Base de autoestados del spin

[sherrero]

Hola tengo un ejercicio..
Para un sistema de dos partculas de espin 1/2 calcule la
matriz de representacion del siguiente operador:
$\hat{V}=a+b\hat{S_{1}}\cdot\hat{S_{2}}+c\hat{S_{1z}}$

en la base: $B = |+ + >, |+ - >, |- + >, |- - >$
Indique razonadamente si esta base constituye una base de autoestados de $\hat{V}$

El tema es que lo tengo resuelto, pero no termino de entender como funcionan las bases de singlete y triplete ($S^2,S_{z}$)

Yo el + lo identifico como que está en estado de Sz $\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$ y el - $\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}$

Para resolver $\hat{S_{1}}\cdot\hat{S_{2}}$ por ejemplo aplicado a $|+ - >$ utilizo la expresión $\hat{S_{t}^{2}}=\hat{S_{1}^{2}}+\hat{S_{2}^{2}}+2\cdot\hat{S_{1}}\cdot\hat{S_{2}}$ y despejo...
pienso que $\hat{S_{1}^{2}}=\frac{h^2}{4}\sigma _{x}^{2}+\frac{h^2}{4}\sigma _{y}^{2}+\frac{h^2}{4}\sigma _{z}^{2} , siendo \rightarrow \sigma _{x}^{2}=1;\sigma _{y}^{2}=1;\sigma _{z}^{2}=1\rightarrow \hat{S_{1}^{2}}=\frac{3}{4}h^2$ y lo mismo para $\hat{S_{2}^{2}}$;
luego $\hat{S_{t}^{2}}=s(s+\frac{1}{2})h^2$ siendo s=1/2... vamos que no encuentro diferencia en cada estado aplicando el operador; y en la resolución es: $\hat{S_{1}}\cdot\hat{S_{2}}|+->=\frac{h^2}{2}|-+>-\frac{h^2}{4}+->$ y no veo de donde sale...

Gracias de antemano y un saludo

[carroza]

Hola.

Hay una forma rápida de resolver el problema, pero yo no te la voy a decir. La forma lenta, pero mucho más clarificadora, es que veas la actuación de los operadores $S_{1z}$ y $S_{2z}$ sobre cada uno de los cuatro estados de la base. Después, actúas con $S_{1x}$ y $S_{2x}$ sobre cada uno de los cuatro estados de la base.
Finalmente, actuas con $S_{1y}$ y $S_{2y}$ sobre cada uno de los cuatro estados de la base.

Una vez hecho esto, puedes ver $S_1 \cdot S_2 = S_{1z}S_{2z} +S_{1x}S_{2x} +S_{1y}S_{2y}$ actuando sobre los cuatro estados de la base.

saludos

[sherrero]

Muchas gracias por contestar, el problema ya lo tengo resuelto, la cosa es que no lo termino de comprender..
Se que hay algo que no entiendo, voy a intentar seguir tu razonamiento con el autoestado |+-> este autoestado indica que el spin del primer electrón está en estado $\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$ y el estado del segundo electrón en $\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}$ ahora opero con
$S_{1z}|+->=$ $\frac{h}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}=\frac{h}{2}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$
y $S_{2z}|+->=$ $\frac{h}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}=\frac{h}{2}\begin{pmatrix}0\\ -1\end{pmatrix}$

entonces $S_{1z}S_{2z}=\frac{h^2}{4}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1\end{pmatrix}$

hago lo mismo con $S_{1x}S_{2x}=\frac{h^2}{4}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$

y por último con $S_{1y}S_{2y}=\frac{h^2}{4}\begin{pmatrix}0 & i\\ -i& 0\end{pmatrix}$

La suma sería $S_{1}S_{2}=\frac{h^2}{4}\begin{pmatrix}1 & 1+i\\ 1 -i& -1\end{pmatrix}$

y el resultado que me debería dar...
$\hat{S_{1}}\cdot\hat{S_{2}}|+->=\frac{h^2}{2}|-+>-\frac{h^2}{4}+->$

[carroza]

Hola.

Debes tener en cuenta, que en la base B (dimension 4), todos tus operadores son matrices (4x4). Por ejemplo, $S_{1z}$, es una matriz diagonal, 4x4, cuyos elementos dependen del valor de la primera proyección del espín, no de la segunda.

A ver si con eso te aclaras tu solo.

Saludos

[sherrero]

vale creo que lo he pillado ya... es simplemente hacer producto tensorial de los operadores y del estado |+-> y me han salido las cuentas $\hat{S_{1}}\cdot\hat{S_{2}}|+->=\frac{h^2}{2}|-+>-\frac{h^2}{4}+->$