Ejercicios ecuación de Schrödinger

[cogujada]

Después de estos ejercicios, no me extrañaría que Schrödinger fuese uno de los científicos más odiados de la historia jajaja
Bueno, el caso es que me mandaron un ejercicio de la ecuación de Schrödinger (supongo que me mandarán más, pero de momento mando este). No tengo ni idea, he buscado en internet, en youtube y no he encontrado nada. Los vídeos que ha subido mi profesora tampoco me han aclarado absolutamente nada. A ver si me podéis ayudar. El ejercicio dice así:

La función radial de un orbital de un átomo de Hidrógeno es:

R(r)=(1/[9*sqrt(6)])*(1/a₀)^(3/2)*(4-[2r/3a₀])*(2r/3a₀)*e^(-r/3a₀)

a) Represente la función de distribución radial y calcule las distancias a las cuáles aparecen nodos en dicha función. Exprese dichas distancias en función de a0. Explique de qué orbital se trata.
b) Calcule las distancias a las que la densidad electrónica es máxima.
c) Indique como se modifica la función para un átomo polielectrónico
d) Represente en el mismo grafico la función de distribución radial para el orbital más externo del S y del Cl.

Habría sido más fácil si se pudiesen insertar imágenes jajaja. El caso es que la profesora en ningún momento nos ha dado la ecuación de Schrödinger en forma general y tampoco nos ha dicho cómo se obtiene lo que nos pregunta, Tampoco lo corrige, simplemente pone los resultados. No tengo ni idea, estoy más perdido que una cabra en una discoteca

Gracias de antemano, porque imagino que este ejercicio es bastante engorroso y laborioso

[teclado]

Como veo que nadie contesta voy a intentar aclarar lo que pueda.

Supongo que con la representación no tendrás problemas. Para saber los nodos solo tienes que resolver R(r)=0 y obtener las soluciones en función de a₀. Date cuenta de que las constantes se eliminan solas de la ecuación, y que como e^-r/3a0 es siempre positivo también se puede eliminar, y te queda una ecuación de segundo grado de las fáciles.

Con la densidad electrónica, como sabes R² te da la densidad de probabilidad de encontrar al electrón en un punto. A mi parecer está mal dicho, pero muchas veces es a lo que se llama densidad electrónica. De acuerdo a lo cual tendrías que calcular los máximos de esa función (R², que no R). No confundas esta densidad electrónica con la (que sigue siendo una densidad, esta vez lineal) probabilidad de encontrar al electrón a una cierta distancia, para esto tendrías que tener en cuenta la parte angular de la función, e integrar en la superficie de una esfera (como la integral de la parte angular -al cuadrado- sobre la esfera es 1, porque está normalizada, el resultado es multiplicar R² por r²).

Sobre las otras dos no me queda nada claro lo que pregunta. Con la c no sé ni por dónde empezar. Puede que se refiera a que expliques un poco por encima los efectos del apantallamiento, pero como no tengo claro el nivel de profundidad con el que tienes que contestar no me queda claro.

Con la d, lo que creo es que te pide es representar la probabilidad que menciono en el párrafo anterior (r²R²) del orbital S más externo, pero no dice ni da a entender cuál es este orbital más externo. Estando en mayúsculas se refiere a un orbital híbrido en un átomo polielectrónico, pero volviendo a lo del nivel de profundidad, puede referirse a un orbital monoelectrónico. A parte de los apartes, ¿qué es un CI?

Si me lo permites, te recomendaría que dividieras el problema en dudas más concretas indicando qué has intentado en cada caso para que se te pueda ayudar. Si te limitas a dar un enunciado da la impresión de que lo que quieres es que te den la solución sin más disertación y no invita para nada a la conversación.

PD: Intenta usar en la medida de lo posible los libros de texto. Son para eso .

PDD: ¡Sí se pueden poner imágenes, con el noveno botón por la derecha de la barra de herramientas del editor!

Un saludo.

