Espectro de operador K

[sherrero]

Estoy haciendo un ejercicio propuesto de obtener espectro, autofunciones y degeneración del operador $\hat{K}=-\frac{h^2}{2M}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}$

Primero he comprobado que es un operador simétrico (creo que es condición necesaria para obtener autofunciones) $< \Psi\mid K\Psi > =< K\Psi \mid \Psi >$ me sale ok

Luego, simplemente he hecho $K\Psi =a\Psi$ y obtengo una ecuación tipo $\frac{\partial^2 \Psi }{\partial x^2}=-\frac{a2M}{h^2}$ llamando C^2 al termino derecho del igual obtengo como autofunciones del operador $Ce^{iCx}+De^{-iCx}$,
¿Cómo se obtendrían los valores degeneradores? Creo que de la ecuación $C^{2}=\frac{a2M}{h^2}$ puedo obtener dos valores para a>0... por ejemplo C=+3 y C=-3, entonces tendría dos soluciones para el mismo a, 1.- $Ce^{i3x}+De^{-i3x}$ y 2.- $Ce^{i-3x}+De^{i3x}$
El espectro sería continuo por el valor de a que podría ser cualquiera, no?

[teclado]

Hola,

Cuando los autovalores están degenerados las autofunciones asociadas a cada uno de ellos forman un espacio de dimensión que es igual al número de soluciones linealmente independientes que obtengas de la ecuación diferencial.

En este caso, los autovalores son a. Cada valor de a da lugar a dos soluciones linealmente independientes de la ecuación de autovalores, que pueden ser, por ejemplo $\psi_1=e^{iCx}$ y $\psi_2=e^{-iCx}$. Debido a esto, cada autovalor a está doblemente degenerado. Como ambas soluciones son autofunciones del operador $\hat{K}$ con el mismo autovalor, cualquier combinación lineal de ellas será también autofunción de $\hat{K}$ con el mismo autovalor, dado que $\hat{K}$ es un operador lineal:

$\dst \hat{K}(A\psi_1+B\psi_2) = A\hat{K}\psi_1+B\hat{K}\psi_2 = Aa\psi_1 + Ba\psi_2 = a(A\psi_1+B\psi_2)$

De modo que forman un espacio de Hilbert de dimensión 2 (me suena la palabreja autoespacio del operador).

Como bien dices, en este caso tienes un espectro contínuo, ya que a puede tomar cualquier valor real. Si resuelves otros problemas, como el de pozos cuadrados de potencial o el del átomo de hidrógeno, te encontrarás que para que la ecuación diferencial tenga soluciones con sentido físico (de cuadrado sumable y no me acuerdo de qué otras) tienes que imponer restricciones a los autovalores, con lo que el especro deja de ser contínuo.

Un saludo

[sherrero]

Entendido!
Muchas gracias