1r ciclo Centro de Masas

[niestsnie]

Hola a todos

Recuerdo a un profesor de 3ª de BUP que nos explicó que los resultados del modelo de Bohr se ajustaban mejor al experimento si se utilizaba la masa reducida del sistema electrón-nucleo. Sin embargo los pocos Hamiltonianos que ví (Oscilador, átomo de hidrógeno) en la carrera no introducían la masa reducida.
Por otra parte en el libro de Física de Roller-Blum ví un problema en el que se indicaba que la energía potencial de un oscilador, para aplicar la relatividad especial, debe considerarse asociada al sistema de referencia centro de masa.

Mi pregunta es: Existen Hamiltonianos formulados respecto al sistema centro de masas de un conjunto de partículas?

Gracias.

[aLFRe]

Re: Centro de Masas

Hola

Hola.

Recuerdo a un profesor de 3ª de BUP que nos explicó que los resultados del modelo de Bohr se ajustaban mejor al experimento si se utilizaba la masa reducida del sistema electrón-nucleo. Sin embargo los pocos Hamiltonianos que ví (Oscilador, átomo de hidrógeno) en la carrera no introducían la masa reducida.

Como ya sabes la masa reducida aparece en muchos problemas de Dinámica Clásica
de dos partículas, entre ellos el problema de dos cuerpos.
En el modelo del atómo de Bohr que explicaban en BUP
se partía del tratamiento clásico ( órbitas circulares ),
es un problema de dos cuerpos que incorporaba una hipótesis
para que de todas las órbitas posibles sólo se permitiesen unas
( la Electrodinámica clásica dice que una carga acelerada radia y por el principio de conservación, perdería energía por radiación )
en las cuales el electrón no radiaba.
Luego en rigor si hay que usar la masa reducida.
En otros posts de otros hilos de este foro puedes ver porque en muchos libros
no se considera y se pone diréctamente la masa del electrón.

Se pasa del problema de dos cuerpos al problema del movimiento de una partícula
( la masa reducida del sistema ) que dista una distancia r de un centro de fuerzas.
Pero cuando construyes el termino de la energía potencial,
en el caso del gravitatorio viene dado por
$V= -G \frac{m_1 m_2}{r}$
por lo cual tienes que conocer las masas que interacción
( para el átomo de Bohr el potencial es electrostático
e intervienen las cargas )

Digamos que la masa reducida es un truco útil para el problema de dos cuerpos,
pero hay que tener cuidado cuando construyes el potencial.
Saludos.

[niestsnie]

Re: Centro de Masas

Gracias Alfred

He buscado referencias a la masa reducida con el buscador del foro y he encontrado varios hilos. Los miraré en detalle.

Saludos.

[pod]

Re: Centro de Masas

Hola a todos

Recuerdo a un profesor de 3ª de BUP que nos explicó que los resultados del modelo de Bohr se ajustaban mejor al experimento si se utilizaba la masa reducida del sistema electrón-nucleo. Sin embargo los pocos Hamiltonianos que ví (Oscilador, átomo de hidrógeno) en la carrera no introducían la masa reducida.
Por otra parte en el libro de Física de Roller-Blum ví un problema en el que se indicaba que la energía potencial de un oscilador, para aplicar la relatividad especial, debe considerarse asociada al sistema de referencia centro de masa.

Mi pregunta es: Existen Hamiltonianos formulados respecto al sistema centro de masas de un conjunto de partículas?

Gracias.

Pues claro que se debería poner la masa reducida, pero tú estás aprendiendo mecánica cuántica, no realizando estudios súper precisos, así que lo que te importa es centrarte en los detalles cuánticos del asunto. Por eso siempre se hacen aproximaciones.

[aLFRe]

Re: Centro de Masas

Gracias Alfred

De nada.
Comentarte que mi nick ( o user id ) en lawebdefisica es aLFRe.
Mi nombre de pila, tal y como aparece en el DNI, es Alfredo.

He buscado referencias a la masa reducida con el buscador del foro y he encontrado varios hilos. Los miraré en detalle.

