) se puede llegar a: $XP=PX$. Por lo tanto la posición y momento no se pueden medir al mismo tiempo.

[inakigarber]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Creo que poco a poco voy asumiendo las ideas que subyacen en la física cuántica, pero aún llevara un tiempo comprenderlas totalmente.

[carroza]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Hola.

Cuando uno intenta entender las cosas en cuántica, siempre es importante entender el problema semejante en física clásica, para darse cuenta de las similitudes y diferencias.

Imaginadse que en lugar de coordenadas Q y momentos P, consideramos una población de tres personas, con ciertas alturas Q y ciertos pesos P.

Por ejemplo, la persona 1 mide 1,30 m y pesa 40 kg, la persona 2 mide 1.60 m y pesa 70 kg y la persona 3 mide 1.90 m y pesa 100 kg.

Para la población de tres personas, el valor esperado de la altura es la media <Q>= 1.60 m; Este valor no está perfectamente definido. El resultado de la medida (clásica) de la altura de una persona puede ser 1.30 o 1.60 o 1.90; por tanto, en este caso, la "incertidumbre", $\sigma_Q = 0.24$ m.

El valor esperado del peso es <P>=70 kg, y su incertidumbre es $\sigma_P = 24$ kg.

Por otro lado, el valor esperado del producto PQ es la media de los productos de cada peso por su altura, que sale <PQ>= 118 kg m, que no coincide con <P><Q> =112 kg m.

Por otro lado, si yo calculara el valor esperado de QP, me saldría opbiamente lo mismo que PQ, o sea <PQ>= 118 kg m.

Aunque en este caso, hay incertidumbres en peso y altura, podemos imaginarnos distribuciones de personas en las que la incertidumbre del peso, o la de la altura, o ambas, sean cero (por ejemplo, casos de personas con el mismo peso y altura). Así que en mecánica clásica no hay límites para las incertidumbres, y las cantidades observables conmutan en cualquier distribución.

Ahora vamos a la cuántica. Q (coordenada) y P (momento) son observables, por lo que su valor esperado en cualquier estado, o mezcla estadística de estados, es siempre un número real. Formalmente, Q y P vienen descritas por matrices hermíticas (autoadjuntas), que tienen la propiedad de que cualquier elemento de matriz con un estado dado es siempre un número real.

Por tanto, en cuántica, siempre, <Q> es un numero real, <P> es un número real, y <Q><P>=<P><Q> es un numero real. Igual que en física clásica.

Ahora, PQ no viene descrito por una matriz hermítica. PQ es distinto de QP, y, en general, el valor esperado <PQ> no es real, y es distinto del valor esperado <QP>. Puede demostrarse que <PQ> es un numero complejo, y <QP> es su conjugado. Esto es diferente de la mecánica clásica.

Puede demostrarse que esta no conmutatividad está relacionada con el hecho de que, en cuántica, no es posible encontrar estados, o mezclas de estados, con incertudmbre arbitrariamente pequeñas. Este es el contexto del principio de incertidumbre.

Un saludo

[inakigarber]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Gracias por tu detallada respuesta.
Ahora vamos a ves si estoy a la altura de las circunstancias;

Puede demostrarse que <PQ> es un numero complejo, y <QP> es su conjugado.

Totalmente de acuerdo, de otra forma sería imposible que $<PQ>-<QP>=i\hbar$ además las partec complejas de ambos tienen valor absuluto $\left| \frac{\hbar}{2}\right|$.

Por tanto, en cuántica, siempre, <Q> es un numero real, <P> es un número real, y <Q><P>=<P><Q> es un numero real. Igual que en física clásica

Creo que aquí también estoy de acuerdo, al menos en lo referente a <Q><P>=<P><Q> ya que ambas esperanzas son valores numéricos y su producto conmuta.

