Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

[visitante20160513]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

El problema es que una función de onda puede interpretarse en principio como cualquier cosa, y eso en mecánica cuántica no se explica, al menos yo no lo he visto escrito nunca. La única explicación que se suele dar es que al multiplicar dicha función por su compleja conjugada se obtiene una densidad de probabilidad, pero no sabemos que sentido tiene la propia función. Ya intenté explicarle a Richard que podría ser una pérdida de tiempo tratar de averiguarlo, pero ... no sé como explicarlo, a ver si soy capaz.

Cuando De Broglie planteó su famosa hipótesis él tenía in mente las famosas ondas de materia (1924), que son una cosa, pero después el tiempo desvió el asunto a las ondas de probabilidad, con la famosa interpretación de Copenague (1927), pero esa interpretación se produjo 3 años después de que De Broglie enunciara su famosa hipótesis. Y claro está es imposible que éste pudiera interpretar las ondas de materia como ondas de probabilidad, imagino que habría una interpretación previa para dichas funciones de onda. ¿Que eran las ondas de materia para Luis De Broglie? ¿Cual era la magnitud física que oscilaba en las ondas de materia, según De Broglie,? Imagino que él tendría alguna idea al respecto. Van por ahí mis tiros. No tiene mucho sentido para mí que la hipótesis de De Broglie se enunciara para las ondas de materia y se aplicara después a las ondas de probabilidad. Haceros cuenta de que mis conocimientos de cuántica son muy limitados y es probable que diga alguna tontería, pero analizar como evolucionan los conceptos históricamente hablando nos debería llevar a esclarecer en mayor o menor medida el asunto.

Salu2, Jabato.

[justinux]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

[FONT=Helvetica] Hola,[/FONT]
[FONT=Helvetica] A parte de las razones técnicas y matemáticas que ya se han apuntado más arriba, y las razones físicas de simetría, que a mi entender son razones físicas profundas, daré una razón que me parece importantisima: Si tomamos como densidad de pobabilidad el módulo de la función de onda en vez de su cuadrado, y consideramos la ecuación de Schrodinger tal y como se formula en QM, entonces la probabilidad no se conserva en el tiempo. Si la probabilidad de encontrar la particula en cualquier punto del espacio es el 100 por cien en un instante, ya no lo será en un instante posterior.[/FONT]
[FONT=Helvetica]
[/FONT]
[FONT=Helvetica](haciendo que todas las constantes sean 1 por simplicidad , la Ec de Schrondinger queda,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$i\partial_t \psi = H\psi$[/FONT]
[FONT=Helvetica]y por tanto,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$-i\partial_t \psi^* = (H\psi)^*$[/FONT]
[FONT=Helvetica]Entonces supongamos una función de onda normalizada a la richard, o sea tal que en t=0,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$P(t=0)= \int_ |\psi| d^3x = \int \sqrt{\psi \psi^*} d^3x =1$[/FONT]
[FONT=Helvetica] y ahora derivamos respecto del tiempo para un instante t cualquiera,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\frac{dP(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \int \sqrt{\psi \psi^*} d^3x = -i\int \frac{\psi^*(i\partial_t\psi) - \psi(-i\partial_t\psi^*)}{2\sqrt{\psi \psi^*}} d^3x$[/FONT]
[FONT=Helvetica]y haciendo uso de la Ec de Schrodinger, obtenemos,[/FONT]
[FONT=Helvetica]$\frac{dP(t)}{dt}=-i\int\frac{\psi^*H\psi - \psi (H\psi)^*}{2\sqrt{\psi^*\psi}} d^3x = \int \frac{\vec\nabla\cdot \vec J}{2|\psi|}d^3x$[/FONT]
[FONT=Helvetica]donde $\vec J = \frac{-i}{2m} \left(\psi^*\vec\nabla\psi - \psi\vec\nabla\psi^*\right)$[/FONT]
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[FONT=Helvetica]es la corriente asociada a $\psi$. En la última integral el integrando no se reduce a una divergencia, lo cual hace que dicha integral no es cero en general, incluso cuando integramos a todo el espacio. Por tanto P(t) dejará de valer 1 , es decir se pierde unitariedad.[/FONT]
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[FONT=Helvetica]Por tanto si se usara la normalización propuesta habría que cambiar prácticamente toda la QM.[/FONT]
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[carroza]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

