Otras carreras Producto de matrices <--> composición de operadores

[alexpglez]

Hola, me preguntaba como demostrar que hacer el producto de dos (o más) matrices es igual a componer dos (o más) operadores.
Tenemos:

$$\int \phi_i^* \hat A \phi_j dx=A_{ij}$$

Si componemos dos operadores y hacemos la integral.

$$\int \phi_i^* \hat A \hat B\phi_j dx=(AB)_{ij}$$

Pero ya que buscamos que $(AB)_{ij}=A_{ik}B_{kj}$. Tenemos que encontrar:

$$\int \phi_i(x)^* \hat A \hat B\phi_j(x) dx=\int \phi_i(x)^* \hat A \phi_k(x) dx \int \phi_k(x')^* \hat B' \phi_j(x') dx'$$

Pero no sé como se demuestra esta última igualdad, o si está bien planteada, saludos.

[arivasm]

Re: Producto de matrices &lt;--&gt; composición de operadores

Entiendo que la última igualdad que has escrito es incorrecta, pues equivale a decir que el valor esperado del operador producto es igual al producto de los valores esperados lo que no es cierto. De hecho, si lo fuese entonces dos operadores cualesquiera siempre serían conmutativos, pues el producto de las integrales del lado derecho lo es.

[Weip]

Re: Producto de matrices &lt;--&gt; composición de operadores

Se puede hacer de forma mucho más sencilla. Tus operadores son aplicaciones lineales (esto viene de un postulado). Si tenemos dos operadores lineales $\hat{A}$ y $\hat{B}$ de matrices asociadas $A$ y $B$ respectivamente:

$(\hat{A} \circ \hat{B})(\psi)=\hat{A}(\hat{B} \psi)=\hat{A}(B \psi)=AB \psi$

La generalización a más de dos operadores es obvia.

[alexpglez]

Re: Producto de matrices &amp;lt;--&amp;gt; composición de operadores

Se puede hacer de forma mucho más sencilla. Tus operadores son aplicaciones lineales (esto viene de un postulado). Si tenemos dos operadores lineales $\hat{A}$ y $\hat{B}$ de matrices asociadas $A$ y $B$ respectivamente:

$(\hat{A} \circ \hat{B})(\psi)=\hat{A}(\hat{B} \psi)=\hat{A}(B \psi)=AB \psi$

La generalización a más de dos operadores es obvia.

Me lo podrías detallar explícitamente¿?

- - - Actualizado - - -

Voy a probar:
Si a es un eigen valor de A.

$$\hat A\phi_k=a_k \phi_k$$

Para analizar que un operador lineal tiene matriz asociada, simplemente probamos a expandir cierta base donde podamos aplicar la ecuación 1. Utilizando la definición de lineal $f(a+b+...)=f(a)+f(b)+...$ esto da:

$$\hat A\phi=\hat A \sum_i c_i \phi_i=\sum_i c_i \hat A \phi_i=\sum_i c_i a_i \phi_i=\sum_{i,j} a_j \delta_{ji} c_i \phi_i=\sum_{j,i} A_{ji}c_i \phi_i$$

Para aplicarle otro operador, basta reescribir la suma anterior en base de otro operador.

$$\hat A\phi=\sum_{ji} A_{ji}c_i \phi_i=\sum_k c'_{k} \lambda_k$$

$$\hat B(\hat A \phi)=\sum_{l,k} b_l \delta _{lk}c'_k \lambda_k = \sum_{l,k} B_{lk} c'_k \lambda_k$$

No sé como volver a aplicar 2' ahora...

Gracias, un saludo.

[Weip]

Re: Producto de matrices &amp;lt;--&amp;gt; composición de operadores

Me lo podrías detallar explícitamente¿?

Iré paso por paso:

1) Que $\hat{A}$ tenga matriz asociada $A$ significa que $\hat{A}(\psi)=A \psi$.
2) Que $\hat{B}$ tenga matriz asociada $B$ significa que $\hat{B}(\psi)=B \psi$.

Lo que queremos demostrar es que partiendo de $(\hat{A} \circ \hat{B})(\psi)$ llegamos a $AB \psi$ y viceversa. Cada paso será un "si y solo si" así que lo demostramos con una cadena de igualdades.

Aplicamos la definición de composición de aplicaciones (*):

$(\hat{A} \circ \hat{B})(\psi)=\hat{A}(\hat{B}(\psi))$

Aplicamos 2):

$\hat{A}(\hat{B}(\psi))=\hat{A}(B\psi)$

Aplicamos 1):

$\hat{A}(B\psi)=AB\psi$

En definitiva, $(\hat{A} \circ \hat{B})(\psi)=AB\psi$. Ya está.

