Oscilador Anarmónico - duplicación de una sola partícula, en dos puntos

[kartazion]

Buenos dias.

Actualmente estoy trabajando en una ecuación que hace posible establecer la duplicación de una sola partícula en movimiento, en dos puntos distintos.

Este mecanismo utiliza un oscilador anarmónico clásico, que se sincroniza a alta frecuencia.

De hecho, la densidad de masa de la partícula, y su probabilidad de presencia, es más importante en los dos extremos de x (puntos de giro en el pozo potencial, donde la partícula gira para comenzar de nuevo en la otra dirección )
Entre dos, la aceleración de la partícula allí es muy alta, tan alta que la probabilidad de la presencia de la partícula allí es muy baja, a diferencia de las extremidades donde puede marcar una cierta parada, por ejemplo.



Mi pregunta es, ¿alguna vez has tenido conocimiento de tal ecuación?

Gracias.

[carroza]

Hola. Hay una amplia literatura sobre osciladores anarmónicos. Por ejemplo, el potencial de Morse, que tiene soluciones analíticas y un numero finito de estados ligados.

En todos los osciladores, armónicos o anamónicos, se cumple que, en los puntos de retorno, la función de onda se hace más grande. En el límite clásico, la función de onda se haría infinita, lo cual es coherente con que, como la velocidad clásica en ellos es cero, la densidad de probabilidad de encontrarse allí, en un instante dado de tiempo, es muy alta.

En todos esos casos de osciladores, descritos en mecánica cuántica convencional, si hay una partícula oscilando al principio siempre hay una partícula. No se "duplican" las partñiculas.

En teoría cuántica de campos si pueden crearse, aniquilarse, duplicarse o triplicarse partículas. Depende de la forma de la densidad lagrangiana correspondiente.

Bueno, con esto ya nos aclararás tu pregunta.

Saludos

[kartazion]

Buenas tardes, y gracias por responder.

Quiero excluir toda la parte cuántica y explotar solo la parte clásica de la oscilación.
Esto equivale a duplicar una partícula real de masa m en dos puntos visualmente distintos.

Pero tengo una pregunta sobre el lagrangiano:

En teoría cuántica de campos si pueden crearse, aniquilarse, duplicarse o triplicarse partículas. Depende de la forma de la densidad lagrangiana correspondiente.

Las partículas que se manipulan allí tienen forma de función de onda, ¿verdad?

Bueno, con esto ya nos aclararás tu pregunta.

¿Existe ya un enfoque conocido para la ecuación de la duplicación de una partícula clásica, en dos puntos?

[The Higgs Particle]

Quiero excluir toda la parte cuántica y explotar solo la parte clásica de la oscilación.

Pero es que sin mecánica cuántica - sin teoría cuántica de campos, más concretamente, como te indica Carroza -, lo que indicas no es posible

Las partículas que se manipulan allí tienen forma de función de onda, ¿verdad?

No entiendo a qué te refieres aquí. Todas las partículas tienen una función de onda, y la clave está en cuando puedes tratar todo esto con el formalismo de segunda cuantización, con operadores de creación y destrucción.

[kartazion]

Pero es que sin mecánica cuántica - sin teoría cuántica de campos, más concretamente, como te indica Carroza -, lo que indicas no es posible

Marco en el extremo de una hoja no afilada de una sierra de calar, un consecuente punto amarillo. Cuando nos detenemos, solo vemos un punto amarillo, pero cuando enciendo la sierra de calar, el punto amarillo se multiplica a lo largo de la hoja.

¿Cómo explicar esto matemáticamente?

[teclado]

Marco en el extremo de una hoja no afilada de una sierra de calar, un consecuente punto amarillo. Cuando nos detenemos, solo vemos un punto amarillo, pero cuando enciendo la sierra de calar, el punto amarillo se multiplica a lo largo de la hoja.

¿Cómo explicar esto matemáticamente?

Lo que mencionas es un simple efecto óptico debido a la falta de precisión del ojo o la cámara. Creo que lo que buscas es calcular la ecuación de la trayectoria, y dividir ésta en intervalos de tiempo regulares en los que tu "obturador" está abierto. Para saber la "forma" que tendría el punto de la sierra visto por una cámara tendrías que tomar en consideración el mecanismo que te permite tomar la imagen: El tiempo que permanece el obturador abierto y cerrado, la forma en que se abre... Y ten en cuenta que tu resultado dice mucho más acerca de este mecanismo que del movimiento del punto, que tienes perfectamente definido con la ecuación de la trayectoria.

De todas formas, aunque dieras con una función que te pudiera dar una probabilidad de encontrar al punto en un determinado lugar en un determinado momento, este resultado no es una función de onda, ni en el sentido cuántico ni en ningún otro. Si marcas en la sierra un segundo punto, el resultado que obtengas no será una interferencia entre los resultados individuales, si no más bien una superposición.

Un saludo.

[kartazion]

Lo que mencionas es un simple efecto óptico debido a la falta de precisión del ojo o la cámara.

¿No sería el mismo método de observación utilizado para las rendijas de Young?

