duda con el estado justo después de la medida

[rubenpm]

Hola tengo la siguiente duda:

Si mides una magnitud física que tiene asociada un operador con espectro continuo (por ejemplo la posición) y obtienes como resultado un autovalor, entonces los postulados de la mecánica cuántica te dicen (o eso creo) que el estado del sistema justo después de la medición es el autovector asociado al autovalor que has obtenido, pero en el caso de espectro continuo los autovectores no pertenecen al espacio de hilbert, así que:

1) el estado del sistema justo después de la medición es un estado que no pertenece al espacio de estados H?

2) igual lo que acabo de decir solo es válido para espectro discreto porque en mis apuntes y en los libros que he mirado este postulado lo explica suponiendo espectro discreto, puede ser?

3) tiene esto algo que ver con el principio de incertidumbre?

[rubenpm]

alguien sabría contestarme? no me quiero quedar con la duda

[sater]

Buenas, esperaba que alguien que lo tuviera más claro te contestara, pero bueno, lo intento yo.

Técnicamente al medir el operador posición debería colapsar a una delta de Dirac, que es una función no normalizable, por lo que no pertenecería al espacio de Hilbert entendido como las funciones de cuadrado integrable en los números reales. Creo que esto podía arreglarse usando rigged hilbert spaces, que permitían operadores con espectro continuo, pero sé poquito del tema. Aun así, una medida en la vida real no es nada ideal, así que puedes aproximar la delta (por ejemplo con gaussianas cuya desviación típica tienda a cero) y me parece que por aquí la cosa se arreglaba un poco, y en seguida la evolución temporal suavizará aun más la picuda aproximación que hayas tomado.

Por otro lado el principio de incertidumbre se visualiza en que si mides la posición con absoluta precisión el estado colapsa a una delta de Dirac; posición determinada con infinita precisión. Pero para formar una delta de dirac, tienes que hacer un paquete de ondas con infinitas ondas planas de distintos momentos, luego tienes el momento totalmente indeterminado. A la inversa, si mides el momento la función de onda colapsa a una onda plana, que tiene el momento determinado con infinita precisión, pero la posición totalmente indeterminada, pues ocupa todo el espacio.

Aun así si alguien sabe más del tema que me corrija / añada algo.

[carroza]

Hola. Por medida, te refieres a un aparato de medida real, de los que existen en los laboratorios, o a una "medida" ideal, que corresponde a un proyector en el espacio de Hilbert?

Saludos

[carroza]

Hola tengo la siguiente duda:

Si mides una magnitud física que tiene asociada un operador con espectro continuo (por ejemplo la posición) y obtienes como resultado un autovalor, entonces los postulados de la mecánica cuántica te dicen (o eso creo) que el estado del sistema justo después de la medición es el autovector asociado al autovalor que has obtenido, pero en el caso de espectro continuo los autovectores no pertenecen al espacio de hilbert, así que:

1) el estado del sistema justo después de la medición es un estado que no pertenece al espacio de estados H?

2) igual lo que acabo de decir solo es válido para espectro discreto porque en mis apuntes y en los libros que he mirado este postulado lo explica suponiendo espectro discreto, puede ser?

3) tiene esto algo que ver con el principio de incertidumbre?

Ok. (2) sería la respuesta más sensata.

En general, en mecánica cuántica, toda la idea de espacio de Hilbert, operadores, proyectores, etc se descride con espacios discretos, que tienen una dimensión discreta, aunque pueda ser arbitrariamente grande. Eso proviene de que cualquier medida que podamos hacer, tiene siempre una resolución finita. En concreto, si medimos la posición de una partícula, lo haremos con un aparato que tendrá una precisión determinada.

Las deltas de Dirac, que se ponen como ejemplos de autoestados del operador posición, han de verse como un límite de funcones de cuadrado integrable $f_n(x, x_n)$ y ortogonales, que toman valores grandes en la proximidad de ciertos valores característicos, $x_n$. Así, una función arbitraria de la posición, $\phi(x)$, puede expresarse, con una precisión arbitraria, como

$\phi(x) \simeq \sum_n c_n f_n(x, x_n)$, donde $c_n = \int \phi(x) f_n^*(x, x_n) dx$.

En este lenguaje, $x_n$ son los posibles valores, discretos, de tu aparato de medida de la posición. Las divisiones de la regla, digamos. $f_n(x, x_n)$ son las "autofunciones" del aparato de medida, perfectamente ortogonales, normalizables, y que constituyen una base del espacio de Hilbert.

Saludos

[rubenpm]

Ok. (2) sería la respuesta más sensata.

En general, en mecánica cuántica, toda la idea de espacio de Hilbert, operadores, proyectores, etc se descride con espacios discretos, que tienen una dimensión discreta, aunque pueda ser arbitrariamente grande. Eso proviene de que cualquier medida que podamos hacer, tiene siempre una resolución finita. En concreto, si medimos la posición de una partícula, lo haremos con un aparato que tendrá una precisión determinada.

Las deltas de Dirac, que se ponen como ejemplos de autoestados del operador posición, han de verse como un límite de funcones de cuadrado integrable $f_n(x, x_n)$ y ortogonales, que toman valores grandes en la proximidad de ciertos valores característicos, $x_n$. Así, una función arbitraria de la posición, $\phi(x)$, puede expresarse, con una precisión arbitraria, como

$\phi(x) \simeq \sum_n c_n f_n(x, x_n)$, donde $c_n = \int \phi(x) f_n^*(x, x_n) dx$.

En este lenguaje, $x_n$ son los posibles valores, discretos, de tu aparato de medida de la posición. Las divisiones de la regla, digamos. $f_n(x, x_n)$ son las "autofunciones" del aparato de medida, perfectamente ortogonales, normalizables, y que constituyen una base del espacio de Hilbert.

Saludos

muchísimas gracias, tu respuesta me ha servido de mucho (aunque aún me queda alguna duda en la cabeza)