Pero si $|\psi|^2$ es un invariante me pregunto por que no lo será su raiz cuadrada $|\psi|$

$|\psi(x)|^2$ no es un invariante frente a cambios de base, pero $\int|\psi(x)|^2 dx$ si lo es.

De la misma forma, $|v_x|^2$, la componente x de un vector $\vec v$ al cuadrado, no es un invariante frente a rotaciones, pero $|v_y|^2+|v_y|^2+|v_z|^2$ si lo es.

- - - Actualizado - - -

aunque no se si se cumple $\left (|\Psi(x)|^2+|\Phi(x)|^2 \right )=\left (|\Psi(x)+\Phi(x)|^2 \right )$ en el espacio de Hilbert, si fuera cartesiano diria que no.

Esto no se cumple. Si se cumpliera, desaparecerian todo los fenómenos de interferencia, doble rendija incluida.

[alexpglez]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

De hecho, releyendo los postulados de la mecánica cuántica, https://es.wikipedia.org/wiki/Postul..._cu%C3%A1ntica
El primer postulado dice que es un vector en el espacio de Hilbert, o sea que va a cumplir las propiedades de los vectores. Por otra parte entiendo de aquí entonces que toda ecuación en mecánica cuántica tiene que ser necesariamente lineal, quiero preguntar si así es también para los campos fuertes, débiles y gravitatorio¿?

El tercer postulado, de la medida, postula que la función de onda es la densidad de probabilidad y por tanto podemos hablar de cómo definir media, varianza, incertidumbre, con matrices, operadores, vectores o funciones de onda.

Estos argumentos aquí explicados deben ya poder indicar correctamente por qué esto se ha postulado así.

[visitante20160513]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

Una matiz, nada más, la función de onda no es la densidad de probabilidad, la función de onda es $\Psi$ y la densidad de probabilidad es $\Psi\Psi^*$

Salu2, Jabato.

[alexpglez]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

Una matiz, nada más, la función de onda no es la densidad de probabilidad, la función de onda es $\Psi$ y la densidad de probabilidad es $\Psi\Psi^*$

Salu2, Jabato.

Gracias, eso quería decir, me debió de dar algún lapsus.

[justinux]

Re: Normalización, función de onda, densidad de probabilidad

Hola, Respecto de los postulados, decir que en el primero se dice que los estados físicos son “rayos” de un espacio de Hilbert, y no exáctamente vectores del espacio de Hilbert. Un rayo, al igual que en un espacio euclideo es una dirección , o sea, una clase de vectores que tienen la misma dirección. Una forma estándar de elegir un representante del rayo es dando aquel que tiene norma unidad. Esta sutil diferencia permite entre otras cosas que tengamos fermiones. El cambio de signo bajo una rotación de 360 grados daría otro estado distinto en el caso en que un estado se identificara a un vector, mientras que es el mismo estado si este viene representado por un rayo. Y respecto al hamiltoniano, este es siempre un operador lineal. Las teorías no lineales hacen referencia a la representación en términos de campos de dicho hamiltoniano. En ese caso las variables dinámicas son los campos, y la dependencia del hamiltoniano en esos campos puede o no ser lineal (al igual que el oscilador anharmónico puede depender de x^3 o x^4 o el átomo de hidrógeno depende de 1/r, que son funciones no lineales de las coordenadas). No hay que confundir los campos de la TCC con la función de onda (que en ese caso serían funcionales de onda de los campos). Saludos