1r ciclo Problema de spin de una partícula

[electronperdido]

Buenos dias, a ver si me pudieran ayudar con este problema: Una partícula de spin 1 se encuentra en un estado con un valor bien definido de la componente z del spin e igual a $+\hbar$. Supongase que en este estado se mide el spin en una dirección del plano xz formando un ángulo $\theta$ con el eje $z$. ¿Que valores podemos obtener en esta medida y con que probabilidades?

[teclado]

Hola,

Me sale una cosa un poco rara y no lo he revisado, pero lo he planteado de la siguiente manera:

Los momentos angulares en cada sistema de ejes, $\vec{L}$ y $\vec{L'}$, se relacionan por una rotación, pongamos alrededor del eje X, de manera que

$\dst L_z = \cos\theta L_z' + \sin\theta L_y'$

Y a su vez sabes que

$\dst L_y' = \frac{i}{\sqrt{2}}\left (L_-'-L_+' \right )$,

de modo que

$\dst L_z = \cos\theta L_z' +\frac{i\sin\theta}{\sqrt{2}}\left (L_-' - L_+'\right )$

Suponiendo que el estado $|1\rangle$ se descompone en la base de $\lbrace L'^2, L_z'\rbrace$ de la siguiente manera (obviando el número cuántico l', que es el mismo que l, y tomándonos la libertad de marcar con un apóstrofe los autoestados de L_z':

$\dst |1\rangle = \alpha|-1'\rangle + \beta|0'\rangle + \gamma|1'\rangle$

Se puede aplicar L_z a ambos lados de lo anterior, y operando un poco queda algo parecido a lo siguiente:

$\dst |1\rangle = \left (-\alpha\cos\theta + \beta\frac{i\sin\theta}{\sqrt{2}}\right )|-1'\rangle + \frac{i\sin\theta}{\sqrt{2}}\left (-\alpha + \gamma\right )|0'\rangle + \left (\gamma\cos\theta - \beta\frac{i\sin\theta}{\sqrt{2}}\right )|1'\rangle$

Igualando los coeficientes de las dos descomposiciones anteriores se llega a un sistema lineal, compatible e indeterminado, de donde

$\dst \alpha = \frac{i\beta}{\sqrt{2}}\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}$
$\dst \gamma = -\frac{i\beta}{\sqrt{2}}\frac{\sin\theta}{1-\cos\theta}$

Como $\beta$ aparece multiplicando cada coeficiente con potencia 1, se puede asumir cualquier fase (quedaría un factor de fase global, que es irrelevante). En particular, asumiendo que es real, y aplicando la condición de normalización:

$\alpha^*\alpha+\beta^2+\gamma^*\gamma=1$

Me da lo siguiente

$\dst \beta = \frac{\sin\theta}{\sqrt{2}}$

y con lo anterior el resto de coeficientes. La probabilidad de obtener cada autovalor vendrá dada por el módulo al cuadrado del que de ellos corresponda a cada autoestado de $L_z'$.

Resumiendo, queda:

$\dst \alpha = \frac{i}{2}\left (1-\cos\theta\right )$
$\dst \beta = \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta$
$\dst \gamma = -\frac{i}{2}\left (1+\cos\theta\right )$

Saludos.

Actualización: Si representas las probabilidades de cada uno queda tan bonito como así :