Partícula sometida a fuerza constante

[sherrero]

Hola, estoy estudiando un ejemplo de una partícula de masa M que se mueve en una dismensión espacial sometida a una fuerza constante $F_{x}$ y tengo que obtener las autofunciones de la energía.
Entonces la Energía potencial es $V(x)=-F_{x}x$ y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
$(-\frac{h^2}{2M}\frac{\partial^2 }{\partial x^2}-F_{x})\Psi (x))=E\Psi (x)$
Vale hasta aquí todo correcto...
Luego utiliza la igualdad $-F_{x}=h^2/2Mx_{0}^{3}$ que no se de donde sale, al parecer es algo obvio... pero no lo he encontrado en la teoría...

Finalmente hace un cambio de variable $u=\frac{x+\frac{E}{F_{x}}}{X_{0}}$ que tampoco termino de verlo, esto supongo que puedo trabajarlo mas algebraicamente y lo lograré...

y ya le queda una ecuación diferencial típica de tipo $(-\frac{\partial^2 }{\partial u^2}+u)\Phi (u)=0$ que eso ya entiendo como se soluciona...

A ver si alguien me arroja luz sobre el asunto, Gracias.

[teclado]

Hola,

La sustitución $\dst F_x=-\frac{h^2}{2Mx_0^3}$ se hace para poder sacar factor común $\dst \frac{h^2}{2M}$ del paréntesis de la izquierda, añadiendo el $x_0^3$ como parámetro libre que para que la ecuación tenga sentido debe tener dimensiones de distancia al cubo, y quedando:

$\dst \frac{h^2}{2M}\left (-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{x}{x_0^3}\right )\psi(x)=E\psi(x)$
$\dst \left ( -\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{x}{x_0^3}\right )\psi(x)=\frac{2ME}{h^2}\psi(x)$

Trayendo todo al miembro de la izquierda:

$\dst \left ( -\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{x}{x_0^3} - \frac{2ME}{h^2}\right )\psi(x) = 0$

Como hay dos términos de grado 0, pueden agruparse:

$\dst \frac{x}{x_0^3} - \frac{2ME}{h^2} = \frac{x}{x_0^3} + \frac{E}{F_x x_0^3} = \frac{1}{x_0^3}\left (x + \frac{E}{F_x}\right )$

En cuanto al cambio de variable, hay que tener ojo para verlo, pero una pista nos la da la ecuación anterior. Para obtener una ecuación homogénea conviene hacer un cambio del tipo

$\dst u = \alpha \left (x + \frac{E}{F_x}\right )$
$\dst \frac{\partial u}{\partial x} = \alpha$

Para hacer este cambio, se obtienen las derivadas:

$\dst \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial}{\partial u} = \alpha \frac{\partial}{\partial u}$
$\dst \frac{\partial^2}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial}{\partial x} = \alpha^2 \frac{\partial^2}{\partial u^2}$

Con lo que la ecuación queda:

$\dst \left (- \alpha^2\frac{\partial^2}{\partial u} + \frac{1}{x_0^3\alpha}u \right )\psi(x)=0$

O lo que es lo mismo, dividiendo por $\alpha^2$:

$\dst \left (-\frac{\partial^2}{\partial u} + \frac{1}{x_0^3\alpha^3}u \right )\psi(x)=0$

Ahora bien, $\alpha$ es un factor que hemos puesto a mano y que puede tomar el valor que queramos, por ejemplo puede valer $\alpha=\frac{1}{x_0}$, quedando

$\dst \left (-\frac{\partial^2}{\partial u} + u \right )\psi(x)=0$

Que quedó tan bonita que duele xD.

Un saludo.

[sherrero]

Muchas gracias compañero, es que en los libros simplifican muchos pasos (entiendo que es para no hacer interminable el libro) pero por ejemplo lo de que $x_{0}^{3}$ apararece para que la ecuación final tenga sentido deberían indicarlo...

[teclado]

Bueno, aparece porque en principio $F_x$ puede tomar cualquier valor, así que hay que sustituirlo por algo que también pueda tomar valor, algo como $\frac{h^2}{2M}\alpha$. Pero cuando haces la sustitución puedes ver claramente que $\alpha$ debe tener dimensiones de inverso de distancia al cubo, por lo que puedes suponer que $\alpha=\frac{1}{x_0^3}$, con $x_0$ siendo una distancia, en principio desconocida, pero que se obtiene de los valores de M, E y F_x, que se suponen conocidos.

[sherrero]

El resto de solución te agradezco también todos los pasos puestos explicitamente... así si que se entiende bien la Física...