Cuando volvía a casa recordé algo que quizás esté en la razón de lo que tu preguntabas
sobre el Hamiltoniano. En el problema de dos cuerpos, conocer la configuración ( resolver el problema )
del sistema es tener las coordenadas
$\vec{r_1}=( x_1, y_1, z_1)$
$\vec{r_2}=( x_2, y_2, z_2)$
como funciones del tiempo.
Cuando "reducimos" el problema pasamos a preocuparnos por
la posición del c.d.m
$\vec{R}=( X, Y, Z)$
y el vector de posición de una partícula respecto de la otra:
$\vec{r}=\vec{r_2}-\vec{r_1}=( x, y, z)$
como puedes ver no hay pérdida de información
( si consideras luego las magnitudes que se conservan verás que el número de
grados de libertad del problema disminuye, pero no viene al caso eso ahora )

En problemas como el de dos cuerpos, el potencial depende de r
( el módulo del vector de posición de una partícula respecto de la otra )
y el sistema está aislado por lo cual el cdm es una partícula aislada ( trivial )
y todo estó funciona muy bién...
pero podemos usar ese truco ( o como quieras llamarlo )
( de hecho en muchos problemas de Física Estadística se hace así )
para construir el Hamiltoniano de por ejemplo una molécula diatómica
que interacciona a traves de un potencial armónico en esas coordenadas
( y sus momentos conjugados )

Muy buena tu idea y siento no haber caido en esto al principio.
Saludos.

[niestsnie]

Re: Centro de Masas

Saludos aLFRe y Pod

Pues claro que se debería poner la masa reducida, pero tú estás aprendiendo mecánica cuántica, no realizando estudios súper precisos, así que lo que te importa es centrarte en los detalles cuánticos del asunto. Por eso siempre se hacen aproximaciones.

No estoy aprendiendo física cuántica; a mis años estoy intentando comprender lo poco que se supone que sé. Terminé Física Electrónica en el año 90, pero me he dedicado profesionalemnte a la Informática.

Sin embargo creo que tienes razón, ya que la masa reducida no deja de ser una aproximación esencialmente clásica; por lo que la energía potencial, con la misma aproximación, se puede considerar desde cualquier sistema de referencia inercial.

.......y todo estó funciona muy bién...
pero podemos usar ese truco ( o como quieras llamarlo )
( de hecho en muchos problemas de Física Estadística se hace así )
para construir el Hamiltoniano de por ejemplo una molécula diatómica
que interacciona a traves de un potencial armónico en esas coordenadas
( y sus momentos conjugados )

Muy buena tu idea y siento no haber caido en esto al principio.
Saludos.

No se si te entiendo bién, pero la idea que tengo es que un Hamiltoniano se debe expresar respecto de un sistema de coordenadas inercial, de lo contrario se trata de una aproximación. Por otra parte según el problema del libro de Roller-Blum que cité, la energía potencial clásica es una magnitud asociada al sistema de coordenadas del centro de masa del conjunto de partículas. Por tanto lo mas correcto parece tomar este sistema para expresar el Hamiltoniano. Es decir: en una "primera aproximación relativista" lo mas sencillo sería escribir el Hamiltoniano respecto del centro de masa.

Saludos y Gracias por vuestras respuestas.

[aLFRe]

Re: Centro de Masas

No se si te entiendo bién, pero la idea que tengo es que un Hamiltoniano se debe expresar respecto de un sistema de coordenadas inercial, de lo contrario se trata de una aproximación. Por otra parte según el problema del libro de Roller-Blum que cité, la energía potencial clásica es una magnitud asociada al sistema de coordenadas del centro de masa del conjunto de partículas. Por tanto lo mas correcto parece tomar este sistema para expresar el Hamiltoniano. Es decir: en una "primera aproximación relativista" lo mas sencillo sería escribir el Hamiltoniano respecto del centro de masa.

Bueno... lo que yo intentaba decir y al leer mi post creo que lo dije mal,
es que un problema que se hace en Física Estadística Clásica es construir
el Hamiltoniano de un gas ideal ( no hay un termino de interacción entre las moléculas )
formado por moléculas diatómicas donde las interacciónes entre los átomos
se construyen mediante un potencial armónico.
Resulta más fácil por la dependencia del potencial de interacción entre los dos átomos
pasar de las coordenadas cartesianas de los átomos al CDM y al vector de posición
relativo y construir el Hamiltoniano total por suma de estos a cada partícula.