Para saber la "forma" que tendría el punto de la sierra visto por una cámara tendrías que tomar en consideración el mecanismo que te permite tomar la imagen: El tiempo que permanece el obturador abierto y cerrado, la forma en que se abre... Y ten en cuenta que tu resultado dice mucho más acerca de este mecanismo que del movimiento del punto, que tienes perfectamente definido con la ecuación de la trayectoria.De todas formas, aunque dieras con una función que te pudiera dar una probabilidad de encontrar al punto en un determinado lugar en un determinado momento, este resultado no es una función de onda, ni en el sentido cuántico ni en ningún otro.

Realmente muy interesante.

Si marcas en la sierra un segundo punto, el resultado que obtengas no será una interferencia entre los resultados individuales, si no más bien una superposición.

¿No sería también una superposición en lugar de una interferencia al experimentar de Young?

[teclado]

¿No sería el mismo método de observación utilizado para las rendijas de Young?

No entiendo cómo has hecho esta asociación. En el experimento de Young el comportamiento ondulatorio no se debe a que las partículas vayan demasiado rápido, ocurre porque es la naturaleza de los objetos que estás estudiando a cualquier velocidad. Clásicamente esta naturaleza es totalmente distinta, y aunque tu ojo no sea capaz de verlo como tal, se asume que las partículas son puntuales.

¿No sería también una superposición en lugar de una interferencia al experimentar de Young?

Con superposición no me refiero a nada raro ni misterioso, sólo que te quedan patrones que se solapan o se superponen como quien superpone dos transparencias. En el experimento de Young hay interferencia mientras se desconozca la rendija por la que pasa la partícula, en caso contrario no la hay porque la f.d.o. habría colapsado a una que no se transmite por una de las aberturas. ¿A qué superposición te refieres?

[kartazion]

En el experimento de Young el comportamiento ondulatorio no se debe a que las partículas vayan demasiado rápido, ocurre porque es la naturaleza de los objetos que estás estudiando a cualquier velocidad.

Es cierto que en el caso de la sierra de calar, el punto amarillo se multiplica en longitud gracias a su velocidad de movimiento transversal.
Pero el método con el que deseo trabajar consta de dos puntos fijos.
Para lograr esto, es suficiente alternar a alta frecuencia una partícula desde un punto fijo A a un punto fijo B espaciados varios centímetros entre sí.
Cuando la partícula está en A donde B permanece un breve instante parado, donde entre dos su desplazamiento es de valor casi instantáneo (velocidad de la luz).
Para el ojo humano, o en la foto, la parte visible se vuelve doble e inmóvil.

...

El colapso de la función de onda es realmente una rareza (extraño).

"Me gusta pensar que la luna está ahí, incluso si no estoy mirando." Albert Einstein.

[kartazion]

Lo que mencionas es un simple efecto óptico debido a la falta de precisión del ojo o la cámara.

Buenas tardes,

No deseo revivir el tema, pero es precisamente esta parte la que deseo explotar para poder explicar el principio de duplicación:

https://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_óptico

En la versión en inglés podemos ver algunas formulaciones / estimaciones:

https://en.wikipedia.org/wiki/Optical_flow

Atentamente.

[teclado]

Déjame explicarme mejor, y veamos lo que surje.

Si lo que quieres es calcular clásicamente la probabilidad de que tu partícula se encuentre en un intervalo (x₁, x₂), puedes hacerlo a partir de la ecuación de la trayectoria x=f(t), dividiendo el tiempo que pasa ésta en cada periodo en ese intervalo por el periodo de la oscilación. No te hace falta un oscilador anarmónico para ello, te vale para cualquier trayectoria, sea cerrada o no (en cuyo caso el tiempo por el que habrías de dividir sería el total de la trayectoria).

En una aproximación lineal el tiempo que pasa una partícula con trayectoria x=f(t) en el intervalo $(x, x+\Delta x)$ te vendría dado por $\Delta t=\frac{\Delta x}{v}$, donde v es la velcidad ($v=\frac{d f}{dt}(x)$). De este modo tu función de probabilidad quedaría $P(x)\Delta x=\frac{C}{T}\frac{\Delta x}{v(x)}$.

Asumiendo $\Delta x$ constante, y tomando el límite cuando este intervalo se hace infinitesimal, tendrías que imponer

$\dst \int_{t=0}^{t=T} P(x)dx =\frac{C}{T}\int_{t=0}^{t=T}\frac{1}{v(x)}dx = 1$, de donde obtendrías C=1 y $P(x)=\frac{1}{T}\frac{1}{v(x)}$.

Como ves, esta probabilidad no es más alta donde la aceleración es mayor, si no donde su velocidad es menor, que son casos que pueden no coincidir según sea f(t).

Te animo a que no malinterpretes esta distribución de probabilidad. Me explico: Con ella puedes obtener la probabilidad de que tu partícula se encuentre en un intervalo (x₁, x₂) haciendo

$\dst P(x_1 < x < x_2) = \int_{x_1}^{x_2} P(x) dx$

Sin embargo como puedes comprobar el tiempo no tiene nada que hacer aquí, esta probabilidad depende únicamente de x, y el momento del tiempo en el que la calcules es irrelevante.

