Otras carreras Heisenberg. La energía y el tiempo en las partículas virtuales

[Pola]

Buenos días y feliz año.

Estoy leyendo un libro de Leon Lederman y me encuentro con el siguiente párrafo:

"Según la regla cuánticas, se pueden crear partículas si se toma prestada la necesaria energía. La duración del préstamo está gobernada por las reglas de Heisemberg, que dictan que la energía prestada y la duración del préstamo tienen que ser mayor que la constante de Planck dividida por dos veces pi. La ecuación tiene éste aspecto: ∆E∆t es mayor que h/2π. Esto quiere decir que cuanto mayor sea la cantidad de energía que se toma prestada, más breve es el tiempo que puede existir la partícula virtual para disfrutar de ella”.

Pues o yo estoy perdiendo facultades a un ritmo preocupante o el texto y la ecuación están mal. Tal y como yo lo veo, si el producto de dos números tiene que ser mayor que otro, yo puedo aumentar arbitrariamente todo lo que quiera ésos dos números y siempre (siendo el producto mayor) cumplirán la condición. O sea, que podría incrementar todo lo que quisiera la energía y el tiempo, porque cuanto más los aumente, con mayor razón se cumplirá la condición de que son mayores que un valor dado.

Entiendo que debería decir “menor que h/2π”. Pero es que aparece dos veces en el texto la expresión “mayor que”.

¿Estoy equivocado yo o el texto?

Gracias y feliz año

[pod]

Si no me falla la memoria, la relación correcta es

$$\Delta E\ \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} ,$$

como $\hbar = h/2\pi$, hay un factor 2 de diferencia con lo que pones.

Ten en cuenta que los $\Delta$ se pueden entender como desviaciones típicas en probabilidad. En un estado más o menos realista, $\Delta X$ será más o menos del mismo orden de magnitud que el valor esperado $\bar X$. Así pues, aunque matemáticamente tengas un "mayor o igual que", en realidad normalmente tienes que el producto de esas cantidades es "del mismo orden de magnitud que". Así, pues, a menudo es más útil usar el principio tal que así:

$$\Delta E\ \Delta t \sim \hbar .$$

Puedes añadir el factor 2 si quieres. No afecta al razonamiento.

[Pola]

Gracias por la explicación, Pod.

Queda claro que siendo como tu dices, ("del mismo orden de magnitud que"), entonces todo encaja.

Se me vienen a la cabeza todo tipo de disquisiciones que podrían afectar al resultado, como la variable estadística de que estemos hablando, (normal, chi cuadrado....) las características de las curvas (platicúrtica...) que afectan a los valores de sigma, o el signo de la ecuación; pero estoy seguro de que la interpretación que dices es la correcta. Sabéis muchísimo más que yo de estas cosas.

Sin embargo, da una cierta rabia tener que andar interpretando. Siempre se habla de que el lenguaje apropiado para expresar la realidad física son las matemáticas. Pues si querían decir "del mismo orden de magnitud", que digan eso y no "mayor que."

Cuando hablas de "X", ¿te estás refiriendo a la energía, al tiempo, o a los dos?

[javisot20]

Igual estoy entendiendo mal pero por lo dicho en el texto y lo aportado por Pod, no puedes aumentar arbitrariamente la energía y el tiempo a la vez, es decir,

ampliar el préstamo de energía reduce el tiempo para "disfrutarla".

No aumentan energía y tiempo simultaneamente pero resultan en una proporción (como dice Pod) "del mismo orden de magnitud que..".


Ahora bien, aumentar arbitrariamente la energía tampoco es algo que se pueda tomar literalmente ya que se podrá aumentar tanto como fisicamente sea posible, no más.




Del matiz del lenguaje que se comenta al fin y al cabo decir,

- este resultado no puede ser menor que x.
-este resultado tiene que ser igual o mayor que x

Son afirmaciones equivalentes siempre que x tenga el mismo valor.

[pod]

Gracias por la explicación, Pod.

Queda claro que siendo como tu dices, ("del mismo orden de magnitud que"), entonces todo encaja.

(...)

Pero da una cierta rabia tener que andar interpretando. Si quieren decir "del mismo orden de magnitud", pues que digan eso y no "mayor que."

Ten en cuenta que lo que has leído es un argumento heurístico, casi más divulgativo que formal. Un argumento más formal se podría obtener a partir del cálculo de diagramas de Feynman.

En estos diagramas tenemos N partículas entrantes y M partículas salientes. Nosotros elegimos cual es el proceso que queremos estudiar, y por lo tanto estas N+M partículas son fijas. Tienen su masa y su momento; y en función de ambos calculamos su energía total a partir de la relación relativista $E^2 = m^2 c^4 + c^2 p^2$. Nosotros fijamos cuales son esas partículas, su masa y su momento; y lo que hacemos es preguntarle a la teoría cuál es la probabilidad de que dicho dicho proceso ocurra en la naturaleza. Es decir, fijamos unas partículas iniciales, con su momento y su masa, y queremos saber cual es la probabilidad de que se conviertan en otras partículas con sus respectivos momentos y su masa.