[FONT=Tahoma]Ahora vamos a la cuántica. Q (coordenada) y P (momento) son observables, por lo que su valor esperado en cualquier estado, o mezcla estadística de estados, es siempre un número real. Formalmente, Q y P vienen descritas por matrices hermíticas (autoadjuntas), que tienen la propiedad de que cualquier elemento de matriz con un estado dado es siempre un número real. [/FONT]

[FONT=Tahoma]
¿Quiere decir esto que los autovalores de las matrices hermíticas son siempre números reales?
En cuanto al ejemplo que pones al principio los valores no me cuadran.
Sobre los valores de altura $h=1.30;1.60;1.90$ la media me sale $<h>=1,6Kg$ y la desviación standard $\sigma_h=0.2449$
Sobre los valores de masa $m=40;70;100$ la media me sale $<m>=70Kg$ y la desviación standard $\sigma_m=24.4948 Kg$
Creo que en eso estamos de acuerdo.
Pero al multiplicar QP me da el mismo resultado de PQ cuya media sale <118> y su desviación $\sigma =10.862$ independientemente del orden del producto.
Tal vez esté haciendo algo mal. Voy a repasarlo.
matriz Peso;
$P=\begin{pmatrix} 1.3& 0& 0\\ 0& 1.6& 0&\\ 0& 0& 1.9\end{pmatrix}$
matriz Masa
$Q=\begin{pmatrix} 40& 0& 0\\ 0& 70& 0&\\ 0& 0& 100\end{pmatrix}$
Matriz PQ
$QP=\begin{pmatrix} 52& 0& 0\\ 0& 112& 0&\\ 0& 0& 190\end{pmatrix}$
Matriz PQ
$PQ=\begin{pmatrix} 52& 0& 0\\ 0& 112& 0&\\ 0& 0& 190\end{pmatrix}$
Esto es lo que me sale.
Saludos y gracias por tu respuesta.[/FONT]

[carroza]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

[FONT=Tahoma]Hola,

Prueba a definir tus matrices de la forma siguiente
matriz P
$P=\begin{pmatrix} 1.3& 0& 0\\ 0& 1.6& 0&\\ 0& 0& 1.9\end{pmatrix}$
matriz Q
$Q=\begin{pmatrix} 70& 0& 30\\ 0& 70& 0&\\ 30& 0& 70\end{pmatrix}$

Fijate que la matriz Q tiene exactamente los mismos autovalores que la tuya. Por tanto, corresponde al caso en el que el resultado de la medida (del peso) puede ser 40, 70 o 100 kg.

Saludos


[/FONT]

[Alriga]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Hago las multiplicaciones:

$P=\begin{pmatrix} 1.3& 0& 0\\ 0& 1.6& 0&\\ 0& 0& 1.9\end{pmatrix}$

$Q=\begin{pmatrix} 70& 0& 30\\ 0& 70& 0&\\ 30& 0& 70\end{pmatrix}$

$PQ=\begin{pmatrix} 91& 0& 39\\ 0& 112& 0&\\ 57& 0& 133\end{pmatrix}$

$QP=\begin{pmatrix} 91& 0& 57\\ 0& 112& 0&\\ 39& 0& 133\end{pmatrix}$

En efecto, en este ejemplo los productos no conmutan

$QP=(PQ)^t$

[inakigarber]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Buenas noches;
A mi me sale exactamente lo mismo.
Ahora bien, me surgen dudas.
La matriz P es diagonal, representaría a la matriz momento lineal. ¿Deberíamos meter las medidas de momento lineal obtenidas en una matriz diagonal en el que el resto de sus valores son cero? En este caso los valores que aparecen en la matriz coinciden con sus autovalores.
La matriz Q no es diagonal y los valores que aparecen en dicha matriz no coinciden con los autovalores que esta tiene (ya que el valor 40 no aparece en esta matriz pero si es uno de sus autovalores). Da la impresión de que en este caso deberíamos crear una matriz cuyos autovalores coincidan con las medidas obtenidas en el laboratorio. ¿es así? y si es así ¿Por qué es así?
Hasta ahora había pensado que se trataba de obtener unos datos de P (mediante medidas obtenidas en un laboratorio) y meterlos en una matriz y operar de la misma manera con los valores obtenidos de Q.

[carroza]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

En una base dada, P es diagonal y Q no. Podemos cambiar de base, y utilizar una en la que Q sea diagonal (la base de sus autoestados. ) pero entonces P no sería diagonal.
El hecho es que P y Q no conmutan.

Si P y Q son ambas diagonales en la misma base, entonces los operadores correspondientes conmutan.

Saludos