2o ciclo Problema de Zermelo

[carroza]

Hola. En un hilo reciente, https://forum.lawebdefisica.com/foru...de-la-igualdad se hizo una referencia de pasada al problema de Zermelo. El problema clásico https://en.wikipedia.org/wiki/Zermel...gation_problem consiste en averiguar la dirección en la que tiene que dirigirse un barco, para ir de un punto A a un punto B, en presencia de unos vientos que pueden ser diferentes a los largo del camino.

Pueden hacerse versiones cuánticas de ese problema. La que me gustaría plantearos, como ejercico, se puede plantear de la forma siguiente, Tenemos un sistema cuántico descrito inicialmente $(t=0)$ por un estado $|\psi_i \rangle$, y queremos que, tras un tiempo dado $t=T$, este estado se convierta en un estado prefijado $|\psi_f \rangle$, La pregunta es: Cuál es el hamiltoniano más "simple", y más "debil" para que esto ocurra.

Si quereis, para fijar ideas, podeis considerar que los estados $|\psi_i \rangle$, $|\psi_f \rangle$, pueden desarrollarse en una base del espacio de Hilbert $|n \rangle$, donde $n = 1 , \dots, N$, siendo N la dimension del espacio de Hilbert que es arbitraria. Esta base podremos escogerla como queramos (por ejemplo, usando los autoestados del hamiltoniano), aunque también puede resolverse el problema sin desarrolar explicitamente en una base dada.

Un saludo

[Livilro]

Si queremos pasar de A a B siguiendo un principio de camino predeterminado, encontrandonos además con variables externas y aleatorias,
no se puede hacer con exactitud sin asumir un parámetro que recoga toda la información que no disponemos de ese "viento aleatorio" y su afectación a una trayectoria mínima-maxima ideales (sin rozamientos) precalculada.

Un parámetro que relacione el cambio de complejidad (desviación) que estas trayectorias sufren durante el recorrido A-B debido a dichas variables aleatorias.


Ya que el factor "viento aleatorio" imposibilita dichas trayectorias,
consideremos pues un camino estacionario o camino de Hamilton.

(Lo cual no es del todo correcto ya que en verdad siempre es camino mínimo si tuviesemos toda la información del "viento aleatorio".)( solo es estacionario en el precalculo sin información. )


Se puede notar que este problema además tiene matices del "problema del viajante de comercio" aún estableciendo este mas intervalos que solo pasar de A-B.




Perdona Carroza, solo estaba exponiendo'me' la situación,
¿supongo que el hamiltoniano tendrá una buena dósis de inexactitud mientras no definamos completamente ese viento aleatorio?

Ojalá alguien se anime para poder aprender como procedeis al respecto,
me parecen muy interesantes este tipo de problemas con falta de información, gracias y saludos

[carroza]

Livilro, gracias por tu interés.

Por fijar ideas: El problema cásico de Zermelo no tiene nada aleatorio. La solución es la que viene en la wikipedia.

El problema que os planteo es un problema cuántico idealizado, que no tiene nada que ver con ningun tipo de viento, aleatorio o no. Simplemente, es un problema de determinar el hamiltoniano para que la evolución sea de un determinado tipo.

Un saludo

[sater]

¿Podría ser algo como...

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$$<br /> \hat H(t)=\dfrac{i\hbar \Theta(t-T)}{t} \ln\left(|\psi_f\rangle \langle \psi_i|\right)<br />$$

con $\Theta(t-T)$ la función escalón

?

[carroza]

El hamiltoniano debería ser un operador hermítico. Puedes encontrar expresiones mucho más simples, en las que el hamiltoniano es independiente del tiempo.

[sater]

Ups! Comencé escribiendo el operador evolución y no me preocupé de que fuera unitario, mea culpa. Seguiré pensando cuando saque un rato.

[carroza]

Hola. Voy a dejaros una solución a este problema

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Podemos expresar los estados iniciales y finales en función de un estado "medio" y un estado "diferencia", ambos normalizados
$| \psi_i \rangle= \cos \theta| M \rangle + \sin \theta | D \rangle \quad ; | \psi_f \rangle= \exp(- i \phi) \left( \cos \theta | M \rangle - \sin \theta | D \rangle \right)$

Los parámetros $\theta , \phi$ se obtienen facilmente del producto escalar $\langle \psi_f |\psi_i \rangle = \exp(i \phi) \cos(2 \theta)$

Ahora, basta con que el operador de evolución, en un tiempo T, cambie la fase de $| M \rangle$ en $- \phi$, y cambie la fase de $| D \rangle$ en $- \phi + \pi$.

Esto se consigue, de la forma más simple posible, con un hamiltoniano diagonal en una base que contenga $D, M$, y que se exprese como

$\hat H = ( \phi \hbar /T) |M \rangle \langle M| + ( (\phi - \pi) \hbar /T) |D \rangle \langle D|$

Saludos