1r ciclo Duda sobre derivadas temporales en la notación de Dirac

[Sabandija]

Mi duda es simple: ¿Qué es lo que nos permite asumir, usando la notación de Dirac, que una derivada total respecto al tiempo de un vector de estado (ket) sea equivalente a una derivada parcial del ket respecto al tiempo? ¿Es una convención que usamos porque funciona bien? ¿O hay matemática detrás que respalde eso?

Es como que hay una suposición implícita de que los ket son independientes de las variables de posición (o cantidades de movimiento) hasta que se arme el producto interno (braket). Si uno trabajara directamente con una función de onda $\Psi (\vec{r},t)$ la derivada total ya no sería igual a la derivada parcial respecto al tiempo, ¿o me equivoco?

(Por cierto, ¿cómo escribo un bra o un ket en el foro con LATEX?)

[Sabandija]

Re: Duda sobre derivadas temporales en la notación de Dirac

Creo que ya me respondí sólo. No hay derivadas totales en Cuántica, todas son parciales.

[pod]

Re: Duda sobre derivadas temporales en la notación de Dirac

Es como que hay una suposición implícita de que los ket son independientes de las variables de posición (o cantidades de movimiento) hasta que se arme el producto interno (braket).

El estado es un objeto abstracto que contiene toda la información del estado. En particular, contiene la información de posición. Pero sólo hay un estado para todo el universo: un único estado para todo el espacio, un único estado para todas las partículas que existan, etc. Y, como tal, el estado no depende de nada. Es un elemento del espacio de Hilbert, igual que el número 17 es un elemento del conjunto de números naturales. El número 17 no depende de nada.

Y como no depende de nada, un estado no se puede derivar.

Luego, un sistema dado puede ir cambiado de estado en el tiempo. Y eso es lo que solemos escribir como un "ket" que depende del tiempo, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Conceptualmente, este no es un estado; sino una aplicación de $\mathcal{R}$ en $\mathcal{H}$ (de los reales al espacio de Hilbert). Y eso es, esencialmente, lo mismo que una función sólo que toma valores en el espacio de Hilbert en vez de en un cuerpo. Como el espacio de Hilbert es cerrado ante combinaciones lineales de estado (en particular, la resta de dos estados del espacio de Hilbert pertenece al espacio), podemos definir la derivada de esa función con el límite usual.

Así, pues, no hay ninguna suposición implícita de que el estado no dependa de la posición. Por definición, el estado incluye toda la información del universo y no depende de nada. Los kets que aparecen en la ecuación de Schödinger en realidad no representan un estado, sino una función del tiempo en el estado (esa función nos dice cual es el estado del sistema en cada momento). Y esa función es la que derivamos. De hecho, el dominio de esa función es un cuerpo de dimensión 1 (los reales), no existen derivadas parciales. La única derivada posible es respecto del tiempo, y por lo tanto es total.

Otra cosa muy diferente se produce cuando extraemos parte de la información del estado haciendo un bracket, por ejemplo $\psi(\vec x,\ t) = \big< \vec x \big| \psi(t)\big>$. Ese $\psi(\vec x,\ t)$ es un número complejo que depende de la posición y del tiempo. Esas dependencias vienen de diferentes sitios: depende del tiempo porque el ket que utilizamos para hacer el producto interior es diferente en cada instante del tiempo; y depende de la posición porque el "bra" depende de la posición. Como es una función de 4 variables (en general, d+1) entonces sí tiene sentido hacer derivadas parciales respecto de las cuatro.