2o ciclo Demuestre que el flujo de probabilidad se puede escribir de la siguiente manera:

[Enrique1990]

Demuestre que el flujo de probabilidad:


$J=-\frac{i\hbar}{2m}\left ( \psi ^{*}\bigtriangledown \psi -\psi \bigtriangledown \psi ^{*} \right )$


se puede escribir de la siguiente manera:


$J=\frac{\hbar}{m}Im\left ( \psi ^{*}\bigtriangledown \psi \right )$


en donde $Im$ representa la parte imaginaria de la función de onda


Este problema lo e estado desarrollando de la siguiente manera:

Una función de onda siempre puede ser representada como una función compleja separada en una parte real (Re) y una parte imaginaria (Im) asi que:


$\psi =Re\left ( \psi \right )+Im\left ( \psi \right )$



Asi que su conjugado es de la forma:


$\psi^{*} =Re\left ( \psi \right )-Im\left ( \psi \right )$


Del mismo modo:


$\bigtriangledown \psi =Re\left (\bigtriangledown \psi \right )+Im\left ( \bigtriangledown \psi \right )$


$\bigtriangledown \psi^{*} =Re\left (\bigtriangledown \psi \right )-Im\left ( \bigtriangledown \psi \right )$


Tenido esto esto ahora sustituimos en nuestra ecuación


$J=-\frac{i\hbar}{2m}\left ( \psi ^{*}\bigtriangledown \psi -\psi \bigtriangledown \psi ^{*} \right )$


$J=-\frac{i\hbar}{2m}\left [ \left (Re\left ( \psi \right )-Im\left ( \psi \right ) \left ( Re\left (\bigtriangledown \psi \right )+Im\left ( \bigtriangledown \psi \right ) \right ) \right )-\left ( Re\left ( \psi \right )+Im\left ( \psi \right )\left ( Re\left (\bigtriangledown \psi \right )-Im\left ( \bigtriangledown \psi \right ) \right ) \right ) \right ]$


Simplificamos esto y tenemos:



$J=-\frac{i\hbar}{2m}\left [ 2Re\left ( \psi \right )\cdot Im\left ( \bigtriangledown \psi \right )-2Re\left ( \bigtriangledown \psi \right )\cdot Im\left ( \psi \right ) \right ]$


$J=-\frac{i\hbar}{m}\left [ Re\left ( \psi \right )\cdot Im\left ( \bigtriangledown \psi \right )-Re\left ( \bigtriangledown \psi \right )\cdot Im\left ( \psi \right ) \right ]$


Hasta aquí solo e podido llegar, me podrían ayudar con este problema, de antemano muchas gracias.

[teclado]

Hola, yo iría más por aplicar reglas más generales:

Dado dos complejos z₁ y z₂:

$<br /> \begin{aligned}<br /> z_1 &= a+ib \\<br /> z_2 &= c+id \\<br /> z_1z_2 &= (ac-bd) + i(ad+bc) \\<br /> z_1^{*} &= a-ib \\<br /> z_2^{*} &= c-id \\<br /> z_1^{*}z_2^{*} &= (ac-bd) + i(-ad-bc) = (ac-bd) - i(ad+bc) = (z_1z_2)^{*}<br /> \end{aligned}<br />$

Con a, b, c, d reales.

Además, para z complejo y x real,

$\frac{\partial z^{*}}{\partial x} = \left (\frac{\partial z}{\partial x}\right )^{*}$

Partes de

$J=-\frac{i\hbar}{2m}\left ( \psi ^{*}\bigtriangledown \psi -\psi \bigtriangledown \psi ^{*} \right )$

Arreglándolo un poco tienes

$J=-\frac{i\hbar}{2m}\left (\psi^{*}\bigtriangledown\psi - (\psi^{*}\bigtriangledown\psi)^{*} \right )$

Lo que hay en el paréntesis grande es, precisamente $2iIm(\psi^{*}\bigtriangledown\psi)$.

[teclado]

También fíjate en que cuando haces

$J=-\frac{i\hbar}{2m}\left [ \left (Re\left ( \psi \right )-Im\left ( \psi \right ) \right ) \left ( Re\left (\bigtriangledown \psi \right )+Im\left ( \bigtriangledown \psi \right ) \right ) -\left ( Re\left ( \psi \right )+Im\left ( \psi \right ) \right ) \left ( Re\left (\bigtriangledown \psi \right )-Im\left ( \bigtriangledown \psi \right ) \right ) \right ]$

Estás olvidando la $i$ que debe multiplicar a la parte imaginaria, debería ser

$J=-\frac{i\hbar}{2m}\left [ \left (Re\left ( \psi \right )-iIm\left ( \psi \right ) \right ) \left ( Re\left (\bigtriangledown \psi \right )+iIm\left ( \bigtriangledown \psi \right ) \right ) -\left ( Re\left ( \psi \right )+iIm\left ( \psi \right ) \right ) \left ( Re\left (\bigtriangledown \psi \right )-iIm\left ( \bigtriangledown \psi \right ) \right ) \right ]$

Con este cambio, al final te queda:

$J=-\frac{i\hbar}{m}\left [ iRe\left ( \psi \right )\cdot Im\left ( \bigtriangledown \psi \right )-iRe\left ( \bigtriangledown \psi \right )\cdot Im\left ( \psi \right ) \right ]$

Sacando factor común la i, como tienes otra fuera el signo - se cancela con la i² y tienes

$J=\frac{\hbar}{m}\left [ Re\left ( \psi \right )\cdot Im\left ( \bigtriangledown \psi \right )-Re\left ( \bigtriangledown \psi \right )\cdot Im\left ( \psi \right ) \right ]$

Si desarrollas $Im(\psi^{*}\bigtriangledown \psi)$ en términos de las partes reales e imaginarias de $\psi$ y $\bigtriangledown\psi$, el resultado es lo que hay entre corchetes arriba, que es lo mismo que te ha dado, con la pequeña diferencia del factor que te faltó poner.