Nota: Fíjate que es posible N=M=0, en cuyo caso tenemos una "fluctuación de vacío", que intuyo es de lo que trata el texto que estas leyendo. Nota 2: Por conservación de la energía y el momento no es posible que N=0 y $M\neq0$, ni viceversa.

Pero además de las N+M partículas asintóticas del diagrama, podemos tener cualquier número de partículas internas, lo que llamamos partículas virtuales. Los diagramas posibles son infinitos, pero están condicionados por los tipos de vértices que existen en el lagrangiano (describe las interacciones posibles) y unas cuantas leyes de conservación. Cada una de estas partículas que sólo viven durante la interacción y no "entran" ni "salen" de ella tienen su masa, su momento y su energía.

Aquí conviene hacer una pausa y recordar el experimento de la doble rendija. En él aprendemos que, si no tenemos forma de saber por qué rendija pasa la partícula, entonces el resultado final es "como si pasara por los dos". Cada trayectoria posible tiene una probabilidad diferente, que cuando se proyecta en la pantalla donde se recogen las partículas, nos da el patrón de interferencia. De forma general, nosotros fijamos la entrada al sistema (una partícula que va hacia las rendijas) y el resultado final (la partícula es recogida en cierto punto de la pantalla final), y al hacer un promedio de todos los caminos posibles nos dice cual es la probabilidad de que ello ocurra, es decir, con que probabilidad recogemos la partícula en cierto punto de la pantalla.

Pues con los diagramas de Feynman pasa lo mismo. Tenemos el conjunto de partículas entrantes y salientes, pero de lo que pasa por el medio no sabemos nada. En particular, no sabemos qué partículas virtuales hay en el vértice de interacción, ni sabemos su momento ni su energía. Esto quiere decir que tendríamos que sumar todas las contribuciones de todas las posibles partículas intermedias que se pueden formar. Y para cada una de estas partículas intermedias, tendríamos que tener en cuenta todas las posibles energías y momentos que dichas partículas tienen. Al final, como puedes imaginar, todo esto se traduce en una serie de integrales.

De forma extremadamente simplificada, con permiso y en aras de hacerlo semi-divulgativo me permitiré ser medio impreciso: en esas integrales aparecen cosas como exponenciales negativas de la energía, y uno puede imaginar que cuanto más tiempo viva la partícula virtual más tiempo se tendrá que integrar. O sea que es como si aparecieran cosas del tipo $\mathrm{e}^{-E t/\hbar}$ (la constante de Planck aparece por análisis dimensional). Es decir, las situaciones donde el producto de la energía de la partícula virtual multiplicado por su tiempo de vida sea grande quedan exponencialmente suprimidas. Así, pues, la mayor contribución a la probabilidad de un suceso procede de situaciones donde las partículas virtuales tengan muy poca energía o vivan muy poco tiempo.

Se me vienen a la cabeza todo tipo de disquisiciones sobre la variable estadística de que hablemos (normal, chi cuadrado....) las características de las curvas (platicúrtica...) los valores de sigma, o el propio signo de la ecuación; pero estoy seguro de que la interpretación que dices es la correcta. Sabéis muchísimo más que yo de estas cosas.

Un matiz: en cuántica no tenemos variables estadísticas. Tenemos variables probabilísticas. Nosotros somos capaces de calcular la distribución de probabilidad de que ocurran determinados procesos, y a partir de ahí realizar cálculos de diferentes propiedades probabilísticas de las diferentes variables.

Este es un punto de vista diametralmente opuesto a la estadística. La estadística es una disciplina matemática que opera con la suposición que detrás de determinado fenómeno existe una distribución de probabilidad, pero nosotros no la conocemos. Haciendo experimentos, la estadística es capaz de inferir características de esa distribución de probabilidad desconocida. Esto no es lo que tenemos en cuántica. Como he dicho recién, la cuántica nos da herramientas para calcular la distribución de probabilidad de cualquier variable a partir de conocer el estado cuántico de un sistema; así que en este sentido no necesitamos hacer estadística puesto que ya tenemos la distribución de probabilidad, y ésta nos lo da todo.

Otra cosa es que no sepamos en qué estado se encuentra un sistema determinado, y entonces si que podamos usar estadística para inferior detalles de la distribución de probabilidad. Y, a partir de ello, conocer características del estado cuántico del sistema. Por ejemplo, la ley de los grandes números nos dice que si repetimos muchísimas veces una misma medida en sistemas que se encuentran en el mismo estado cuántico, entonces la media de las medidas convergirá con el valor esperado (que es un concepto probabilístico).

Con esto, quiero decir que el hecho de que $\Delta X$ sea la desviación estándar no es una interpretación. Es una definición.

Cuando hablas de "X", ¿te estás refiriendo a la energía, al tiempo, o a los dos?

X es cualquier variable. En este caso, vale para la energía y para el tiempo, pero puede valer para cualquier otra.

Fíjate que existen dos tipos de relaciones de incertidumbre. En este hilo te has centrado en la de energía y tiempo. Esta es una relación un tanto peculiar en el sentido de que el tiempo no es un observable en mecánica cuántica (por lo menos, en la no relativista). Su justificación, creo, viene más de disquisiciones similares a la de la primera parte de mi mensaje. También se puede justificar a partir de las propiedades de la transformación de Fourier.

