Divulgación ¿Para que sirven los operadores escalera?

[inakigarber]

Buenas noches;
Estoy siguiendo desde hace tiempo un blog sobre mecánica cuántica. Creo que voy entendiendo cosas poco a poco, pero a veces me siento perdido en la abstracta matemática que se plantea en el. Esto me lleva a veces a tener ganas de dejarlo por imposible. Estoy en un capítulo que trata el momento angular tratado matricialmente. Menciona dichos operadores escalera, pero echo de menos un ejemplo practico que pueda aportarme algo de luz. ¿Puede alguien darme un ejemplo práctico? ¿Hay algún ejemplo que sea aplicable a la física clásica (y por tanto mas intuitivo)? ¿Son operadores solo aplicables a la física clásica?
Saludos y gracias.

[alexpglez]

Re: ¿Para que sirven los operadores escalera?

Por lo que he leído, son operadores que se utilizan sólo en el caso del oscilador armónico cuántico en el marco de la mecánica cuántica, pero que tiene bastante aplicación en la segunda cuantización puesto que es una manera de describir la creación y destrucción de partículas.
https://es.wikipedia.org/wiki/Operador_escalera

Respecto al uso en física clásica, recuerda que los espacios de hilbert no tienen prácticamente aplicación en mecánica clásica, puesto que todos los operadores conmutarían y por tanto simplifica mucho más el problema la descripción en base a ciertas parámetros que vendrían determinados en cierto instante inicial. Así que yo sepa, aplicación de los operadores escaleras a la mecánica clásica no tiene ninguna.

[carroza]

Re: ¿Para que sirven los operadores escalera?

Hola.

Los operadores escalera, en física clásica, física cuántica, o matemáticas, son operadores diferenciales, que cuando se aplican sucesivamente, producen un conjunto de funciones con unas característocas determinadas.

En matemáticas, por ejemplo,si queres obtener los polinomios de legendre, aplicas un una relación de recurrencia
https://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios_de_Legendre . Esto es básicamente aplicar un operador escalera-

En física clásica, si tienes por ejemplo la ecuación de una cuerda que vibra entre dos puntos 0 y $\pi$, el armónico fundamental es $y = \sin (x)$.
Para obtener los otros armónicos, basta con aplicar el operador $\sin x {d \over dx}$, sucesivamente.

Saludos

[inakigarber]

Re: ¿Para que sirven los operadores escalera?

Gracias por tu respuesta, acabo de leerla y aún debo reflexionar al respecto. No obstante, se me ocurre una pregunta tal vez tonta. Cuando dices;

....En física clásica, si tienes por ejemplo la ecuación de una cuerda que vibra entre dos puntos 0 y $\pi$, el armónico fundamental es $y = \sin (x)$.
Para obtener los otros armónicos, basta con aplicar el operador $\sin x {d \over dx}$, sucesivamente.

Saludos

Por ejemplo, si tenemos una cuerda de un instrumento musical, está puede vibrar en infinitos modos, pero siempre vendrán limitados por

$$\lambda_n=\frac{2L}{n}, (n=1,2,3......)$$

¿Tiene algo que ver con esto?¿Estoy dando palos de ciego?
Saludos y gracias.

[alexpglez]

Re: ¿Para que sirven los operadores escalera?

Gracias por tu respuesta, acabo de leerla y aún debo reflexionar al respecto. No obstante, se me ocurre una pregunta tal vez tonta. Cuando dices;

Por ejemplo, si tenemos una cuerda de un instrumento musical, está puede vibrar en infinitos modos, pero siempre vendrán limitados por

$$\lambda_n=\frac{2L}{n}, (n=1,2,3......)$$

¿Tiene algo que ver con esto?¿Estoy dando palos de ciego?
Saludos y gracias.

Eso mismo. La función de onda de 0 a L en el modo n es proporcional a:

$$\phi_n=\sin(\frac{2 \pi x}{\lambda_n})=\sin (\frac{n \pi}{L} x$$

Si llamamos por simplificar $x'=\frac{\pi}{L}x$. El operador que sube al modo 2n (el siguiente armónico) es:

$$\frac{2\sin nx'}{n}\frac{d}{dx'}$$

Ya que:

$$\frac{2\sin nx'}{n}\frac{d}{dx'}\phi_n=\frac{2\sin nx'}{n} n \cos n x'=2\sin nx'\cos nx'=sin2nx'=\phi_{2n}$$

[inakigarber]

Re: ¿Para que sirven los operadores escalera?

Aun estoy un poco perdido y tampoco he tenido tiempo para profundizar en tu respuesta.
Por ejemplo, en el caso de un electrón confinado en un espacio (una onda si aplicamos la formula de De Broglie) ¿Podríamos aplicar los operadores escalera para determinar el salto del electrón desde un nivel de energía a otro?
Saludos.