[cogujada]

Como veo que nadie contesta voy a intentar aclarar lo que pueda.

Supongo que con la representación no tendrás problemas. Para saber los nodos solo tienes que resolver R(r)=0 y obtener las soluciones en función de a₀. Date cuenta de que las constantes se eliminan solas de la ecuación, y que como e^-r/3a0 es siempre positivo también se puede eliminar, y te queda una ecuación de segundo grado de las fáciles.

Con la densidad electrónica, como sabes R² te da la densidad de probabilidad de encontrar al electrón en un punto. A mi parecer está mal dicho, pero muchas veces es a lo que se llama densidad electrónica. De acuerdo a lo cual tendrías que calcular los máximos de esa función (R², que no R). No confundas esta densidad electrónica con la (que sigue siendo una densidad, esta vez lineal) probabilidad de encontrar al electrón a una cierta distancia, para esto tendrías que tener en cuenta la parte angular de la función, e integrar en la superficie de una esfera (como la integral de la parte angular -al cuadrado- sobre la esfera es 1, porque está normalizada, el resultado es multiplicar R² por r²).

Sobre las otras dos no me queda nada claro lo que pregunta. Con la c no sé ni por dónde empezar. Puede que se refiera a que expliques un poco por encima los efectos del apantallamiento, pero como no tengo claro el nivel de profundidad con el que tienes que contestar no me queda claro.

Con la d, lo que creo es que te pide es representar la probabilidad que menciono en el párrafo anterior (r²R²) del orbital S más externo, pero no dice ni da a entender cuál es este orbital más externo. Estando en mayúsculas se refiere a un orbital híbrido en un átomo polielectrónico, pero volviendo a lo del nivel de profundidad, puede referirse a un orbital monoelectrónico. A parte de los apartes, ¿qué es un CI?

Si me lo permites, te recomendaría que dividieras el problema en dudas más concretas indicando qué has intentado en cada caso para que se te pueda ayudar. Si te limitas a dar un enunciado da la impresión de que lo que quieres es que te den la solución sin más disertación y no invita para nada a la conversación.

PD: Intenta usar en la medida de lo posible los libros de texto. Son para eso .

PDD: ¡Sí se pueden poner imágenes, con el noveno botón por la derecha de la barra de herramientas del editor!

Un saludo.

Bueno. Los problemas me viene en el c y el d, efectivamente el a y b son relativamente sencillos. Lo has explicado a la perfección. En cuanto a la profundidad, bastante (estudio Ingeniería Química), y aunque no lo parezca, según mi profesora esto es "extremadamente importante".
El a y b, los he conseguido resolver usando el Housecroft (Química inorgánica). He estado buscando por el Petrucci y el Chang para ver si hacía referencia a lo de los átomos polielectrónicos.En efecto, hace referencia, pero de manera muy muy profunda (métodos de Slater etcétera), que a mí, me quedan y me quedarán muy grandes.
Por lo que he visto, para electrones internos (1s, 2s), a medida que aumenta Z, la gráfica se estrecha y los máximos se hacen más altos. Sin embargo, para electrones más externos (2p en adelante), la cosa se complica debido al apantallamiento, spin etc, por lo que no se puede establecer una tendencia general (como he hecho anteriormente con orbitales 1s y 2s), sino que hay que estimar a través de distintos métodos la función radial de ese electrón. Esto, no nos lo han explicado ni lo harán (sería más para un estudiante de la carrera pura).
Intuyo que no estás muy relacionado con la química (por eso agradezco enormemente tu respuesta). Cl es el símbolo del Cloro, S el del azufre. Cuando pregunta por el orbital más externo del Azufre y Cloro, se refiere al orbital en el que se sitúa el último electrón de ese átomo (en ambos casos es el 3p, igual que en el caso del enunciado, el electrón del hidrógeno está situado en el orbital 3p). Esto son electrones bastante externos, donde la tendencia de "a mayor Z, más estrecho" no sirve. Por eso estoy atascado...
No sé si me he explicado