Con todo lo anterior a modo de introducción, y no queriendo entrar a debatir el motivo, la distribución de probabilidad que te quedaría dependiendo del punto x y el tiempo t₀ tendría la siguiente forma:

$\dst P(x,t_0) = \delta(x-f(t)) \delta(t_0-t)$

Donde $\delta(z)$ es la función delta de Dirac. Con esta distribución de probabilidad podrías conocer la probabilidad de encontrar la partícula entre los puntos x₁ y x₂, y en en intervalo de tiempo (t₁, t₂) de una manera análoga:

$\dst P(x_1 < x < x_2, t_1 < t < t_2) = \int_{x_1}^{x_2}\int_{t_1}^{t_2}P(x,t)dxdt$

Si investigas la distribución delta de Dirac, verás que esta probabilidad es 0 siempre que los intervalos en espacio y tiempo no contengan la partícula en su movimiento, y 1 siempre que la contengan. Date cuenta de que la ecuación de la trayectoria es lo que te está devanando los sesos, ya que hay una relación implícita entre x y t, precisamente la x=f(t) que ya hemos mencionado, de modo que si tomas la integral durante todo el periodo de las oscilación (T, o toda la trayectoria), te queda la distribución de probabilidad que antes he sacado a colación.

Uno siempre puede ampliar o reducir estos intervalos a su voluntad y decir que la probabilidad de encontrarse la partícula en según que puntos en según qué momento es 1 o 0 según le convenga.

Para ser más claro, si tu ojo es capaz de captar 24 imágenes por segundo, la imagen que te mostrarán será la de una línea de determinada longitud, cada punto con su densidad. En tu caso te bastará una frecuencia de 24 Hz para que tu ojo vea una línea contínua y la integral anterior te arroje la distribución que he mencionado anteriormente. Sin embargo, si tu ojo captara 1 imagen cada 24000 años, la frecuencia "alta" que mencionas sería de unos 1,32124133266e-12 Hz, esto es una imagen cada los 756863999998 segundos, que son todo ese tiempo.

Esto último es tan altamente subjetivo que no cabe su mención en una descripción de la naturaleza en sí misma, y como he dicho anteriormente tiene más que ver con las restricciones a las que nos vemos sujetos por nuestra propia imperfección que con una descripción lógica de la realidad.

Esto no lo he escrito con la mejor de las ganas y espero que te baste, pero también espero que te haya servido de alguna ayuda en tus elucubraciones y que aún así tengas la delicadeza de abstenerte de citar.

Un saludo.

[kartazion]

Calificaría esta respuesta como una obra maestra. Verdaderamente.

Lo reutilizaré en el proyecto.

Esto último es tan altamente subjetivo que no cabe su mención en una descripción de la naturaleza en sí misma, y como he dicho anteriormente tiene más que ver con las restricciones a las que nos vemos sujetos por nuestra propia imperfección que con una descripción lógica de la realidad.

Una imperfección?

Pero entonces, ¿qué pasa con el mecanismo de transferencia del zócalo a la imagen de una cámara digital?
¿También está sujeto a una imperfección física o cuántica en la transferencia de información entre la vista real y la imagen?

[teclado]

Cualquier instrumento está sujeto a limitaciones clásicas (en oposición a las restricciones que la mecánica cuántica implica, que no son aplicables ni necesarias en estos ámbitos), que puedes ver en las especificaciones técnicas del fabricante. Esto incluye cualquier cámara digital o analógica.

En cuanto a ese mecanismo de "transferencia del zócalo" que mencionas, lo he buscado y no he conseguido averiguar a qué te refieres.

[kartazion]

Cualquier instrumento está sujeto a limitaciones clásicas (en oposición a las restricciones que la mecánica cuántica implica, que no son aplicables ni necesarias en estos ámbitos), que puedes ver en las especificaciones técnicas del fabricante. Esto incluye cualquier cámara digital o analógica.

Lo que no quiero es especular.
La limitación clásica solo se debe al pináculo de las posibilidades cuánticas. En otras palabras, el rendimiento de la física cuántica gobierna el de la física clásica, no al revés.
Creo que cualquier fenómeno físico merece tener una explicación matemática antes de tratar de comprender exhaustivamente la mecánica cuántica.

En cuanto a ese mecanismo de "transferencia del zócalo" que mencionas, lo he buscado y no he conseguido averiguar a qué te refieres.

Si tanto para mi. Es un error de traducción.

[teclado]

La limitación clásica solo se debe al pináculo de las posibilidades cuánticas.

Para nada. Las limitaciones a las que me refiero son puramente tecnológicas. Uso el término clásico poque has utilizado antes la palabra "cuántica", pero son limitaciones dadas por la técnica. Puedes tener una regla que mida en centímetros y otra que tenga las marcas de los milímetros y cada una te dará una medida con su precisión. De la misma manera tus ojos captan una imagen cada 1/24 segundos, mientras que una cámara como la que mencioné en un post anterior capta una imagen cada 24000 años (ya se que es una cámara un tanto rocambolesca, pero sólo quería poner un ejemplo ilustrativo).