autofuncion de Lz

[sherrero]

Hola, estoy atascado tengo que comprobar que el operador $L_{z}$ es autofuncion de $\gamma =sin\theta cos\varphi$.
He usado fórmula de euler para $cos\varphi$ y me ha quedado $sin\theta \frac{1}{2}(e^{i\varphi}+e^{-i\varphi })$. Aplico operador en coordenadas esféricas ($-ih\frac{\partial }{\partial \varphi }$)
y me queda finalmente tras aplicar la derivada parcial $sin\theta \frac{1}{2}h(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})$ y de ahí no se volver a sacar el $\cos\varphi$.

[teclado]

Hola,

Te has equivocado al escribirlo. Tienes que tener claro que no se dice que un operador sea autofunción de una función, es la función -en tu caso $\gamma$- la que es o no autofunción del operador -en tu caso $L_z$.

Por otro lado con tu desarrollo has comprobado que $\gamma = \sin\theta\cos\varphi$ no es autofunción de $L_z$. Para que lo fuera tendría que darse que

$L_z\gamma(\theta,\varphi) = a \gamma(\theta,\varphi)$

Siendo $a$ un número real (ya que $L_z$ es hermítico).

Sin embargo, a tí te ha dado distinto. $\sin\theta\cos\varphi$ y $\sin\theta\sin\varphi$ son linealmente independientes, pues en ningún caso puedes multiplicar una de ellas por una constante y que te de la otra. Son $\sin\theta e^{i\varphi}$ y $\sin\theta e^{-i\varphi}$ las que son autofunciones de $L_z$, con autovalores 1 y -1 respectivamente. Nota que como son autovalores distintos, una combinación lineal de estas autofunciones, como es la $\gamma$ de la que partes, no puede ser autofunción del operador.

Un saludo.

[sherrero]

Muchas gracias, no veas cómo me has aclarado ideas... Este foro es un tesoro