[teclado]

Bueno. Los problemas me viene en el c y el d, efectivamente el a y b son relativamente sencillos. Lo has explicado a la perfección. En cuanto a la profundidad, bastante (estudio Ingeniería Química), y aunque no lo parezca, según mi profesora esto es "extremadamente importante".
El a y b, los he conseguido resolver usando el Housecroft (Química inorgánica). He estado buscando por el Petrucci y el Chang para ver si hacía referencia a lo de los átomos polielectrónicos.En efecto, hace referencia, pero de manera muy muy profunda (métodos de Slater etcétera), que a mí, me quedan y me quedarán muy grandes.
Por lo que he visto, para electrones internos (1s, 2s), a medida que aumenta Z, la gráfica se estrecha y los máximos se hacen más altos. Sin embargo, para electrones más externos (2p en adelante), la cosa se complica debido al apantallamiento, spin etc, por lo que no se puede establecer una tendencia general (como he hecho anteriormente con orbitales 1s y 2s), sino que hay que estimar a través de distintos métodos la función radial de ese electrón. Esto, no nos lo han explicado ni lo harán (sería más para un estudiante de la carrera pura).
Intuyo que no estás muy relacionado con la química (por eso agradezco enormemente tu respuesta). Cl es el símbolo del Cloro, S el del azufre. Cuando pregunta por el orbital más externo del Azufre y Cloro, se refiere al orbital en el que se sitúa el último electrón de ese átomo (en ambos casos es el 3p, igual que en el caso del enunciado, el electrón del hidrógeno está situado en el orbital 3p). Esto son electrones bastante externos, donde la tendencia de "a mayor Z, más estrecho" no sirve. Por eso estoy atascado...
No sé si me he explicado

Ahí le has dado. Ni se me había pasado por la cabeza que fueran símbolos químicos (hasta pensaba que la l del Cl era una i mayúscula ), gracias por la aclaración. Sin embargo, como me temía no te puedo ayudar, no llegué a cursar la física atómica y la mecánica cuántica la tengo algo oxidada, como has podido notar. Lo único que podría hacer es remitirte a libros como el Bransden o el de Sánchez del Río, pero igual se explayan demasiado para lo que quieres, tal y como los que mencionas.

Sin embargo acabo de encontrarme apuntado por ahí la fórmula general de la parte radial de la función de onda de un átomo hidrogenoide (1 sólo electrón):

$\dst R_{n,l}(r) = \sqrt{\left (\frac{2Z}{a_0n}\right )^3\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}} e^{\frac{-Zr}{a_0n}} \left (\frac{2Zr}{a_0n}\right )^l L^{2l+1}_{n-l-1}\left (\frac{2Zr}{a_0n}\right )$

Donde $L^{2l+1}_{n-l-1}$ son los polinomios de Laguerre generalizados. En mis apuntes tengo una discrepancia en la fórmula para obtenerlos, los $L_n^m$ del enlace a Wikipedia son los $L_{n-m}^m$ de mis apuntes, pero mejor fíate de Wikipedia, que por algo no pasé la física atómica . Si quieres revisarlo o quieres saber cómo es la parte angular, puedes descargar estos apuntes aquí. Son un poco crípticos, pero son más cortos que un libro de texto, a tu discrección quedan.

Sobre el apartado c, supongo que puedes argumentar que el apantallamiento produce el mismo efecto de reducir en cierto grado Z, de modo que la gráfica se ensancha y se hace más plana. Como bien mencionas, son aplicables las reglas de Slater.

Creo recordar que las de los átomos con más electrones al final quedan como combinaciones lineales de estas, pero en mi opinión, y por lo que has dicho, lo que te pide en el apartado d es la función anterior para estos átomos (aplicando de nuevo las reglas de Slater). Viendo que la ecuación que te da es precisamente de un orbital 3p, te quedaría algo similar, pero modificando Z, de forma que como dices se escala sobre el eje r y cambia el coeficiente de normalización.