hamiltoniano de partículas cargadas

[rubenpm]

hola a todos. Tengo la siguiente duda:

Por qué en el hamiltoniano del átomo de hidrógeno: $\hat{H}=\tfrac{-\hbar^{2}}{2m_p}\Delta _p+\tfrac{-\hbar^{2}}{2m_e}\Delta _e-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{e^2}{\left|\vec{r_p}-\vec{r_e} \right|}$ se usa el potencial de la electroestática? no estarían el electrón y el protón en movimiento y por tanto no hay que usar cosas de electroestática? o es que al ser el electrón y el protón objetos cuánticos no hay que imaginarse a estos como objetos que se están moviendo y por hay van los tiros del porqué se usa el potencial de electroestática?

[teclado]

Yo diría que se debe principalmente a que la masa del protón es mucho mayor que la del electrón. Esto da lugar a que se pueda aproximar a que el protón no se encuentra en movimiento, por lo que no hay que tener en cuenta campos magnéticos.

[rubenpm]

Yo diría que se debe principalmente a que la masa del protón es mucho mayor que la del electrón. Esto da lugar a que se pueda aproximar a que el protón no se encuentra en movimiento, por lo que no hay que tener en cuenta campos magnéticos.

gracias por responder.

Puede ser, pero eligiendo el sistema de referencia en el que el protón está en reposo conseguirías que el protón estuviera quieto sin importar que su masa sea mucho mayor o no que la del electrón no? Así que lo de la masa no me parece que sea el motivo.

y si fuera por ese motivo, por qué en el hamiltoniano aparece el término de la energía cinética del protón?

[teclado]

Si trasladas el sistema de referencia a otro no inercial (como el del protón) aparecen fuerzas ficticias debidas a la inercia que tendrías que tener en cuenta, y creo que te complicarías más de la cuenta (ni lo intentaría). Lo que he visto hacer es trasladar el SR al centro de masas del sistema, y utilizar la coordenada relativa entre el electrón y el protón. Con esto el hamiltoniano (el que has puesto) te queda solo en función de la cordenada relativa y la velocidad relativa. Sin embargo ni el electrón ni el protón están ni en el origen ni en reposo, solo usas una coordenada generalizada. De modo que sigo sin ver cómo evitar la influencia de los campos magnéticos sin hacer la aproximación que te digo.

De todas formas, revisando rápidamente unos apuntes la contribución del núcleo entra dentro del ámbito de los términos de estructura hiperfina (hay un hamiltoniano electrostático, uno de estructura fina menos importante y otro de estructura hiperfina aún menos importante), y no se tiene en cuenta el campo magnético generado por el movimiento del núcleo, si no el debido a su momento magnético intrínseco.

[teclado]

Hola de nuevo,

Si no he metido la pata más de lo acostumbrado creo que he dado con una respuesta a por qué solo se incluye en el hamiltoniano la contribución electrostática y se ignoran por completo los campos magnéticos generados por el movimiento del núcleo y del electrón.

En un sistema de dos partículas, puedes escribir las velocidades de cada una en un sistema de referencia arbitrario de la forma siguiente:

$<br /> \begin{aligned}<br /> \vec{v}_1 &= -\frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{v}+\vec{v}_{CM} \\<br /> \vec{v}_2 &= \frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{v}+\vec{v}_{CM}<br /> \end{aligned}<br />$

Donde $\vec{v}$ es la velocidad relativa de la partícula 2 respecto a la partícula 1, y $\vec{v}_{CM}$ es la velocidad del centro de masas.

Ahora bien, el campo generado en un punto $\vec{r}$ por una partícula puntual en movimiento es el siguiente (Wikipedia):

$\dst \vec{B} = \frac{\mu_0q}{4\pi}\frac{\vec{v}\times\vec{r}}{r^3}$

La fuerza de Lorentz de una partícula sobre otra será, por tanto:

$\dst \vec{F}_B = \frac{\mu_0q_1q_2}{4\pi}\frac{\vec{v_2}\times\left (\vec{v_1}\times\vec{r}\right )}{r^3}$

Si haces el cálculo de ese producto vectorial atendiendo al primer grupo de ecuaciones que he puesto (yo he aplicado en algún punto la relación $\vec{a}\times\left (\vec{b}\times\vec{c}\right ) = \left (\vec{a}\cdot\vec{c}\right )\vec{b} - \left (\vec{a}\cdot\vec{b}\right )\vec{c}$) queda:

$\dst \vec{v}_2\times\left (\vec{v}_1\times\vec{r}\right ) = \frac{m_1}{m_1+m_2} \left (\vec{v}\cdot\vec{r}\right )\vec{v}_{CM} - \frac{m_2}{m_1+m_2}\left (\vec{v}_{CM}\cdot\vec{r}\right )\vec{v}-\left (\vec{v}\cdot\vec{v}_{CM}\right )\vec{r}$

Como ves, en todos los términos aparece de una forma u otra la velocidad del centro de masas. Como en tu problema no hay influencias externas, esta velocidad no cambia, y si en concreto, resuelves tu problema en el sistema de referencia del centro de masas, es exactamente 0, dando como resultado que las fuerzas magnéticas se anulan exactamente.

Un saludo.

[teclado]

Vaya, creo que metí la pata. El resultado correcto es

$<br /> \begin{aligned}<br /> \vec{v}_1 \times \vec{r} &= -\frac{m_2}{m_1 + m_2}\vec{v}\times\vec{r} + \vec{v}_{CM}\times\vec{r} \\<br /> \vec{v}_2 \times \left(\vec{v}_1 \times \vec{r} \right ) &= -\frac{m_1 m_2}{\left (m_1 + m_2 \right )^2} \vec{v} \times \left (\vec{v} \times \vec{r} \right ) - \frac{m_2}{m_1 + m_2} \vec{v}_{CM} \times \left (\vec{v} \times \vec{r} \right ) \\<br /> &+ \frac{m_1}{m_1 + m_2} \vec{v} \times \left (\vec{v}_{CM} \times \vec{r} \right ) + \vec{v}_{CM} \times \left (\vec{v}_{CM} \times \vec{r} \right )<br /> \end{aligned}<br />$

El resultado que puse antes es la suma de los dos términos intermedios simplemente, por algún motivo olvidé sumar los otros dos. Aunque te encuentres en el centro de masas, alguna contribución sí que hace.

Saludos.

[wil]

Eso que dices de "no hay que usar cosas de electroestática" no es del todo cierto. A veces uno encuentra cosas como: la fuerza sobre una carga $q$ debida a un campo eléctrico $\vec{E}$ en electrostática es $q\vec{E}$. El problema ahí es que uno se imagina que si dejamos de estar en electrostática entonces la expresión es supremamente diferente. La realidad es que cuando pasamos a que la carga se mueve, simplemente se añade un término más, entonces la fuerza sobre una carga que se mueve con velocidad $\vec{v}$ es: $q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}$. Y ahí ya no estamos en electrostática.

En el problema que tienes es lo mismo. Uno comienza a añadir más términos. Esa es solo la primera aproximación. Si quieres más términos puedes leer sobre la estructura fina.

[rubenpm]

gracias a ambos (will y teclado) por vuestras respuestas