(*) Hay libros que usan otro criterio: $(f \circ g)(x)=g(f(x))$. El orden es cuestión de gustos. Eso sí una vez se elige un criterio, hay que ser consistente con él. No se puede cambiar a media argumentación.

[alexpglez]

Re: Producto de matrices &amp;amp;lt;--&amp;amp;gt; composición de operadores

Hola, me refería a explícitar el sumatorio, tal y como escribía en mi mensaje anterior. ¿Me podrías ayudar a acabar lo que empecé en mi mensaje anterior?

Gracias, saludos.

- - - Actualizado - - -

Creo que en mi mensaje fui por mal pie.. Voy a empezar, utilizo la notación de Dirac para esconder las integrales.
Definimos.

$$<\phi^n|\hat A|\phi_m>=A^n_m$$

Dónde por definición de covarianza y contravarianza:

$$<\phi^n|\phi_m>=\delta^n_m$$

Ahora aplicamos el operador a cierto vector, que al ser por definición otro vector lo podremos reescribir como C.L.:

$$\hat A|\Psi>=\hat A \sum_n c^n |\phi_n>=\sum_n c^n \hat A |\phi_n>=\sum_h c'^h |\phi_h>$$

Haciendo el producto interno con un bra de la base y aplicando la definición 1 y 1':

$$<\phi^l| (\sum_n c^n \hat A |\phi_n>)=\sum_n c^n <\phi^l| \hat A |\phi_n>=\sum_n c^n A^l_n=\sum_h c'^h <\phi^l|\phi_h>= c'^l$$

Llegando a 2:

$$c'^l=\sum_n A^l_n c^n$$

Que expandiendo el vector:

$$\hat A|\Psi>=\sum_n c'^n |\phi_n>=\sum_{n,m} A^n_m c^m |\phi_n>$$

Aplicando lo mismo para B:

$$\hat B(\hat A|\Psi>)=\sum_l c''^l |\phi_l>=\sum_{l,n} B^l_n c'^n |\phi_l>=\sum_{l,n,m} B^l_n A^n_m c_m |\phi_l>$$

Pero conforme las leyes de composición y buscando la matriz asociada del operador compuesto:

$$\hat B(\hat A |\Psi>)=(\hat B \hat A) |\Psi>=\sum_{l,m} (B A)^l_m c_m |\phi_l>$$

Por lo tanto obtenemos que:

$$(BA)^l_n=B^l_m A^m_n$$

Con lo que queda demostrado que la matriz asociada a la composición de operadores es igual a la matriz producto de sus matrices asociadas. Por lo que también es verdadera la igualdad que escribí al principio del hilo.

- - - Actualizado - - -

Entiendo que la última igualdad que has escrito es incorrecta, pues equivale a decir que el valor esperado del operador producto es igual al producto de los valores esperados lo que no es cierto. De hecho, si lo fuese entonces dos operadores cualesquiera siempre serían conmutativos, pues el producto de las integrales del lado derecho lo es.

No es incorrecta, es que no simboliza la media, escribiendo la igualdad en lenguaje bra-ket para que sea más fácil de leer:

$$<\phi^i|\hat A \hat B|\phi_j>= \sum_k <\phi^i|\hat A|\phi_k><\phi^k|\hat B | \phi_j>$$

Mientras que la media sería:

$$<\Psi|\hat A \hat B|\Psi>= <\Psi|\hat A|\Psi><\Psi|\hat B | \Psi>$$

Que obviamente, como bien recalcas generalmente no es verdad.

[arivasm]

Re: Producto de matrices &lt;--&gt; composición de operadores

Tienes razón. No había apreciado el índice de suma, k.

[Weip]

Re: Producto de matrices &amp;amp;lt;--&amp;amp;gt; composición de operadores

Hola, me refería a explícitar el sumatorio, tal y como escribía en mi mensaje anterior. ¿Me podrías ayudar a acabar lo que empecé en mi mensaje anterior?

Pero si no sirve de nada explicitar el sumatorio. Solo añades "ruido de fondo" que ensucia la demostración, la alarga innecesariamente, pierdes generalidad y enmascara la idea principal. Como ves, todo son desventajas. Respecto a tu mensaje:

Pero conforme las leyes de composición y buscando la matriz asociada del operador compuesto:

$$\hat B(\hat A |\Psi>)=(\hat B \hat A) |\Psi>=\sum_{l,m} (B A)^l_m c_m |\phi_l>$$

Por lo tanto obtenemos que:

$$(BA)^l_n=B^l_m A^m_n$$

Esto está bien, pero todo lo anterior sobra, no lo necesitas. Además fíjate que esta parte final es la misma demostración que he puesto yo pero reescrita de otra forma.

En definitiva, das mucho rodeo sin motivo. Aunque si tú lo entiendes así pues de acuerdo.