Hacer esto en el caso de que las moléculas interaccionen entre sí
o para velocidades próximas a las de la luz son problemas
que recuerdo haber abordado también en Física Estadística pero de los que ahora
mismo yo no recuerdo lo suficiente como para decir algo aquí.
Había otro asunto referente al centro de masas en colisiones relativistas...
y es que se recurría a un concepto distinto llamado centro de impulso
pero digo lo mismo que antes

Un saludo.

[Entro]

Re: Centro de Masas

Siendo precisos:

la masa reducida se construye así:

$\mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}$

Si $m_1>>m_2$ tenemos que $m_1+m_2\approx m_1$

con lo cual la masa reducida es:

$\mu\approx \frac{m_1m_2}{m_1}=m_2$

En un problema del átomo de Hidrógeno las masas son la masa del protón y la masa del electrón. La masa del protón es una 2000 veces mayor que la del electrón. Por eso la masa reducida se toma como la del electrón en la mayoría de los casos. (Y para átomos más gordos aún mejor la aproximación)

Pero esto es lo mismo que pasa cuando uno describe el movimiento de la tierra alrededor del sol, estrictamente deberíamos de usar la masa reducida sol-tierra, pero solo ponemos la de la tierra por la misma razón...

[niestsnie]

Re: Centro de Masas

He encontrado esto

http://es.wikipedia.org/wiki/Positronio

Para el positronio la masa reducida no es una corrección de 2º orden.
Probablemente en este caso resulte fundamental expresar el Hamiltoniano respecto del centro de masa. Para mi el Hamiltoniano sería así

$\displaystyle H = 2\frac{P^2}{2m}+V(r1-r2)$

Saludos a todos y gracias por vuestras respuestas.

[aLFRe]

Re: Centro de Masas

He encontrado esto

http://es.wikipedia.org/wiki/Positronio

Para el positronio la masa reducida no es una corrección de 2º orden.
Probablemente en este caso resulte fundamental expresar el Hamiltoniano respecto del centro de masa. Para mi el Hamiltoniano sería así

$\displaystyle H = 2\frac{P^2}{2m}+V(r1-r2)$

Saludos a todos y gracias por vuestras respuestas.

El positronio es un estado formado por un electrón y su antipartícula el positrón,
como se lee en el link que tu citas.
Como sabes las masas de una partícula y su antipartícula son idénticas
está claro que la masa reducida del sistema será algo así
$\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_e}+\frac{1}{m_e}=\frac{2}{m_e}$
$\mu=\frac{m_e}{2}$
a diferencia de la masa reducida del sistema protón-electrón
que es el átomo de Hidrógeno.

Lo que sucede es esto... cuando estudias el movimiento de la masa reducida en el
potencial columbiano si construyes el Hamiltoniano
$H = \frac{p^2}{2\mu}+V(r)$
siendo $\vec{r} =\vec{r_2}-\vec{r_1}$
y puesto que $\mu=\frac{m_e}{2}$
finalmente obtienes lo que tu tu has escrito.

El problema quedaría resuelto con las ecuaciones para el cdm del sistema
que si es aislado son triviales.

Saludos.

[niestsnie]

Re: Centro de Masas

Hola aLFRe

Estoy de acuerdo, al introducir la masa reducida el Hamiltoniano queda "parecido". Solo parecido por que el potencial debe expresarse en coordenadas inerciales y no en coordenadas "reducidas". Entiendo por coordenada reducida la que tiene como referencia una de las partículas.
Sin embargo, en la aproximación no relativista el potencial inercial y el potencial reducido son los mismos ya que

$\vec{r}_{reducido}=\vec{r}_{inercial2}-\vec{r}_{inercial1}$

Los valores a izquierda y derecha no están en el mismo sistema de coordenadas, sino que el sistema "reducido" está en movimiento relativo al inercial. Al pasar a la ecuación de Schrödinger sustituyendo operadores para el positronio resulta que el operador nabla está expresado en coordenadas reducidas, las mismas que V(r). Este paso me parece ilógico.
Por otra parte si las masas de las partículas no fuesen iguales la expresión del Hamiltoniano inercial y reducido ya no coincidiría.

Saludos.