La otra relación de incertidumbre más conocida es la del momento y la posición. Esta otra relación, en realidad, es un caso particular de un teorema matemático que se aplica a cualquier par de observables. Como el hilo está marcado como "otras carreras" no voy a entrar en la formulación exacta del teorema (está en la wikipedia y en alguna otra página de ésta web). En resumen, lo que hace es decirnos que, dados dos observables A y B, entonces hay una formula para calcular el valor mínimo de sus desviaciones estándares, que escribimos como $\Delta A$ y $\Delta B$ (o, a veces, $\sigma_A$ y $\sigma_B$).

Fíjate que es enteramente posible que esta formulita de cero. En este caso, $\Delta A\ \Delta B \ge 0$. Así, pues, en este caso seria enteramente posible hacer que ambas desviaciones sean tan pequeñas como queramos, de forma simultánea. Diríamos que A y B son observables compatibles.

Esta forma del principio de incertidumbre, como he dicho, es un teorema que aplica a cualquier par de observables. No es aplicable la relación energía-tiempo que estamos tratando porque, como dije, el tiempo no es un observable en mecánica cuántica.

[javisot20]

la ley de los grandes números nos dice que si repetimos muchísimas veces una misma medida en sistemas que se encuentran en el mismo estado cuántico, entonces la media de las medidas convergirá con el valor esperado (que es un concepto probabilístico).

Con la inferencia bayesiana obtenemos el grado de confianza sobre una posible respuesta. Por lo que comentas ese parece ser el método aplicado en cuántica.

¿El frecuentismo tambien se aplica en cuántica? ( pregunto desde el desconocimiento )

Entiendo que en cuántica la ley de los grandes números tiene complicaciones ya que puede cumplirse o no cumplirse el principio de exclusión de Pauli y que los estados cuánticos puedan ser iguales, o no.


Por "encima" de la cuántica lo entiendo, ejemplo, las vacunas y el "pseudo-porcentaje" de eficacia.


Entiendo que hay que ampliar la muestra hasta el infinito porque en una única persona no se pueden comprobar todas las combinaciones de condiciones iniciales posibles,
y que si tuviesemos una muestra infinita de personas, todas las condiciones y variables serían recogidas obteniendo un pocentaje sin incertidumbre, invariante.

Pero en cuantica, se me va...

[pod]

Con la inferencia bayesiana obtenemos el grado de confianza sobre una posible respuesta. Por lo que comentas ese parece ser el método aplicado en cuántica.

¿El frecuentismo tambien se aplica en cuántica? ( pregunto desde el desconocimiento )

Entiendo que en cuántica la ley de los grandes números tiene complicaciones ya que puede cumplirse o no cumplirse el principio de exclusión de Pauli y que los estados cuánticos puedan ser iguales, o no.

La cuántica, desde el punto de vista teórico, tan sólo trata de probabilidades. No hace inferencia ni estadística de ningún tipo ni se preocupa del significado de la probabilidad.

[javisot20]

https://youtu.be/aukgd8NBO_E , justo Javier Garcia acaba de subir un video que lo trata, los 2 primeros minutos.

[javisot20]

Perdón Pod pensé que partíamos de estas condiciones en el mismo inicio de la cuántica,

"Otra cosa es que no sepamos en qué estado se encuentra un sistema determinado, y entonces si que podamos usar estadística para inferir detalles de la distribución de probabilidad."

Y que trás descubrir las herramientas ahora las utilizamos, no que ya se tuviesen desde el principio. Supongo que es por mi falta de conocimiento sobre los inicios de la cuántica, perdón.

Muy buena información como siempre, es genial, gracias.

[Pola]

Buena tu explicación en la respuesta 5.

Gracias, Pod.

Un placer contar con vosotros.

Gracias también a Javisot por sus aportaciones. No estoy muy de acuerdo en que no se pueda incrementar el tiempo y la energía a la vez. Leyendo la fórmula, tal cual, no hay nada que lo impida.

Otra cosa es que ∆E e ∆t deban considerarse desviaciones estándar de la medida y su valor deba ser mayor que una cierta cantidad, lo que hace imposible reducir un error o que como explica Pod, en realidad estamos hablando de una simplificación para profanos.

Un saludo

[javisot20]

Saludos Pola, en verdad me fijé en el párrafo del libro de Leon Lederman ( quien soy yo para dudar de Lederman jej )

"Esto quiere decir que cuanto mayor sea la cantidad de energía que se toma prestada, más breve es el tiempo que puede existir la partícula virtual para disfrutar de ella”.

De ser correcto no deja lugar a duda,
ampliar el préstamo de energía reduce el tiempo para disfrutarla.


Y que debe resultar igual o mayor que la constante reducida de planck divida entre 2. ( o no, como comenta Pod mediante la otra aproximación )



Siempre se agradece que alguien pregunte por estos temas y arranque unas explicaciones tan buenas y extensas como las de Pod para el resto, gracias a los dos.